カー・ニューマン計量

カー・ニューマン計量は、電荷を帯びて回転する質量の周囲の時空幾何学を記述する。これは、電磁場のエネルギーを追加的に考慮することでカー計量（電荷を帯びず回転する質量を記述する）を一般化した真空解であり、一般相対論におけるアインシュタイン・マクスウェル方程式の最も一般的な漸近平坦かつ定常な解となる。電気真空解であるため、磁場に関連する電荷のみが含まれ、自由電荷は含まれない。

カー・ニューマン計量は主に理論的な関心事である。天体は自転軸と磁場軸を持つが、この計量はこれらの軸が一直線上にある場合にのみ有効である。このモデルは、落下するバリオン物質、光（ヌルダスト）、あるいは暗黒物質の記述を欠いており、したがって恒星質量ブラックホールや活動銀河核の記述は不完全である。しかしながら、その解は数学的に興味深いものであり、今後の探究のためのかなり単純な基礎を提供する。

歴史

1963年12月、ロイ・カーとアルフレッド・シルトは、ミンコフスキー空間の正確な線形摂動となるすべてのアインシュタイン空間を与えるカー・シルト計量を発見した。1964年初頭、カーはこの同じ性質を持つすべてのアインシュタイン・マクスウェル空間を探した。1964年2月までに、カー・シルト空間が荷電されている特殊なケース（カー・ニューマン解を含む）は判明していたが、特殊な方向が基礎となるミンコフスキー空間の測地線ではない一般的なケースは非常に困難であることが判明した。この問題はジョージ・デブニーに解決を依頼されたが、1964年3月までに断念された。この頃、エズラ・T・ニューマンは推測によって荷電カーの解を発見した。1965年、エズラ・「テッド」・ニューマンは回転し電荷を帯びているブラックホールに対するアインシュタイン場の方程式の軸対称解を発見した。^{[ 1 ] [ 2 ]}この計量テンソルの式はカー・ニューマン計量と呼ばれます。これは、2年前にロイ・カーによって発見された、荷電していない回転質点に対するカー計量の一般化です。 ^{[ 3 ]}

ソリューションの概要

回転する荷電ブラックホールの光線追跡影。降着円盤を持ち、パラメータはa / M = 0.95、Q / M = 0.3。ブラックホールの左側は観測者に向かって回転しており、観測者に対する回転軸の傾きは45°である。

ニューマンの結果は、四次元電磁場の存在下におけるアインシュタイン方程式の最も単純な定常、軸対称、漸近平坦な解を表す。これはアインシュタイン方程式の「電気真空」解と呼ばれることもある。

この解はリング状の特異点を含む。この解の多重極構造は、この解が対称軸を中心に回転する電荷リングの場を表していることを示唆している。同様に、カー解は質量リングの場を表す。しかし、この単純な見方が数学的に正しいためには、電荷（カー解の場合は質量）が解の特異リングの周囲に分布し、多値的な振る舞いを破る必要がある。^{[ 1 ]}

あらゆるカー・ニューマン源は、その自転軸が磁気軸と一直線になっている。^{[ 4 ]}したがって、カー・ニューマン源は、自転軸と磁気モーメントの間に大きな角度を持つ、一般的に観測される天体とは異なる。^{[ 5 ]}具体的には、太陽も太陽系のどの惑星も、磁場双極子が自転軸と一直線になっていない。したがって、カー解は太陽と惑星の重力場を記述するが、磁場は必然的に異なる過程によって発生する。

限定的なケース

カー・ニューマン計量は、極限的な場合には一般相対論の他の厳密解に帰着することが分かる。それは^{[ 6 ] :61 に帰着する。}

• 電荷Qがゼロに近づくときのKerrメトリック。
• 角運動量J (またはa = J / M ) がゼロに近づくときのライスナー・ノルドストローム計量。
• 電荷Qと角運動量J（またはa）の両方をゼロにしたときのシュワルツシルト計量、および
• 質量M、電荷Q、回転パラメータaがすべてゼロの場合、ミンコフスキー空間。

関連する 4 つのソリューションは次の表にまとめられます。

	回転しない（J = 0）	回転（任意のJ）
非荷電（Q = 0）	シュヴァルツシルト	カー
チャージ（任意のQ）	ライスナー・ノルドストローム	カー・ニューマン

ここで、Qは物体の電荷、Jは物体のスピン角運動量です。

カー・ニューマン解において重力定数Gをゼロとすると、ミンコフスキー空間を境界とする回転する荷電円板からの電磁場が得られる。^{[ 7 ] [ 8 ]}カー・ニューマン解自体は、アインシュタイン・マクスウェル方程式のより一般的な厳密解の特殊なケースである。より一般的な解には、宇宙定数、ニューマン・ウンティ・タンブリノ（NUT）パラメータ、磁荷などが含まれる。^{[ 9 ] : 324}

