ブランブル・ヒルベルトの補題

数学、特に数値解析において、ジェームズ・H・ブランブルとスティーブン・ヒルベルトにちなんで名付けられたブランブル・ヒルベルトの補題は、関数の近似値の誤差が、次の の導関数によって、最大で 次 の多項式によって制限されることを示します。近似値の誤差と の導関数はどちらも、 の有界領域上のノルムによって測定されます。これは、たとえば、線形補間の誤差がの2次導関数を使用して制限できる、従来の数値解析に似ています。ただし、ブランブル・ヒルベルトの補題は1次元だけでなく任意の次元数に適用され、 の近似誤差と導関数は、最大ノルムだけでなく、平均を含むより一般的なノルムによって測定されます。 ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle m-1}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle L^{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle u}$

ブランブル・ヒルベルトの補題が成立するためには、領域に関する追加の仮定が必要となる。本質的に、領域の境界は「合理的」でなければならない。例えば、先端の角度がゼロのスパイクやスリットを持つ領域は除外される。リプシッツ領域は十分に合理的であり、これには凸領域や連続的に微分可能な境界を持つ領域が含まれる。

ブランブル・ヒルベルトの補題の主な用途は、までの次数多項式を保存する演算子による関数の補間の誤差の境界を、 の次数 の導関数を用いて証明することです。これは有限要素法における誤差推定の重要なステップです。ブランブル・ヒルベルトの補題は、1つの要素（または、一部の超収束の結果では少数の要素） からなる領域に適用されます。${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle m-1}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle m}$

1次元の場合

この補題を一般論として述べる前に、いくつかの簡単な特殊なケースを検討しておくと有益である。1次元で区間 で微分を持つ関数に対して、この補題は次のように帰着する。 ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle \left(a,b\right)}$

${\displaystyle \inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left(b-a\right)^{m-k}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\text{ for each integer }}k\leq m{\text{ and extended real }}p\geq 1,}$

ここで、 は最大次数のすべての多項式空間であり、は関数の 番目の導関数を示します。 ${\displaystyle \textstyle P_{m-1}}$ ${\displaystyle \textstyle m-1}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

、、、が2回微分可能な場合、これはすべてのに対して、1次の多項式が存在することを意味する。 ${\displaystyle \textstyle p=\infty }$ ${\displaystyle \textstyle m=2}$ ${\displaystyle \textstyle k=0}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle x\in \left(a,b\right)}$

${\displaystyle \left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(b-a\right)^{2}\sup _{\left(a,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .}$

この不等式は、 を の線形補間として選択することによって得られる、線形補間のよく知られた誤差推定からも得られます。 ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle u}$

補題の記述

がの有界領域で、境界が で直径がであるとする。はにおける階数までの弱微分を持つすべての関数のソボレフ空間である。ここで、は多重添字であり、に関する微分、に関する微分、などを表す。 のソボレフ半ノルムは、最高階の微分ノルム から構成される。${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }u}$ ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert }$ ${\displaystyle \textstyle k}$ ${\displaystyle \textstyle L^{p}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle L^{p}}$

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty }$

そして

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \textstyle P_{k}}$ は上の までの位数のすべての多項式全体の成す空間です。すべての および に対して となるので、 は任意の に対して同じ値を持つことに留意してください。 ${\displaystyle \textstyle k}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }v=0}$ ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ ${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m}$ ${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}}$ ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$

補題（ブランブルとヒルベルト） 以下に指定する領域 に関する追加の仮定の下で、およびに依存しない定数が存在し、任意の に対して が存在する多項式が存在し、すべての に対して となる。${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,\Omega \right)}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ ${\displaystyle \textstyle k=0,\ldots ,m,}$

${\displaystyle \left\vert u-v\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

元の結果

この補題は、強円錐特性を満たすという仮定の下で、BrambleとHilbert ^{[ 1 ]}によって証明された。強円錐特性とは、任意のに対してが含まれる、原点に頂点を持つ円錐とそれに対応する円錐の有限開被覆が存在するということである。 ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle \left\{O_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle \{C_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle x+C_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \in \Omega \cap O_{i}}$

^{ここでの補題の記述は、 [ 1 ] の定理1で述べられている右辺の不等式を単純に書き直したものである。[ 1 ]}における^{実際の記述}は、因子空間のノルムが半ノルムと同値である、というものである。ノルムは通常のノルムではなく、項が でスケーリングされているため、半ノルムの同値性における右辺の不等式は、ここでの記述と全く同じになる。 ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )/P_{m-1}}$ ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

元の結果では、多項式の選択は指定されておらず、定数の値とそのドメインへの依存性は証明から決定できません。 ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

