ブッフォンの針問題

A の針は線を横切りませんが、B の針は線を横切ります。

確率論において、ビュフォンの針問題は18世紀にジョルジュ＝ルイ・ルクレール（ビュフォン伯爵）によって初めて提起された問題である。^{[ 1 ]}

同じ幅の木片が平行に並んだ床があり、そこに針を落としたとします。針が2つの木片の間の線を横切る確率はどれくらいでしょうか？

ビュフォンの針は、幾何学的確率論において最も初期に解決された問題の一つである。 ^{[ 2 ]}積分幾何学を用いて解くことができる。針の長さlがストリップの 幅t以下の場合、求められる確率pの解は、

${\displaystyle p={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}.}$

これは、数値πを近似するためのモンテカルロ法を設計するために使用できますが、これがデ・ビュフォンの質問の元々の動機ではありませんでした。^{[ 3 ]}この式でπが異常に出現するように見えるのは、針の向きの基礎となる確率分布関数が回転対称であるからです。

解決

この問題をより数学的に表現すると、次のようになります。長さlの針をt単位間隔の平行線が引かれた平面に落とした場合、針が着地時に直線を横切る確率はどれくらいでしょうか。

針の中心から最も近い平行線までの距離をxとし、針と平行線の 1 つとの間の鋭角を θとします。

0から⁠ の間のxの一様確率密度関数(PDF)t/2⁠は

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

ここで、x = 0 は直線の中央に位置する針を表し、x = ⁠t/2⁠ は、 2本の直線のちょうど中央に位置する針を表します。一様確率密度関数（PDF）では、針がこの範囲内のどこにでも落ちる確率は等しく、範囲外に落ちることはないと仮定しています。

0から⁠までのθの一様確率密度関数π/2⁠は

${\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

ここで、θ = 0 は、マークされた線に平行な針を表し、θ = ⁠π/2⁠ラジアンは、マークされた線に対して垂直な針を表します。この範囲内のどの角度でも、結果は等しく発生すると想定されます。

2つの確率変数xとθは独立しているので^{[ 4 ]}、結合確率密度関数は

${\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

針が線を越えると

${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .}$

今は2つのケースがあります。

ケース1: 短い針 ( l ≤ t )

結合確率密度関数を積分すると、針が線を横切る確率が得られます。

${\displaystyle P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.}$

ケース2: 長い針 ( l > t )

l > tと仮定する。この場合、結合確率密度関数を積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,}$

ここで、m ( θ )は、⁠l/2⁠ sin θと⁠t/2⁠。

したがって、上記の積分を実行すると、l > tのとき、針が少なくとも1本の線を横切る確率は

${\displaystyle P={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1}$

または

${\displaystyle P={\frac {2}{\pi }}\arccos {\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right).}$

2番目の式では、最初の項は針の角度が常に少なくとも1本の線と交差する確率を表しています。右辺は、針の位置が重要となる角度で針が落ち、かつ線と交差する確率を表しています。

あるいは、θがl sin θ ≤ t、つまり0 ≤ θ ≤ arcsin の範囲にある値を持つときはいつでも、t/l⁠、交差確率は短い針の場合と同じです。ただし、 l sin θ > t、つまりarcsin ⁠t/l⁠ < θ ≤ ⁠π/2⁠確率は一定で、1 に等しくなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}}$

初等微積分学を使う

「短い針」の場合の次の解法は、上記の解法と同等ですが、より視覚的な特徴があり、反復積分を回避します。

確率Pは、 2 つの確率の積P = P ₁ · P ₂として計算できます。ここで、P ₁は、針の中心が線に十分近くなり、針が線を横切る可能性がある確率であり、P ₂は、中心が手の届く範囲内にある場合に、針が実際に線を横切る確率です。

上のセクションの図を見ると、針の中心が⁠内にある場合、針は線を横切ることができることがわかります。l/2ストリップの両側の⁠ユニット。 ⁠を追加すると、l/2⁠ + ⁠l/2⁠両辺をtで割ると、 P ₁ = ⁠が得られるl/t⁠。

赤と青の針はどちらもxを中心としています。赤い針は灰色の領域内にあり、両側に2θの角度で囲まれているため、垂直線と交差しています。青い針は交差していません。円の灰色の領域の割合は、中心xが0から1に変化するにつれて積分されます。

ここで、中心がストリップの端から届く範囲内にあると仮定し、P ₂を計算します。計算を簡略化するために、 と仮定します。 ${\displaystyle l=2}$

このセクションの図のようにxとθをとります。針の中心をxに置くと、針はπラジアンの向きの可能な範囲のうち、2 θラジアンの範囲内に入ると垂直軸と交差します。これは図のxの左側の灰色の領域を表しています。 x を固定すると、 θ はxの関数としてθ ( x ) = arccos( x )と表すことができます。ここで、x を0 から 1 までの範囲として積分します。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}}$

