ボルデ・グース・ヴィレンキン定理

ボルデ・グース・ヴィレンキン（BGV）定理は、物理宇宙論における定理であり、平均的に歴史を通して膨張してきた宇宙は、過去に無限になることはできず、過去の時空境界を持つ必要があることを導きます。^[1]この定理は、2003年にその数学的定式化を開発した著者であるアルヴィンド・ボルデ、アラン・グース、アレクサンダー・ヴィレンキンにちなんで名付けられました。 ^{[2] [3]} BGV定理は物理学以外でも、特に宗教や哲学の議論でよく知られています。^{[3] [4] [5]}

説明

一般相対性理論において、測地線は曲がった時空において自由落下する粒子または物体が辿る経路を表します。これらの経路は、ユークリッド空間における2点間の最短経路（直線）に相当します。宇宙論では、時空のすべての測地線が特異点や境界に遭遇することなく無限に拡張できる場合、その時空は測地線的に完全であると言われます。対照的に、測地線的に過去不完全な時空は、有限の固有時間内で過去に 境界または特異点に到達する測地線を特徴とします

この文脈では、平均膨張率は次のように定義できる。

${\displaystyle H_{\rm {av}}={\frac {1}{\tau _{\rm {f}}-\tau _{\rm {i}}}}\int _{t_{\rm {i}}}^{t_{\rm {f}}}H(\tau )\mathrm {d} \tau }$

ここで、t _iは初期時刻（τ _iは適切な初期時刻）、t _{f は}終了時刻（τ _fは適切な終了時刻）、Hは拡張パラメータ（ハッブルパラメータとも呼ばれる）です。

BGV定理は、任意の時空において

${\displaystyle H_{\rm {av}}>0}$ 、

すると、時空は測地学的に過去不完全となる。

この定理は古典時空にのみ適用されるが、宇宙の特定の質量内容を仮定するものではない。この定理は、アインシュタインの場の方程式よりも一般的なf ( R )重力モデルに適用される。^[6]

導出

FLRWメトリックの場合

膨張する均質等方性平坦宇宙（光速c = 1の単位）におけるBGV定理の導出例を示します。^{[7]この導出は、現在の宇宙論モデルである}ΛCDMモデルと一致しています。しかし、この導出は均質性や等方性に依存せずに任意の時空に一般化できます。^[7]

フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathrm {d} s=\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\mathrm {d} x_{i}\mathrm {d} x^{i}}$ 、

ここで、 tは時間、x ⁱ ( i =1, 2, 3) は空間座標、a ( t ) はスケール係数です。時間線測地線x _i = 定数に沿って、宇宙は共動粒子で満たされていると考えることができます。固有時間τを持つ観測者にとって、世界線 x ^μ ( τ )に沿って、4次運動量 を持ちます。ここで、 はエネルギー、mは質量、p = | p | は3次運動量の大きさです。 ${\displaystyle P^{\mu }=m\mathrm {d} x^{\mu }/\mathrm {d} \tau =(E,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle E={\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$

測地線運動方程式から、 p _{f は時刻}t _fにおける最終運動量であることがわかる。したがって、 ${\displaystyle p(t)=p_{\rm {f}}\;a(t_{\rm {f}})/a(t)}$

${\displaystyle \int _{t_{\rm {i}}}^{t_{\rm {f}}}H(\tau )\mathrm {d} \tau =\int _{a(t_{\rm {i}})}^{a(t_{\rm {f}})}{\frac {m}{\sqrt {m^{2}a^{2}+p^{2}a(t_{\rm {f}})}}}\mathrm {d} a=F(\gamma _{\rm {f}})-F(\gamma _{\rm {i}})\leq F(\gamma _{\rm {f}})}$ 、

ここで ハッブルパラメータであり、 ${\displaystyle H={\dot {a}}/a}$

${\displaystyle F(\gamma )={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}\right)}$ 、