建設的な形式

^{デュポンとスコット[ 2 ]}は、領域が星型であるという仮定の下で別の結果を与えた。つまり、任意の に対しての閉凸包が の部分集合となるような球体が存在するということである。 がそのような球体の直径の最大値であると仮定する。この比はのチャンクネスと呼ばれる。 ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle \left\{x\right\}\cup B}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle \rho _{\max }}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma =d/\rho _{\max }}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

すると、定数 について補題が成立する。つまり、定数 は定義域の塊度と空間 の次元のみによって定義域に依存する。さらに、は として選ぶことができる。ここではにおける平均テイラー多項式であり、について次のよう に定義される。${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=Q^{m}u}$ ${\displaystyle \textstyle Q^{m}u(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle u\in W^{m-1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle Q^{m}u(x)=\int _{B}T_{y}^{m}u\left(x\right)\psi \left(y\right)\operatorname {d} y,}$

はどこですか？ ${\displaystyle T_{y}^{m}}$

${\displaystyle T_{y}^{m}u\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{m-1}\sum \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(x-y\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle u}$ の古典的なテイラー多項式はを中心とし、ほぼすべての に対して定義される。この関数は、すべての階数の導関数を持ち、 の外側ではゼロであり、 となる 滑らかな軟化関数である。${\displaystyle \textstyle m-1}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \textstyle \psi \geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \int _{B}\psi (y)\operatorname {d} y=1.}$

そのような関数は常に存在する。積分を解き、平滑性と部分積分のおかげで、次のような代替形式が得られる。 ${\displaystyle \textstyle \psi }$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q^{m}u(x)&=\sum \limits _{\vert \alpha \vert <m}\sum \limits _{\gamma +\beta =\alpha }{\frac {1}{\alpha !}}a_{\gamma ,\beta }x^{\gamma }\int _{B}D^{\alpha }u(y)y^{\beta }\psi (y)\operatorname {d} y\\&=\sum _{|\alpha |<m}\sum _{\gamma +\beta }{\frac {(-1)^{\vert \alpha \vert }}{\alpha !}}a_{\gamma ,\beta }x^{\gamma }\int _{B}u(y)D^{\alpha }\left[y^{\beta }\psi (y)\right]\operatorname {d} y.\end{aligned}}}$

後者の形式は、 の滑らかさの要件を、の要素であることから の単なる要素であることへと緩和することを可能にする。ATPは古典的なTPのような点ごとの構成ではないが、それでもボールに対して局所的であり 、必要に応じて繰り返すことができる。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W^{m-1,p}}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle B}$

より詳しい内容とチュートリアルについては、ブレンナーとスコットのモノグラフを参照のこと。^{[ 3 ]}この結果は、領域が有限個の星型領域の和集合である場合（これは強円錐特性よりもやや一般化している）、および与えられた次数までのすべての多項式空間以外の多項式空間である場合に拡張することができる。^{[ 2 ]}${\displaystyle \textstyle \Omega }$

線形関数の境界

この結果は上記の補題から直接導かれ、​​例えばCiarletによってBramble–Hilbertの補題とも呼ばれる。^{[ 4 ]これは本質的には[ 1 ]}の定理2である。

補題 が上の連続線型汎関数であり、その双対ノルムがであるとする。すべての に対して であるとする。すると、定数が存在し、 ${\displaystyle \textstyle \ell }$ ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell \left(v\right)=0}$ ${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$ ${\displaystyle \textstyle C=C\left(\Omega \right)}$

${\displaystyle \left\vert \ell \left(u\right)\right\vert \leq C\left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

参考文献

1. Bramble, JH; Hilbert, SR (1970). 「ソボレフ空間上の線型関数の推定とフーリエ変換およびスプライン補間への応用」(PDF) . SIAM J. Numer. Anal . 7 (1): 112– 124. Bibcode : 1970SJNA....7..112B . doi : 10.1137/0707006 . JSTOR  2949585 .
2. デュポン, トッド; スコット, リッジウェイ (1980). 「ソボレフ空間における関数の多項式近似」 . Math. Comp . 34 (150): 441– 463. doi : 10.1090/S0025-5718-1980-0559195-7 . JSTOR 20060955. MR 0055919 .  
3. Brenner, Susanne C. ; Scott, L. Ridgway (2002).有限要素法の数学的理論. Texts in Applied Mathematics. Vol. 15 (第2版). Springer. doi : 10.1007/978-0-387-95451-6 (2025年7月1日現在休止). ISBN 0-387-95451-1。
4. Ciarlet, Philippe G. (2002) [1978].楕円型問題に対する有限要素法. 応用数学の古典. 第40巻. SIAM. ISBN 0-89871-514-8. OCLC  48892573 .1978年版の電子書籍

外部リンク

• Raytcho D. Lazarov (2001) [1994]、「Bramble–Hilbert lemma」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press
• マンデル, ヤン(2007年10月28日). 「ブラムブル–ヒルベルトの補題」. arXiv : 0710.5148 [ math.NA ].