両方の結果を掛け合わせると、P = P ₁ · P ₂ = ⁠l/t⁠ · ⁠2/π⁠ = ⁠2リットル/tπ⁠上記の通りです。

「短い針の場合」を計算する、さらにエレガントでシンプルな方法があります。針がその領域を囲む2本の線のいずれかから最も遠い端は、この線を横切るためには、この線からl cos θ（θは針と水平線の間の角度）の水平距離（境界線に垂直な距離）以内に位置している必要があります。この針の端が、その領域内でこの線から水平方向に最も遠くに移動できる距離はtです。0 ≤ θ ≤ ⁠ の場合、針がその領域内で移動できる総距離tのうち、針の最も遠い端が線からl cos θの距離以内に位置する（つまり針が線を横切る）確率は、π/2⁠は次のように与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}}$

積分なし

短針問題は積分を必要とせずに解くことも可能です。これは、直径tの円がt本の帯状片を常に（つまり確率1で）ちょうど2点で横切るという幾何学的事実からpの公式を説明する方法です。この解は1860年にジョセフ＝エミール・バルビエによって示され^{[ 5 ]} 、「ビュフォンの麺」とも呼ばれています。

πの推定

πを求める実験。縦9マスのマッチ棒を、横9マスの列の間に17回投げました。そのうち11本は、緑の点で示された線を横切ってランダムに落ちました。⁠2 l · n/番目⁠ = ⁠2 × 9 × 17/9 × 11⁠ ≈ 3.1 ≈ π。

Matplotlibを用いたPython 3ベースのシミュレーションで、ブッフォンの針実験をt = 5.0、l = 2.6というパラメータで描画します。投げる回数（x軸）が無限大に近づくにつれて、 π（y軸）の計算値が 3.14 に近づいていく様子を観察します。

上記の最初の、より単純なケースでは、確率Pについて得られた式は次のように変形できる。

${\displaystyle \pi ={\frac {2l}{tP}}.}$

したがって、 P を推定する実験を行うと、 πの推定値も得られます 。

n本の針を落とし、そのうちh本の針が線と交差しているとすると、Pは次の分数で近似される。h/n⁠ . この式は次のようになります。

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2l\cdot n}{th}}.}$

1901年、イタリアの数学者マリオ・ラザリーニはビュフォンの針の実験を行いました。針を3,408回投げることで、よく知られた近似値を得ました。355/113πについては、小数点以下6桁の精度である。^{[ 6 ]}ラザリーニの「実験」は確証バイアス の例であり、すでによく知られている⁠の近似値を再現するように設定された。355/113（実際、分子と分母が5桁未満の有理近似値よりも良いものは存在しません。Milüも参照） 、次のように、試行回数から予想されるより も正確なπの「予測」が得られます。^{[ 7 ]}

ラザリーニは長さが⁠5/6⁠木の帯の幅。この場合、針が線を横切る確率は⁠5/3π​⁠ . したがって、 n本の針を落としてx回の交点を得た場合、 πは次のように 推定される。

${\displaystyle \pi \approx {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}}}$

だから、ラザリーニがその結果を狙っていたとしたら、355/113⁠、彼はnとxが

${\displaystyle {\frac {355}{113}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}},}$

あるいは同等に、

${\displaystyle x={\frac {113n}{213}}.}$

これを実行するには、nを213の倍数にする必要があります。113 n/213⁠は整数です。n本の針を落とし、ちょうどx = ⁠となることを期待します。113 n/213⁠成功回数。213本の針を落として、そのうち113回が成功すれば、小数点以下6桁の精度でπの推定値を誇らしげに報告できる。もし成功しなかったとしても、さらに213回試行して合計226回の成功を期待すればいい。成功しなかったとしても、必要に応じて繰り返すだけだ。ラザリーニは3,408 = 213 × 16回の試行を行ったことから、彼が「推定値」を得るために用いた戦略はおそらくこれだったと思われる。

上記の戦略の説明は、ラザリーニに寛大なものとさえ言えるかもしれない。彼が報告した、より少ない回数の投げ方における中間結果を統計的に分析すると、実験全体を通して期待値とこれほど近い一致が得られる確率は非常に低いことが分かる。つまり、「実験」自体は物理的に行われたのではなく、統計的な期待値に一致するように空想で捏造された数値に基づいていた可能性が非常に高い。しかし、結局のところ、あまりにもうまく一致しすぎていたのだ。^{[ 7 ]}

しかし、オランダの科学ジャーナリスト、ハンス・ファン・マーネンは、ラザリーニの記事をあまり真剣に受け止めるべきではなかったと主張している。なぜなら、ラザリーニが作ったという装置が、説明通りに機能するはずがないことは、（教師向けの）雑誌の読者にとっては明らかだったはずだからだ。^{[ 8 ]}