メトリックフィールド

カー・ニューマン計量は、質量M、電荷Q、角運動量Jを持つ回転する荷電ブラックホールの時空構造を記述する。この計量の式は、選択された座標または座標条件によって異なる。以下に、ボイヤー・リンドキスト座標とカー・シルト座標の2つの形式を示す。重力計量だけではアインシュタイン場の方程式の解を求めるのに十分ではないため、電磁応力テンソルも与える必要がある。各節で両方が示されている。

ボイヤー・リンクイスト座標

この距離を表現する一つの方法は、その線要素を特定の球面座標系（^{[ 10 ]}ボイヤー・リンクイスト座標系とも呼ばれる）に書き出すことである。

${\displaystyle c^{2}d\tau^{2}=-\left({\frac{dr^{2}}{\Delta}}+d\theta^{2}\right)\rho^{2}+\left(c\,dt-a\sin^{2}\theta\,d\phi\right)^{2}{\frac{\Delta}{\rho^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi-ac\,dt\right)^{2}{\frac{\sin^{2}\theta}{\rho^{2}}},}$

ここで、（r、θ、ϕ）は標準球座標であり、長さのスケールは次の通りである。

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho^{2}=r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

簡潔にするために導入された。ここでr _{sは質量の大きい物体の}シュワルツシルト半径であり、その質量相当の全質量Mと次 の関係にある。

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

ここでGは重力定数、r _Qは質量の 電荷Qに対応する長さスケールである。

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

ここでε _0は真空の誘電率である。

ボイヤー・リンクイスト形式の電磁場テンソル

ボイヤー・リンクイスト座標における電磁ポテンシャルは^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)}$

一方、マクスウェルテンソルは次のように定義される。

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \カッパ }}$

クリストッフェル記号と組み合わせると、2次の運動方程式は次のように導出できる。

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},}$

ここで、テスト粒子の電荷質量比です。 ${\displaystyle q}$

カー・シルト座標

カー・ニューマン計量は、1965年にカーとシルトによって提案された特定の直交座標系を用いたカー・シルト形式で表すことができます。この計量は次のとおりです。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

ここで、kは単位ベクトルです。Mは回転物体の定数質量、Qは回転物体の定数電荷、ηはミンコフスキー計量、a  =  J / Mは回転物体の定数回転パラメータです。ベクトルは正のz軸、すなわち に向いていることが理解されます。r は半径ではなく、関係式によって暗黙的に定義されます。 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

量rは通常の半径Rとなる。

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

回転パラメータaがゼロに近づくとき。この形式の解法では、光速が1（c = 1 ）となるように単位が選択されます。アインシュタイン・マクスウェル方程式の完全な解を与えるために、カー・ニューマン解は計量テンソルの式だけでなく、電磁ポテンシャルの式も含みます。^{[ 13 ] [ 16 ]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

発生源からの距離が大きい場合（R ≫ a）、これらの式は次のようなライスナー・ノルドストローム計量に簡約されます。

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

カー・ニューマン計量のカー・シルト形式では、計量テンソルの行列式はどこでも負の1に等しく、源の近くでも等しい。^{[ 9 ]}

カー・シルト形式の電磁場

電場と磁場は、四元ポテンシャルを微分して電磁場強度テンソルを得るという通常の方法で得ることができます。三次元ベクトル表記に切り替えると便利です。

${\displaystyle A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,}$

静電場と静電磁場は、ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルから次のように導き出されます。

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

カー・シルト形の四元ポテンシャルに対するカー・ニューマンの公式を用いると、質量がゼロになる極限において、次のような簡潔な複素数場の公式が得られる。^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

この最後の式におけるオメガ（Ω）は、クーロンポテンシャルに似ていますが、動径ベクトルが虚数量だけシフトしている点が異なります。この複素ポテンシャルは、19世紀初頭にフランスの数学者ポール・エミール・アペルによって議論されました。^{[ 18 ]}

不可約質量

電場エネルギーと回転エネルギーを含む全質量当量Mと、既約質量M _irrは次式で関係付けられる^{[ 19 ] [ 20 ]}

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

これを解くと

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

中性で静止した物体を帯電させたり回転させたりするには、系にエネルギーを加える必要がある。質量エネルギー等価性により、このエネルギーにも質量等価性があり、したがってMは常にM _irrよりも大きくなる。例えば、ブラックホールの回転エネルギーがペンローズ過程^{[ 21 ] [ 22 ]}によって抽出された場合、残りの質量エネルギーは常にM _irr以上となる。

