生まれながらの相互関係
理論物理学の原理

物理学において、ボルンの相互性（ボルン・グリーン相互性とも呼ばれる）は、理論物理学者マックス・ボルンによって提唱された原理であり、空間と運動量の双対性（対称性）を前提としています。ボルンと彼の同僚たちは、この原理を相互性理論としても知られる枠組みへと拡張しました。[1] [2]

ボルンは、自由粒子の配置空間と運動量空間の表現の間に対称性があることに気づいた。それは、その波動関数の記述が変数x  →  pおよびp  → − xの変化に対して不変であるという点である。（これは、スケール因子を含むように表現することもできる。例えば、 x  →  apおよびp  → − bxに対する不変性。ここでa、bは定数である。）ボルンは、このような対称性は特殊相対論の4元ベクトル、すなわち4元ベクトル空間座標にも 当てはまると仮説を立てた。

X ＝ X μ := （ X 0 、 X 1 、 X 2 、 X 3 ） ＝ （ c t 、 × 、 y 、 z ） {\displaystyle \mathbf {X} =X^{\mu }:=\left(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)}

4ベクトル運動量（4運動量）座標

P ＝ P ν := （ P 0 、 P 1 、 P 2 、 P 3 ） ＝ （ E c 、 p × 、 p y 、 p z ） {\displaystyle \mathbf {P} =P^{\nu }:=\left(P^{0},P^{1},P^{2},P^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}

古典力学と量子力学の両方において、ボルンの相互性予想は、変換x  →  pとp  → − xによってハミルトン方程式が不変になることを仮定しています。

× ˙ 私 ＝ ∂ H / ∂ p 私 {\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}} そして p ˙ 私 ＝ − ∂ H / ∂ × 私 {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial x_{i}}

マックス・ボルンは、相互性のアプローチから、時空運動量エネルギー線要素の不変性を予想した。[2]ボルンとHSグリーンも同様に、特殊相対論のミンコフスキー計量を位相空間座標上の不変計量に拡張した不変（量子）計量演算子の概念を導入した。[要出典]この計量は、四重変換群の下で不変である。[3] [4] × け × け + p け p け {\displaystyle x_{k}x^{k}+p_{k}p^{k}}

ボルンが主張したような相互性は、古典物理学および量子物理学の形式論の多くにおいて観察されるが、全てではない。ボルンの相互性理論は、理論の数学的基礎の難しさのために、それ以上発展することはなかった。

しかし、ボルンの量子計量演算子のアイデアは、1950年代に湯川秀樹が非局所量子理論を展開する際に採用された。 [5] [6] 1981年、エドゥアルド・R・カイアニエロは、プランクスケールに最小の長さがあるのと同様に「最大加速度」を提唱し、この最大加速度の概念は他の人々によって拡張された。[7] [8]また、ボルンの相互性が弦理論におけるT双対対称性の根底にある物理的理由である可能性も示唆されており[要出典] 、ボルンの相互性が量子幾何学の発展に関連している可能性もある。[9] [10]

ボルンは、結晶 格子において粒子の運動が逆格子によってp空間で記述できるという理由で「相反性」という用語を選択した。[1]

参考文献

  1. ^ ab マックス・ボーン、エドマンド・テイラー・ウィテカー (1938). 「量子論と相対性理論の統合に関する提案」Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 165 (921): 291– 303. Bibcode :1938RSPSA.165..291B. CiteSeerX  10.1.1.205.4432 . doi :10.1098/rspa.1938.0060. S2CID  121816621.
  2. ^ ab Born, Max (1949). 「素粒子の相互性理論」(PDF) . Reviews of Modern Physics . 21 (3): 463– 473. Bibcode :1949RvMP...21..463B. doi : 10.1103/RevModPhys.21.463 .
  3. ^ スチュアート・モーガン：生まれながらの相互関係への現代的アプローチ、博士論文、タスマニア大学、2011年
  4. ^ Govaerts, Jan; Jarvis, Peter D.; Morgan, Stuart O.; Low, Stephen G. (2007). 「相互不変系の世界線量子化」. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 40 (40): 12095– 12111. arXiv : 0706.3736 . Bibcode :2007JPhA...4012095G. doi :10.1088/1751-8113/40/40/006. S2CID  16995610.
  5. ^ エドゥアルド・プルゴヴェチキ：確率的量子力学と量子時空、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ、1984年、 ISBN 978-9027716170、第 4.5 節「相互性理論とボルンの量子計量演算子」、199 ページ以降。
  6. ^ Kim, YS; Noz, Marilyn E. (1979). 「最小時間エネルギー不確定性関係の物理的根拠」. Foundations of Physics . 9 ( 5–6 ): 375– 387. Bibcode :1979FoPh....9..375K. doi :10.1007/BF00708529. S2CID  121121484.
  7. ^ Caianiello, ER (1981). 「最大加速度は存在するか？」. Lettere al Nuovo Cimento . シリーズ2. 32 (3): 65– 70. doi :10.1007/BF02745135. S2CID  122974218.
  8. ^ カストロ、カルロス (2002). 「クリフォード代数からの最大加速位相空間相対論」. arXiv : hep-th/0208138v2 .
  9. ^ エドゥアルド・プルゴヴェチキ著『量子一般相対性理論の原理』World Scientific Pub. Co., 1995年, ISBN 978-9810221386、第3.8節 基礎的な特殊相対論的量子ローレンツ系、pp. 106–111
  10. ^ アメリーノ＝カメリア、ジョヴァンニ；フリーデル、ローラン；コワルスキー＝グリクマン、イェルジー；スモーリン、リー (2011). 「相対的局所性：相対性原理の深化」一般相対性理論と重力43 ( 10): 2547– 2553. arXiv : 1106.0313 . Bibcode :2011GReGr..43.2547A. doi :10.1007/s10714-011-1212-8. S2CID  118607387.

さらに読む

  • ジャーヴィス, PD; モーガン, SO (2006). 「Born Reciprocityと時空の粒度」. Foundations of Physics Letters . 19 (6): 501– 517. arXiv : math-ph/0508041 . Bibcode :2006FoPhL..19..501J. doi :10.1007/s10702-006-1006-5. S2CID  13524466.
  • ロー、スティーブン・G. (2006). 「非慣性系とクォプレクティック群の相反相対性」.物理学基礎. 36 (7): 1036–1069 . arXiv : math-ph/0506031 . Bibcode :2006FoPh...36.1036L. doi :10.1007/s10701-006-9051-2. S2CID  119686172.
  • Delbourgo, R.; Lashmar, D. (2008). 「Born Reciprocityと1/Rポテンシャル」. Foundations of Physics . 38 (11): 995–1010 . arXiv : 0709.0776 . Bibcode :2008FoPh...38..995D. doi :10.1007/s10701-008-9247-8. S2CID  14540676.
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