ブリッジランド安定条件

数学、特に代数幾何学において、トム・ブリッジランドによって定義されたブリッジランド安定条件は、三角形化圏の元に定義される代数幾何学的安定条件である。この三角形化圏がカラビ・ヤウ多様体上の連接層の導来圏である場合は、本来の関心事であり特に重要であり、この状況は弦理論やDブレーンの研究と根本的なつながりを持つ。

このような安定性条件は、マイケル・ダグラスによって「-安定性」と呼ばれる基本的な形で導入され、弦理論におけるBPS Bブレーンの研究に用いられました。^[1]この概念はブリッジランドによって明確にされ、彼はこれらの安定性条件を明確な言葉で表現し、数学的に研究を開始しました。^[2]${\displaystyle \Pi }$

意味

このセクションの定義は、ブリッジランドの原著論文にあるように、任意の三角圏に対して提示されている。^[2]を三角圏とする 。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

三角形のカテゴリーのスライス

のスライスと は、それぞれについて完全 な加法的なサブカテゴリの集合であり、${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )[1]={\mathcal {P}}(\varphi +1)}$ すべての に対して、は三角化カテゴリ上のシフト関手であり、${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [1]}$
• かつ、ならば、、 である${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\varphi _{1})}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\varphi _{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)=0}$
• あらゆる物体には、実数の有限列と三角形の集合が存在する。${\displaystyle E\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}>\cdots >\varphi _{n}}$

すべて に対してとなります。${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {P}}(\varphi _{i})}$ ${\displaystyle i}$

最後の性質は、カテゴリ の要素にハーダー・ナラシムハン濾過の存在を公理的に課すものとして捉えるべきである。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

安定条件

三角形分割カテゴリにおけるブリッジランド安定性条件は、スライスと群準同型からなるペアであり、中心電荷と呼ばれるグロタンディーク群であり、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle Z:K({\mathcal {D}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K({\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ならば、ある正の実数に対して となります。${\displaystyle 0\neq E\in {\mathcal {P}}(\varphi )}$ ${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi )}$ ${\displaystyle m(E)\in \mathbb {R} _{>0}}$

慣例的に、カテゴリ は本質的に小さいと仮定し、 上のすべての安定性条件の集合は集合 を形成する。良好な状況、例えば が複素多様体 上の連接層の導来カテゴリである場合、この集合は実際には複素多様体自体の構造を持つ。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Stab} ({\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}^{b}\operatorname {Coh} (X)}$ ${\displaystyle X}$

安定条件に関する技術的考察

ブリッジランドは、ブリッジランド安定性条件のデータは、カテゴリ上の有界t構造 と、このt構造の中心に上記のハーダー・ナラシムハンの性質を満たす中心電荷を指定することと同等であることを示した。^[2]${\displaystyle {\mathcal {P}}(>0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle Z:K({\mathcal {A}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}((0,1])}$

要素が安定性条件に関して半安定（または安定）であるとは、 のすべての射影 に対して が成り立ち、に対しても同様に が成り立つ場合を指します。 ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle E\to F}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varphi (E)\leq ({\text{resp.}}<)\,\varphi (F)}$ ${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi (E))}$ ${\displaystyle F}$

例

ハーダー・ナラシムハン濾過から

滑らかな射影曲線に対するハーダー・ナラシムハン濾過は、任意のコヒーレント層に対して濾過が存在することを意味することを思い出してください。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \cdots \subset E_{n}=E}$

因子の傾きが となるようなもの。 とする。この濾過を、コホモロジー層上の濾過を考慮することで、有界な層の複体まで拡張することができる。この観察から、中心電荷とスライスが次のように定義されるとき、このペアは ブリッジランド安定条件となる。${\displaystyle E_{j}/E_{j-1}}$ ${\displaystyle \mu _{i}={\text{deg}}/{\text{rank}}}$ ${\displaystyle \phi (E)=\arg(-\mathrm {deg} (E)+i\mathrm {rank} (E))}$ ${\displaystyle E^{\bullet }}$ ${\displaystyle E^{i}=H^{i}(E^{\bullet })[+i]}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ $${\displaystyle Z(E)=-\mathrm {deg} (E)+\mathrm {rank} (E),{\mathcal {P}}(\phi )=\{E^{\bullet }\colon \mu {\text{-semistable of phase }}\phi \}.}$$

楕円曲線

楕円曲線の場合についてはブリッジランドによる解析がある。彼は^{[2] [3]}において、同値性があることを発見した。

${\displaystyle {\text{Stab}}(X)/{\text{Aut}}(X)\cong {\text{GL}}^{+}(2,\mathbb {R} )/{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

ここで、 は安定条件の集合であり、は導出カテゴリの自己同値性の集合である。 ${\displaystyle {\text{Stab}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(X)}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$

参考文献

1. Douglas, MR, Fiol, B. and Römelsberger, C., 2005. 安定性とBPSブレーン. 高エネルギー物理学ジャーナル, 2005(09), p. 006.
2. Bridgeland, Tom (2006-02-08). 「三角化カテゴリにおける安定条件」. arXiv : math/0212237 .
3. 上原 北斗 (2015-11-18). 「小平次元が非零の楕円曲面の導来圏の自己同値性」. pp.  10– 12. arXiv : 1501.06657 [math.AG].

論文

• A n {\displaystyle A_{n}} 特異点における安定条件
• 自己同値性、安定条件、モジュライ問題間の相互作用