重要な表面

擬球座標( r、θ、φ )および直交座標( x、y、z )における帯電回転ブラックホールの事象の地平線とエルゴ球。

を0に設定して解くと、ボイヤー・リンクイスト座標に位置する 内側事象の地平線と外側事象の地平線が得られる。${\displaystyle 1/g_{rr}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

このステップを繰り返すと、内側と外側のエルゴ表面が得られます。${\displaystyle g_{tt}}$

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

事象の地平線とエルゴ面の間の領域はエルゴ球と呼ばれる。エルゴ球内では、すべての局所光円錐は回転方向に傾いている。^{[ 8 ]：18}

回転する荷電ブラックホールの周りを周回するテスト粒子（a / M  = 0.9、Q / M  = 0.4）

運動方程式

簡潔にするために、さらに、、、に対して正規化された 無次元量を使用する。ここで、は、に、はに縮小され、電荷の試験粒子の運動方程式は、次のようになる^{[ 23 ] [ 24 ]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\dot {t}}\Delta \rho ^{2}=\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}$

${\displaystyle {\dot {r}}\rho ^{2}=\pm \left(((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})\right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}\rho ^{2}=\pm \left(C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta =E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }$

は全エネルギー、軸角運動量を表します。はカーター定数です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

ここで、は試験粒子の角運動量のポロイダル成分、は軌道傾斜角です。 ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

そして

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

粒子の場合と粒子の場合も保存量です。 ${\displaystyle \mu ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=1}$

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

はフレームドラッグ誘起角速度である。この略語は次のように定義される。 ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

座標微分と局所3次元速度の関係は ${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

ラジアルの場合、

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

ポロイディアルの場合、

${\displaystyle v^{\phi }={\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)\cdot ({\bar {R}}\ \Sigma )^{-1}}$

軸方向および

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

局所的な総速度については、

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

は軸方向の回転半径（局所円周を2πで割ったもの）であり、

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

重力による時間の遅れの成分。したがって、中性粒子の局所的な視線脱出速度は

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

極限解と裸の特異点

パラメータ集合 に対して、解は「極限的」と呼ばれる。超極限領域 では、事象の地平線は存在せず、内部特異点は裸の特異点として観測される。つまり、カー・ニューマン計量は、電荷と角運動量の合計が質量に比べて十分に小さい場合にのみ、事象の地平線を持つブラックホールを定義する。^{[ 8 ]}${\displaystyle M^{2}-(J/M)^{2}-Q^{2}=0}$ ${\displaystyle M^{2}-(J/M)^{2}-Q^{2}<0}$

電子の回転パラメータaと電荷長スケールr _{Q は}どちらもシュワルツシルト半径r _sをはるかに超えているため、事象の地平線は存在しないことになり、「ブラックホール電子」は必然的に裸の回転リング特異点となる。^{[ 25 ]}このような測定基準には、リングが宇宙検閲仮説に違反していることや、リングのすぐ近くに因果律を破る閉じた時間的曲線が出現することなど、一見非物理的な特性がいくつかある。 ^{[ 11 ]}

ディラック・カー・ニューマン電子モデル

回転する荷電物体に対するカー・ニューマン解の解析において、ブランドン・カーターは、その解が予測する磁気回転比は相対論的量子力学ディラック方程式で予測されるものと等しく、電子の実験的証拠とほぼ一致すると述べた。^{[ 11 ] : 1562} このことが、カー・ニューマン計量の応用によって、一般相対論に基づく電子の非量子モデルの作成につながった。電子および類似の粒子はすべて大きな電荷質量比を持ち、事象の地平線はないが裸の特異点がある領域でカー・ニューマンパラメータを持つ。^{[ 26 ] [ 27 ] : 2442}例えば、電子の場合、電荷質量比2 r _Q / r _s ≈ 10 ²¹とスピン効果は、どちらもこの限界よりも桁違いに大きい。^{[ 28 ]}

カー・ニューマンポテンシャルを電子（電子ブラックホール）の古典的モデルとみなすと、電子は磁気双極子モーメントだけでなく、電気四極子モーメントなどの他の多重極子モーメントも持つと予測される。^{[ 8 ]}しかし、そのような四極子モーメントの実験的測定は報告されていない。^{[ 28 ]}

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参考文献

• ウォルド、ロバート・M. (1984).一般相対性理論. シカゴ: シカゴ大学出版局. pp.  312– 324. ISBN 978-0-226-87032-8。

外部リンク

• Adamo, Tim; Newman, Ezra (2014). 「Kerr–Newman metric」 . Scholarpedia . 9 (10) 31791. arXiv : 1410.6626 . Bibcode : 2014SchpJ...931791N . doi : 10.4249/scholarpedia.31791 .エズラ・T・ニューマン共著
• SR Made Easy、第11章：荷電回転ブラックホールとその熱力学