γはローレンツ因子である。共動しない観測者に対してはγ >1かつF ( γ )>0となる。

仮定すると ${\displaystyle H_{\rm {av}}>0}$

${\displaystyle \tau _{\rm {f}}-\tau _{\rm {i}}\leq {\frac {F(\gamma _{\rm {f}})}{H_{\rm {av}}}}}$ 。

したがって、条件を満たす任意の非共動過去向き時間的測地線は、有限の固有長を持ち、したがって過去不完全でなければならない ${\displaystyle H_{\rm {av}}>0}$

意味合い

現在の天文学的観測は宇宙が膨張していることを示しているため、ビッグバン定理は宇宙の歴史において境界または特異点が存在することを示唆している。この特異点は、しばしばビッグバン理論における最初の特異点と関連付けられている。しかし、この定理は、それが過去の他の事象と関連しているかどうかを説明できない。また、この定理は、特異点がいつ発生するか、あるいはそれが重力特異点なのか、あるいは他の種類の境界条件なのかも説明できない。 ^[8]

一部の物理理論では、ある時点以前の非加速膨張の可能性を排除していない。例えば、膨張率はインフレーション期まで異なる可能性がある。^[8]${\displaystyle H_{\rm {av}}>0}$

BGV定理によって予測される特異点もグローバルな特異点ではなく、すべての観測者にとって必ずしも存在するわけではない。^[9]

限界と批判

宇宙の歴史を通しての平均的な膨張が成り立たない代替モデルは、創発時空、永遠インフレーション、 周期モデルの概念に基づいて提案されてきました。ヴィレンキンとオードリー・ミサニは、これらのモデルのどれも定理の含意を逃れることはできないと主張しました。^[10] 2017年、ヴィレンキンは、このシナリオを回避できる実行可能な宇宙論モデルは存在しないと考えています。^[11]

ショーン・M・キャロルは、この定理は古典時空にのみ適用され、完全な量子重力理論を考慮すると成立しない可能性があると主張している。彼は、定理の共著者の一人であるアラン・グースはヴィレンキンに反対し、宇宙には始まりがなかったと考えていると付け加えた。^{[12] [13]ヴィレンキンは、キャロルとジェニー・チェンが構築し、グースが支持する、BGV定理の結論を回避するためのキャロル・チェンモデルは、過去に}時間の矢印が逆転しているため、宇宙の歴史における特異点を示唆し続けていると主張している。^[14]

ジョセフ・E・レスネフスキー、ダミアン・A・エアソン、ポール・デイヴィスは、測地線的に完全であり、かつ測地線的に完全な古典解の無限クラスを構築した。 ^[15]著者らは、インフレーション時空の測地線的不完全性は依然として未解決の問題であると主張している。本研究では、著者らは、これまでの研究ではBGV定理の数学的に正確な定式化が用いられておらず、不完全な結論に達していることが多いと主張している。さらに、測地線的に完全な過去無限モデルを用いて、無限エントロピー増大の問題を解決する例も存在する。^[16]${\displaystyle H_{\rm {av}}\geq 0}$

神学における使用

ヴィレンキンはBGV定理の宗教的意義についても著作を残している。2015年10月、ヴィレンキンは有神論者ウィリアム・レーン・クレイグと新無神論運動による神の存在に関する議論に反論し、「宇宙が無から突然出現する原因は何でしょうか？原因は必要ありません」と述べた。^[7] BGV定理そのものに関して、ヴィレンキンはクレイグに対し、「私の論文とあなた自身に対して、私がBGV定理について書いたことを非常に正確に表現してくれたと思います」と述べた。^{[17] [18]}

