ボレル・コルモゴロフのパラドックス

確率論において、ボレル・コルモゴロフのパラドックス（ボレルのパラドックスとも呼ばれる）は、確率がゼロの事象（空集合とも呼ばれる）に関する条件付き確率 に関するパラドックスである。エミール・ボレルとアンドレイ・コルモゴロフにちなんで名付けられている。

大円パズル

確率変数が単位球面上で一様分布に従うと仮定する。大円上でのその条件付き分布はどうなるだろうか？球面の対称性から、分布は一様で座標の選択に依存しないと予想されるかもしれない。しかし、2つの分析は矛盾する結果を与える。まず、球面上の一様分布上の点を選択することは、から一様分布上の経度を選択し、から密度 で緯度を選択することと同等であることに注意されたい。^{[ 1 ]}次に、2つの異なる大円について考察する。 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\cos \varphi }$

1. 大円が赤道（緯度）になるように座標を選択した場合、区間上で定義される経度の条件付き密度は${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle f(\lambda \mid \varphi =0)={\frac {1}{2\pi }}.}$$
2. 大円が の経度線である場合、区間 におけるの条件付き密度 は${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$ $${\displaystyle f(\varphi \mid \lambda =0)={\frac {1}{2}}\cos \varphi .}$$

一方の分布は円周上で均一ですが、もう一方はそうではありません。しかし、どちらも異なる座標系で同じ大円を指しているように見えます。

これらの結果のどれが「正しい」のかをめぐって、有能な確率論者の間でも多くの全く無益な議論が繰り広げられてきた。

— ETジェインズ^{[ 1 ]}

説明と意味

上記(1)の場合、φ = 0のときに経度λが集合Eに含まれる条件付き確率はP ( λ ∈ E | φ = 0 ) と書くことができます。初等確率論によれば、これはP ( λ ∈ Eかつφ = 0)/ P ( φ = 0 )と計算できますが、 P ( φ = 0) = 0 であるため、この式は明確に定義されていません。測度論では、 a とbの間の緯度を持つすべての点からなる水平リング（球面セグメントの曲面領域）である事象の極限R _ab = { φ  : a < φ < b }を使用して、条件付き確率を定義する方法が提供されています。

パラドックスを解決するには、ケース (2) で、P ( φ ∈ F | λ = 0) が、経度がcとdの間で変化するすべての点からなる月(垂直のくさび) であるイベントL _cd = { λ  : c < λ < d } の極限を使用して定義されていることに気付くことです。したがって、P ( λ ∈ E | φ = 0) とP ( φ ∈ F | λ = 0) はそれぞれ大円上の確率分布を提供しますが、一方は環の極限を使用して定義され、もう一方は月 ( φ ∈ F | λ = 0) です。環と月( φ ∈ F | λ = 0) が異なる分布を持つことはそれほど驚くべきことではありません。

確率が0である孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は認められない。子午線円上の[緯度]の確率分布は、この円を与えられた極を持つ子午線円への球面全体の分解の要素とみなす場合にのみ得られるからである。

— アンドレイ・コルモゴロフ^{[ 2 ]}

…「大円」という用語は、それを生み出すための極限操作が何であるかを特定するまでは曖昧です。直感的な対称性の議論は赤道極限を前提としていますが、オレンジのスライスを食べることは赤道極限を前提としている可能性があります。

— ETジェインズ^{[ 1 ]}

数学的な説明

測度論的視点

この問題を理解するには、連続確率変数上の分布が、ある測度μに関してのみ密度fによって記述されることを認識する必要があります。これらはどちらも、確率分布を完全に記述する上で重要です。あるいは、同等に、 fを定義したい空間を完全に定義する必要があります。

Φ と Λ をそれぞれΩ ₁ = とΩ ₂ = [− π , π ] の値をとる2つの確率変数とする。事象 {Φ =  φ , Λ =  λ } は、半径rの球面S ( r )上の点を与える。座標変換を次のように定義する。${\textstyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \cos \lambda \\y&=r\cos \varphi \sin \lambda \\z&=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

体積要素を得る

${\displaystyle \omega _{r}(\varphi ,\lambda )=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\times {\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r^{2}\cos \varphi \ .}$

