ブッフホルツの順序数

数学において、ψ ₀ (Ω _ω )はブッフホルツの順序数として広く知られ、いくつかの数学システムの証明理論的強さを測定するために使用される大きな可算順序数です。特に、これは第二階算術のサブシステム-CA _0の証明理論的順序数です。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは、逆数学で研究される「ビッグファイブ」サブシステムの1つです(Simpson 1999)。これはまた、有限反復帰納的定義の理論である の証明理論的順序数であり、^{[ 3 ]}は、すべての集合が許容集合に含まれると述べる公理によって拡張されたクリプキ-プラテック集合論の一部です。ブッフホルツの順序数は、ブッフホルツの順序数記法で囲まれたセグメントの順序型でもあります。^{[ 1 ]}最後に、それは、、、、、… という数列の極限として表すことができる。${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ID_{<\omega }}}}$ ${\displaystyle KP\ell_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}D_{\omega }0}$ ${\displaystyle {\mathsf {(OT,<)}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\psi _{0}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathsf {BHO}}=\psi _{0}(\Omega _{2})}$ ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{3})}$

意味

• ${\displaystyle \Omega _{0}=1}$ 、n > 0の場合も同様です。${\displaystyle \Omega_{n}=\aleph_{n}}$

• ${\displaystyle C_{i}(\alpha )}$ は、加算と関数 自体の下での の閉包です(後者はとの場合のみ)。${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle \psi _{\eta }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu <\alpha }$ ${\displaystyle \eta \leq \omega }$
• ${\displaystyle \psi _{i}(\alpha )}$ は に含まれない最小の順序数です。${\displaystyle C_{i}(\alpha )}$
• したがって、ψ ₀ (Ω _ω ) は、加算と関数自体の下での閉包に含まれない最小の順序数です(後者はとの場合のみ)。${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \psi _{\eta }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu <\Omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \eta \leq \omega }$

参考文献

1. Buchholz, W. (1986-01-01). 「証明論的順序関数の新しいシステム」 . Annals of Pure and Applied Logic . 32 : 195–207 . doi : 10.1016/0168-0072(86)90052-7 . ISSN  0168-0072 .
2. シンプソン、スティーブン・G. (2009). 『第二階算術のサブシステム』 論理学の展望（第2版） ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88439-6。
3. T. Carlson, " Elementary Patterns of Resemblance " (1999). 2022年8月12日にアクセス。

• G. Takeuti著『証明論』第2版、1987年ISBN 0-444-10492-5
• K. シュッテ、証明理論、シュプリンガー 1977 ISBN 0-387-07911-4