ブラウン運動ウェブ

ブラウン運動のウェブ：あらゆる空間と時間から始まるブラウン運動の融合

確率論において、ブラウン運動ウェブとは、空間と時間のあらゆる点から始まる一次元合体ブラウン運動の無数個の集合である。これは、整数格子Zの各点から各時刻に1つのランダムウォークが出発する 合体ランダムウォークの集合の拡散的時空スケーリング極限として生じる。

歴史と基本的な説明

構成 の投票者モデルのグラフィカルな構築。矢印は、投票者が矢印で指し示す隣人の意見にいつ変更するかを示します。系図は、矢印を時間的に遡って追跡することで得られ、それらは合体ランダムウォークとして分布します。${\displaystyle \eta_{t}:=(\eta_{t}(x))_{x\in\mathbb{Z}}\in\{0,1\}^{\mathbb{Z}}}$

現在ブラウン運動ウェブとして知られているものは、Arratiaが博士論文^{[ 1 ]}と、それに続く未完成で未発表の原稿^{[ 2 ]で初めて考案しました。 [ 3 ]} Arratia は、相互作用する粒子システムである投票者モデルを研究しました。人口の個人はグラフの頂点で表され、各個人は 0 または 1 で表される 2 つの意見のうちの 1 つを持ちます。各個人は独立して、速度 1 で、ランダムに選ばれた隣人の意見に意見を変更します。投票者モデルは、合体ランダム ウォークの双対であることが知られています(つまり、ランダム ウォークは離れているときは独立して動き、出会うと 1 つのウォークとして動きます)。つまり、どの時点での各個人の意見も、時間を遡って時刻 0 の祖先までたどることができ、異なる時点での異なる個人の意見の結合系図は、時間を遡って進化する合体ランダム ウォークのコレクションです。空間次元1において、有限個の時空点から始まる合体ランダムウォークは、時空が拡散的に再スケールされる（すなわち、各時空点(x,t)が(εx,ε^2t)に写像され、ε↓0となる）場合、有限個の合体ブラウン運動に収束する。これはドンスカーの不変原理の帰結である。あまり明白ではない疑問は、次の通りである。

離散時空格子上のランダムウォークの合体。各格子点から、それぞれ確率1/2で右上または左上への矢印が描かれます。ランダムウォークは矢印に沿って時間的に上方に移動し、異なるランダムウォークが出会うと合体します。${\displaystyle \mathbb {Z} _{\rm {even}}^{2}:=\{(x,n)\in \mathbb {Z} ^{2}:x+n{\mbox{ は偶数}}\}}.}$

時空のあらゆる点から始まる 1 次元の合体ランダム ウォークの共同コレクションの拡散スケーリング限界は何ですか。

アラティアはこの極限、つまり現在ではブラウンウェブと呼ばれているものを構築しようと試みました。正式には、これは におけるあらゆる時空点から始まる1次元の合体ブラウン運動の集合です。ブラウンウェブが無数のブラウン運動から構成されているという事実が、その構築を極めて非自明なものにしています。アラティアは構成を提示しましたが、合体ランダムウォークの極限オブジェクトへの収束を証明し、そのような極限オブジェクトを特徴付けることはできませんでした。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

TóthとWerner は、真の自己反発運動の研究^{[ 4 ]}において、この極限オブジェクトとその双対の詳細な特性を多数得たが、この極限オブジェクトへの合体ウォークの収束を証明したり、それを特徴付けたりしなかった。収束を証明する上での主な困難は、極限オブジェクトが複数のパスをとることができるランダムな点の存在から生じる。Arratia と TóthとWerner はそのような点の存在を認識しており、そのような多重性を避けるためのさまざまな規約を提供した。Fontes、Isopi、Newmanおよび Ravishankar ^{[ 3 ]} は、極限オブジェクトの位相を導入し、ポーランド空間(この場合はコンパクトなパスの集合の空間)で値を取るランダム変数として実現した。この選択により、極限オブジェクトはランダムな時空間点から複数のパスをとることができる。この位相の導入により、彼らは、合体ランダムウォークが唯一の極限オブジェクトに収束することを証明し、それを特徴付けることができた。

ブラウン運動の合体において分岐を許容するブラウン運動ウェブの拡張であるブラウン運動ネットは、サンとスワートによって導入された^{[ 5 ]}。ブラウン運動ネットの別の構成は、ニューマン、ラヴィシャンカール、シェルツァーによって提案された^{[ 6 ] 。}

最近の調査については、Schertzer、Sun、Swartを参照してください。^{[ 7 ]}

参考文献

1. Arratia, Richard Alejandro (1979-01-01). 「直線上のブラウン運動の合体」ウィスコンシン大学マディソン校.
2. Arratia, Richard (1981). 「 R上のブラウン運動の合体とZ上の投票者モデル」。未完成原稿。2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年9月21日閲覧。
3. Fontes, LRG; Isopi, M.; Newman, CM; Ravishankar, K. (2004-10-01). 「ブラウン運動のウェブ：特徴づけと収束」. The Annals of Probability . 32 (4): 2857– 2883. arXiv : math/0311254 . doi : 10.1214/009117904000000568 . ISSN 0091-1798 . 
4. Tóth, Bálint; Werner, Wendelin (1998-07-01). 「真の自己反発運動」 .確率論と関連分野. 111 (3): 375– 452. doi : 10.1007/s004400050172 . ISSN 0178-8051 . 
5. 孫栄峰;スワート、ジャン M. (2008-05-01)。 「ブラウンネット」。確率年報。36 (3): 1153–1208。arXiv : math / 0610625 。土井: 10.1214/07-AOP357。ISSN 0091-1798。 
6. Newman, CM; Ravishankar, K.; Schertzer, E. (2010-05-01). 「ブラウン運動ウェブの(1, 2)点のマーキングとその応用」Annales de l'Institut Henri Poincaré B. 46 ( 2): 537– 574. arXiv : 0806.0158 . Bibcode : 2010AIHPB..46..537N . doi : 10.1214/09-AIHP325 . ISSN 0246-0203 . 
7. Schertzer, Emmanuel; Sun, Rongfeng; Swart, Jan M. (2015-06-01). 「ブラウンウェブ、ブラウンネット、そしてそれらの普遍性」. arXiv : 1506.00724 [ math.PR ].