さらに、φかλのいずれかが固定されている場合、体積要素は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{r}(\lambda )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \varphi }\right\|=r\ 、\quad {\text{それぞれ}}\\[3pt]\omega _{r}(\varphi )&=\left\|{\partial (x,y,z) \over \partial \lambda }\right\|=r\cos \varphi \ .\end{aligned}}}$

させて

${\displaystyle \mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )=f_{\Phi ,\Lambda }(\varphi ,\lambda )\omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda }$

は に関する結合測度を表し、および に関して密度を持つものとする。${\displaystyle {\mathcal {B}}(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$ ${\displaystyle f_{\ファイ ,\ラムダ }}$ ${\displaystyle \omega _{r}(\varphi ,\lambda )\,d\varphi \,d\lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{\Phi }(d\varphi )&=\int _{\lambda \in \Omega _{2}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ ,\\\mu _{\Lambda }(d\lambda )&=\int _{\varphi \in \Omega _{1}}\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda )\ .\end{aligned}}}$

密度が均一であると仮定すると、 ${\displaystyle f_{\ファイ ,\ラムダ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{\Phi \mid \Lambda }(d\varphi \mid \lambda )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Lambda }(d\lambda )}={\frac {1}{2r}}\omega _{r}(\varphi )\,d\varphi \ ,\quad {\text{and}}\\[3pt]\mu _{\Lambda \mid \Phi }(d\lambda \mid \varphi )&={\mu _{\Phi ,\Lambda }(d\varphi ,d\lambda ) \over \mu _{\Phi }(d\varphi )}={\frac {1}{2r\pi }}\omega _{r}(\lambda )\,d\lambda \ .\end{aligned}}}$

したがって、 はに関して一様密度を持ちますが、ルベーグ測度に関しては一様密度を持ちません。一方、 はおよびルベーグ測度 に関して一様密度を持ちます。${\displaystyle \mu _{\Phi \mid \Lambda }}$ ${\displaystyle \omega _{r}(\varphi )\,d\varphi }$ ${\displaystyle \mu _{\Lambda \mid \Phi }}$ ${\displaystyle \omega _{r}(\lambda )\,d\lambda }$

矛盾の証明

単位球面上に均一に分布するランダムベクトルを考えます。 ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle S^{2}}$

まず、通常の球面極座標を使用して球をパラメータ化します。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(\varphi )\cos(\theta )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=\sin(\varphi )\end{aligned}}}$

ここで、および。 ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi }$

ランダム変数 をこのパラメータ化の逆関数の値として定義することができます。 または、より正式には arctan2 関数を使用して定義することができます。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle (X,Y,Z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\arcsin(Z)\\\Theta &=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-Z^{2}}}},{\frac {X}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

球面キャップと球面ウェッジの表面積の公式を用いると、球面キャップウェッジの表面積は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Area} (\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )=(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )}$

は均一に分布しているので、確率は表面積に比例し、結合累積分布関数が得られる。${\displaystyle (X,Y,Z)}$

${\displaystyle F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )=P(\Theta \leq \theta ,\Phi \leq \varphi )={\frac {1}{4\pi }}(1+\sin(\varphi ))(\theta +\pi )}$

結合確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \partial \theta }}F_{\Phi ,\Theta }(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )}$

およびは独立した確率変数である ことに注意してください。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta }$

簡単のため、大円上の条件付き分布全体を計算するのではなく、ランダムベクトルが第一八分円に位置する確率のみを計算します。つまり、条件付き確率を次のように 計算します。${\displaystyle \mathbb {P} (A|B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,0<Y<X\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}\end{aligned}}}$

我々は、事象の条件付けの限界として条件付き確率を評価しようとする。

${\displaystyle B_{\varepsilon }=\{|\Phi |<\varepsilon \}}$

とは独立なので、事象と も独立である。したがって、 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$

${\displaystyle P(A\mid B)\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon })}{P(B_{\varepsilon })}}=\lim _{\varepsilon \to 0}P(A)=P\left(0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{8}}.}$

ここで、球体の異なるパラメータ化を使用してこのプロセスを繰り返します。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin(\varphi )\\y&=\cos(\varphi )\sin(\theta )\\z&=-\cos(\varphi )\cos(\theta )\end{aligned}}}$

