ボゴリュボフの内積

ボゴリュボフ内積（デュアメル二点関数、ボゴリュボフ内積、ボゴリュボフスカラー積、久保・森・ボゴリュボフ内積とも呼ばれる）は、作用素空間における特殊な内積である。ボゴリュボフ内積は量子統計力学^{[ 1 ] [ 2 ]}に現れ、理論物理学者ニコライ・ボゴリュボフにちなんで名付けられている。

意味

を自己随伴作用素とする。任意の2つの作用素XとYのボゴリュボフ内積は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{A}=\int \limits _{0}^{1}{\rm {Tr}}[{\rm {e}}^{xA}X^{\dagger }{\rm {e}}^{(1-x)A}Y]dx}$

ボゴリュボフの内積は、内積のすべての公理を満たします。つまり、二乗線型、半正定値（つまり、）であり、対称性を満たします。ここで、は の複素共役です。 ${\displaystyle \langle X,X\rangle _{A}\geq 0}$ ${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{A}=(\langle Y,X\rangle _{A})^{*}}$ ${\displaystyle \alpha^{*}}$ ${\displaystyle \alpha}$

量子統計力学への応用において、演算子はの形をとる。ここでは量子系のハミルトニアン、 は温度の逆数である。これらの表記を用いると、ボゴリュボフの内積は次の形をとる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\beta H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\beta H}=\int \limits _{0}^{1}\langle {\rm {e}}^{x\beta H}X^{\dagger }{\rm {e}}^{-x\beta H}Y\rangle dx}$

ここで、 はハミルトニアンに関する熱平均、 は温度の逆数を表します。 ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \beta}$

量子統計力学では、ボゴリュボフの内積は統計和の展開における2次の項として現れる。

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\beta H}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t\partial s}}{\rm {Tr}}\,{\rm {e}}^{\beta H+tX+sY}{\bigg \vert }_{t=s=0}}$

参考文献

1. D. PetzとG. Toth.量子統計におけるボゴリュボフの内積, Letters in Mathematical Physics 27 , 205-216 (1993).
2. DP Sankovich.非理想ボーズ気体モデルにおけるボーズ凝縮について, J. Math. Phys. 45 , 4288 (2004).