ブールの極小曲面

Bour の表面。

 自己交差をより明確に示すためにr < 0.5の点を省略した Bour 面。

数学において、ブール極小曲面（ブールきょうこくめん）は、三次元ユークリッド空間への自己交差によって埋め込まれた二次元極小曲面である。極小曲面に関する研究で1861年にフランス科学アカデミー数学賞を受賞したエドモン・ブールにちなんで名付けられた。^{[ 1 ]}

説明

ブール曲面は、空間の原点で等角に交わる3本の共平面射線によって交差する。これらの射線は曲面を6枚のシートに分割する。これらのシートは位相的に半平面と等価である。3枚のシートは射線平面の上の半空間に、3枚のシートは射線平面の下の半空間に位置する。4枚のシートは各射線に沿って互いに接する。

方程式

曲面上の点は、極座標において一対の数値( r , θ )によってパラメータ化される。これらの数値のペアはそれぞれ、媒介変数方程式^{[ 2 ]} に従って三次元上の点に対応する。曲面は、三次元空間の 直交座標 における16次の多項式方程式の解として表すこともできる。$${\displaystyle {\begin{aligned}x(r,\theta)&=r\cos(\theta)-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\cos(2\theta)\\y(r,\theta)&=-r\sin(\theta)(r\cos(\theta)+1)\\z(r,\theta)&={\tfrac {4}{3}}r^{3/2}\cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right).\end{aligned}}}$$

プロパティ

ヴァイエルシュトラス・エネパー・パラメタライゼーションは、複素数上の特定の関数のペアを極小曲面に変換する手法であり、この2つの関数に対してこの曲面を生成する。この族の曲面は回転面上に展開可能であることがBourによって証明された。^{[ 3 ]}${\displaystyle f(z)=1,g(z)={\sqrt {z}}}$

参考文献

1. オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「エドモンド・ブール」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学。
2. Weisstein, Eric W. 「Bour の極小曲面」 MathWorld（Wolfram Web リソース）よりhttp://mathworld.wolfram.com/BoursMinimalSurface.html
3. ウルリッヒ・ディルケス、シュテファン・ヒルデブラント、フリードリヒ・ソーヴィニー『極小曲面』第1巻、シュプリンガー、2010年