これは、前のパラメータ化をy 軸を中心に 90 度回転させたものと同じです。

新しい確率変数を定義する

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi '&=\arcsin(X)\\\Theta '&=\arctan _{2}\left({\frac {Y}{\sqrt {1-X^{2}}}},{\frac {-Z}{\sqrt {1-X^{2}}}}\right).\end{aligned}}}$

回転は測定値を保存するので、と の密度は同じです。 ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Theta '}$

${\displaystyle f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )={\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )}$ 。

AとBの式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{0<\Theta <{\frac {\pi }{4}}\right\}&&=\{0<X<1,\ 0<Y<X\}&&=\left\{0<\Theta '<\pi ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right\}\\B&=\{\Phi =0\}&&=\{Z=0\}&&=\left\{\Theta '=-{\frac {\pi }{2}}\right\}\cup \left\{\Theta '={\frac {\pi }{2}}\right\}.\end{aligned}}}$

事象の条件付けの限界として条件付き確率を再度評価する試み

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\prime }=\left\{\left|\Theta '+{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}\cup \left\{\left|\Theta '-{\frac {\pi }{2}}\right|<\varepsilon \right\}.}$

ロピタルの定理と積分記号の下での微分法を用いると：

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\mid B)&\mathrel {\stackrel {?}{=}} \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {P(A\cap B_{\varepsilon }^{\prime })}{P(B_{\varepsilon }^{\prime })}}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\frac {4\varepsilon }{2\pi }}}P\left({\frac {\pi }{2}}-\varepsilon <\Theta '<{\frac {\pi }{2}}+\varepsilon ,\ 0<\Phi '<{\frac {\pi }{2}},\ \sin(\Theta ')<\tan(\Phi ')\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}\int _{{\pi }/{2}-\epsilon }^{{\pi }/{2}+\epsilon }\int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{\sin(\theta )<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}(\varphi ,\theta )\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta \\&=\pi \int _{0}^{{\pi }/{2}}1_{1<\tan(\varphi )}f_{\Phi ',\Theta '}\left(\varphi ,{\frac {\pi }{2}}\right)\mathrm {d} \varphi \\&=\pi \int _{\pi /4}^{\pi /2}{\frac {1}{4\pi }}\cos(\varphi )\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\neq {\frac {1}{8}}\end{aligned}}}$

これは、条件付き確率#確率 0 のイベントの条件付けで説明されているように、条件付き密度を確率 0 のイベントの条件付けとして扱うことができないことを示しています。

参照

• 崩壊定理 – 測度論における定理

注記

1. ジェインズ 2003、pp. 1514–1517
2. 原著はコルモゴロフ（1933年）、翻訳はコルモゴロフ（1956年）。出典はポラード（2002年）

参考文献

• ジェインズ, ET (2003). 「15.7 ボレル＝コルモゴロフのパラドックス」.確率論：科学の論理. ケンブリッジ大学出版局. pp.  467– 470. ISBN 0-521-59271-2. MR  1992316 .
  • 断片版（1994年）（pp. 1514–1517）Wayback Machineで2018年9月30日にアーカイブ （PostScript形式）
• アンドレイ、コルモゴロフ（1933年）。Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (ドイツ語)。ベルリン：ユリウス・シュプリンガー。
  • 翻訳：コルモゴロフ、アンドレイ（ 1956年）「第5章 §2 ボレルパラドックスの説明」『確率論の基礎』（第2版）ニューヨーク：チェルシー、pp.  50-51。ISBN 0-8284-0023-7. 2018年9月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。2009年3月12日閲覧。
• ポラード、デイヴィッド (2002). 「第5章 条件付け、例17」.測度論的確率論ユーザーズガイド. ケンブリッジ大学出版局. pp.  122– 123. ISBN 0-521-00289-3. MR  1873379 .
• モーゼガード、クラウス；タラントラ、アルバート（2002）「16 逆問題への確率的アプローチ」国際地震工学ハンドブック、国際地球物理学、第81巻、pp.  237– 265、doi：10.1016/S0074-6142(02)80219-4、ISBN 9780124406520。
• ギャル、ヤリん。「ボレル・コルモゴロフのパラドックス」(PDF)。