ブラシュケ積

ブラシュケ積 は、単位円板上のランダムに選ばれた50点に関連付けられています。B(z) は、ドメインカラーリング法の一種を用いて、Matplotlibプロットとして表されます。${\displaystyle B(z)}$

複素解析において、ブラシュケ積は、単位円内の指定された複素数の（有限または無限の）シーケンスでゼロを持つように構成された開単位円内の有界解析関数であり、関数の大きさが円の境界に沿って一定であるという特性があります。 ${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots }$

ブラシュケ積はヴィルヘルム・ブラシュケ（1915）によって導入された。ハーディ空間 と関連している 。

意味

単位円内の点列は、次の場合に ブラシュケ条件を満たすと言われる。${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .}$

ブラシュケ条件を満たす列が与えられたとき、ブラシュケ積は次のように定義される。

${\displaystyle B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z)}$

因子付き

${\displaystyle B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {a-z}{1-{\overline {a}}z}}}$

が与えられます。これがの複素共役です。を取ると、 ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle B(0,z)=z}$

ブラシュケ積は開単位円上で解析的な関数を定義し、（重複度を数えて）でちょうど0となる。さらに、これはハーディ類に属する。^[1]${\displaystyle B(z)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle H^{\infty }}$

上記の収束基準を満たすシーケンスは、 Blaschke シーケンスと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle a_{n}}$

セゲー定理

ガーボル・セゲーの定理によれば、積分可能なノルムを持つハーディ空間 の場合、およびが常に零でない場合、 の零点（確実に可算な数）は Blaschke 条件を満たす。 ${\displaystyle f\in H^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

有限ブラシュケ積

有限ブラシュケ積は、単位円板上の解析関数として次のように特徴付けられる。 が開単位円板上の解析関数であり、閉単位円板上の連続関数に拡張できるとする。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$

は単位円をそれ自身に写す。すると有限のブラシュケ積に等しい。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}}$

ここで、は単位円上にあり、は零点 の重複度です。 特に、 が上記の条件を満たし、単位円内に零点を持たない場合、は定数です（この事実は、調和関数の最大値原理を調和関数 に適用した結果でもあります）。 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle |a_{i}|<1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log(|f(z)|)}$

参照

• ハーディスペース
• ワイエルシュトラス積
• 複素解析

参考文献

1. コンウェイ（1996）274

• W. ブラシュケ (1915)。 "Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen Analytischer Funktionen"。ベリヒテ数学-物理学。 Kl.（ドイツ語で）。67．ザックス。ゲゼル。デア・ウィス。ライプツィヒ：194–200。
• ピーター・コルウェル (1985)。ブラシュケ製品。ミシガン州アナーバー：ミシガン大学出版局。ISBN 0-472-10065-3. MR  0779463。
• コンウェイ, ジョン・B. (1996). 複素変数関数 II.大学院数学テキスト. 第159巻.シュプリンガー出版. pp.  273– 274. ISBN 0-387-94460-5。
• Tamrazov, PM (2001) [1994]. 「Blaschke積」.数学百科事典. EMS Press .