ボンネセンの不等式

ボンネセンの不等式は、ジョルダン曲線の長さ、面積、内接円の半径、外接円の半径を関係付ける不等式である。これは、古典的な等周不等式を強化したものである。^{[ 1 ]}

より正確には、長さ の平面単純閉曲線が面積 の領域を囲むとする。 とを内接円と外接円の半径とする。ボンネセンは不等式^{[ 2 ]を証明した。}${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \pi ^{2}(Rr)^{2}\leq L^{2}-4\pi A.}$$

右辺の項は等周欠陥として知られています。^{[ 1 ]}${\displaystyle L^{2}-4\pi A}$

等収縮期欠陥を伴うロウナーのトーラス不等式は、ボンネセンの不等式の収縮期アナログである。^{[ 3 ]}

参考文献

1. ブラーゴ、ユウ。 D. ; Zalgaller、バージニア州(1988)、「1.3: ボンネゼン不等式とその類似物」、幾何学的不等式、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 285、Sosinskiĭ 翻訳、AB、ベルリン: Springer-Verlag、pp.  3–4、doi : 10.1007/978-3-662-07441-1、ISBN 3-540-13615-0、MR  0936419、Zbl  0633.53002
2. Bonnesen, T. (1921)、「Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d'une inégalité de Minkowski」、Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)、172 : 1087– 1089、JFM 48.0839.01 
3. ホロウィッツ、チャールズ; ウサディ・カッツ、カリン; カッツ、ミハイル・G. (2009)、「等収縮欠陥を伴うロウナーのトーラス不等式」、Journal of Geometric Analysis、19 (4): 796– 808、arXiv : 0803.0690、doi : 10.1007/s12220-009-9090-y、MR 2538936