参照

• カラム宇宙論的論証
• ギボンズ・ホーキング・ヨーク境界項
• ギボンズ・ホーキング効果
• ペンローズ・ホーキング特異点定理

参考文献

1. ペルロフ、デリア、ヴィレンキン、アレクサンダー（2017年8月7日）『好奇心のための宇宙論』、スイス、シュプリンガー、  330～ 31頁。ISBN 978-3-319-57040-2。
2. Borde, Arvind; Guth, Alan H.; Vilenkin, Alexander (2003年4月15日). 「インフレーション時空は過去方向において不完全である」. Physical Review Letters . 90 (15) 151301. arXiv : gr-qc/0110012 . Bibcode :2003PhRvL..90o1301B. doi :10.1103/PhysRevLett.90.151301. PMID  12732026. S2CID  46902994
3. Perlov, Delia; Vilenkin, Alexander (2017年8月7日). Cosmology for the Curious . Cham, Switzerland: Springer. pp.  330–31 . ISBN 978-3-319-57040-2。
4. コパン、ポール、クレイグ、ウィリアム・レーン (2017年11月16日). 『カラム宇宙論的論証 第2巻：宇宙の始まりの科学的証拠』 Bloomsbury Publishing USA. ISBN 978-1-5013-3589-1。
5. 長澤雄三 (2012年7月25日). 宗教哲学への科学的アプローチ. シュプリンガー. ISBN 978-1-137-02601-9。
6. Calcagni, Gianluca; Di Luca, Maria Grazia; Fodran, Tomáš (2022-11-23)、「古典宇宙論と量子宇宙論に関する講義」、コルフ夏期講座2021「素粒子物理学と重力に関するスクールとワークショップ」議事録 — PoS(CORFU2021)、第406巻、SISSA Medialab、p. 317、doi : 10.22323/1.406.0317、hdl : 10261 /350802、 2025年9月3日取得
7. Vilenkin, Alexander (2015年10月23日). 「宇宙の始まり」. Inference . 1 (4). 2023年12月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
8. Calcagni, Gianluca (2017-01-06). 古典宇宙論と量子宇宙論. Springer. ISBN 978-3-319-41127-9。
9. Calcagni, Gianluca; Di Luca, Maria Grazia; Fodran, Tomáš (2022-11-23)、「古典宇宙論と量子宇宙論に関する講義」、コルフ夏期講座2021「素粒子物理学と重力に関するスクールとワークショップ」議事録 — PoS(CORFU2021)、第406巻、SISSA Medialab、p. 317、doi : 10.22323/1.406.0317、hdl : 10261 /350802、 2025年9月3日取得
10. ミサニ、オードリー、ヴィレンキン、アレクサンダー（2012年4月20日）「宇宙には始まりがあったのか？」arXiv : 1204.4658 [hep-th].
11. アレクサンダー・ヴィレンキン「宇宙の始まり」『カラム宇宙論的論証』第2巻、ブルームズベリー、2017年、150～158ページ
12. Carroll, Sean (2014年2月24日). 「討論会後の考察」. Sean Carroll Blog . 2014年2月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年11月19日閲覧。
13. キャロル、ショーン・M. (2018年6月4日). 「なぜ何もないのではなく、何かが存在するのか？」arXiv : 1802.02231 [physics.hist-ph].
14. Vilenkin, Alexander (2013). 「時間の矢と宇宙の始まり」. Physical Review D. 88 ( 4) 043516. arXiv : 1305.3836 . Bibcode :2013PhRvD..88d3516V. doi :10.1103/PhysRevD.88.043516. S2CID  119213877.
15. Lesnefsky, JE; Easson, DA; Davies, PCW (2023). 「インフレーション時空の過去完全性」. Physical Review D. 107 ( 4) 044024. arXiv : 2207.00955 . Bibcode :2023PhRvD.107d4024L. doi :10.1103/PhysRevD.107.044024.
16. 「インスパイア」
17. https://youtube.com/IbOh6aJrIYI
18. 「「正直さ、透明性、完全な開示」と Borde-Guth-Vilenkin の定理 | Reasonable Faith」。

さらに詳しい情報

• カルカーニ、ジャンルカ（2017年1月6日）. 古典宇宙論と量子宇宙論. シュプリンガー. ISBN 978-3-319-41127-9。