ラプラスの拡張（短い針の場合）

ここで、平面に互いに直交する 2 組の平行線があり、標準的な垂直グリッドを作成する場合を考えます。針がグリッド上の少なくとも 1 つの線と交差する確率を求めます。長さlの針の中点を含む長方形の辺をaおよびbとします。これは短い針の場合なので、l < a、l < bです。( x、y )を針の中点の座標とし、φ を針とx軸のなす角度とします。上記の例と同様に、x、y、φ を0 ≤ x ≤ a、0 ≤ y ≤ b、− ⁠の範囲で独立した一様確率変数とします。π/2⁠ ≤ φ ≤ ⁠π/2⁠。

このような問題を解くには、まず針がどの線も横切らない確率を計算し、次にその補数を取ります。この最初の確率は、針がどの線も横切らない領域の体積を求め、それをすべての可能性の体積Vで割ることで計算します。V = πabであることが簡単にわかります。

ここで、針がどの線とも交わらない可能性の体積をV *とします。これはJVウスペンスキーによって考案されました^{[ 9 ]。}

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi }$

ここで、F ( φ )は、角度φが与えられたときに針がどの直線とも交わらない領域です。F ( φ )を決定するために、まず外接矩形の水平方向の辺の場合を見てみましょう。辺の長さはaであり、中点は ⁠ 内にあってはいけません。l/2⁠ cos φは辺の両端の交差の許容長さである。したがって、交差がない場合の許容される長さの合計はa − 2( ⁠l/2⁠ cos φ )または単にa − l cos φと書くこともできます。同様に、長さbの垂直辺については、 b ± l sin φとなります。± はφが正か負かを表します。正の場合を取り、一般性を持たせるために最終的な答えに絶対値の符号を加えると、次のようになります。

${\displaystyle F(\varphi )=(a-l\cos \varphi )(b-l\sin \varphi )=ab-bl\cos \varphi -al|\sin \varphi |+{\tfrac {1}{2}}l^{2}|\sin 2\varphi |.}$

これで次の積分を計算できます。

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi =\pi ab-2bl-2al+l^{2}.}$

したがって、針がどの直線とも交わらない確率は

${\displaystyle {\frac {V^{*}}{V}}={\frac {\pi ab-2bl-2al+l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}.}$

そして最後に、針が少なくとも1本の線と交差する 確率Pを計算したい場合、上記の結果を1から引いてその補数を計算する必要があります。

${\displaystyle P={\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}}$ 。

πの推定値の比較

上述のように、ビュフォンの針実験はπを推定するのに用いることができます。この事実はラプラス拡張にも当てはまります。なぜなら、πはその答えにも現れるからです。すると、次のような疑問が自然に生じ、1974年にEF Schusterによって議論されました。^{[ 10 ]}ビュフォンの実験とラプラスの実験のどちらがπ の値をより正確に推定できるのでしょうか？ラプラス拡張では2組の平行線が存在するため、格子（ラプラス）がある場合はN滴、ビュフォンの元の実験では2N滴を比較することになります。

Aを針が水平線（ x軸に平行） と交差する事象とする。

${\displaystyle x={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

そして、Bを針が垂直線（ y軸に平行） と交差する事象とする。

${\displaystyle y={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

以降の代数的定式化を簡潔にするために、a = b = t = 2 lとすると、ビュフォンの問題の元の結果はP ( A ) = P ( B ) = ⁠となる。1/π⁠ . さらに、 N = 100滴とします。

さて、ラプラスの結果、つまり針が水平線と垂直線の両方と交差する確率 P ( AB )を調べてみましょう。次の式が成り立ちます。

${\displaystyle P(AB)=1-P(AB')-P(A'B)-P(A'B').}$

上のセクションから、P ( A ′ B ′)、つまり針がどの線とも交わらない確率は、

${\displaystyle P(A'B')=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(4l)-l^{2}}{4l^{2}\pi }}=1-{\frac {7}{4\pi }}.}$

P ( A′B )とP ( AB ′)は次の方法で 解くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}}$

P ( A ′ B )とP ( AB ′ )を解き、それを数行上の P ( AB )の元の定義に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle P(AB)=1-2\left({\frac {1}{\pi }}-P(AB)\right)-\left(1-{\frac {7}{4\pi }}\right)={\frac {1}{4\pi }}}$

問題に必須ではないが、 P ( A ′ B ) = P ( AB ′ ) = ⁠であることが分かる。3/4π​⁠ 。上記の値を用いて、これらの推定値のどれがπのより良い推定値であるかを判断できます。ラプラス変種の場合、 p̂を、次のような直線の交点が存在する確率の推定値とします。

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$ 。

このような推定量の有用性や効率性を理解するために、我々はその分散に注目する。p̂の分散を計算するには、まずVar( x _n + y _n )を計算する。ここで

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})=\operatorname {Var} (x_{n})+\operatorname {Var} (y_{n})+2\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n}).}$

各部分を個別に解決すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{aligned}}}$

前のセクションで述べたように、

${\displaystyle \mathbb {E} (x_{n}y_{n})=P(AB)={\frac {1}{4\pi }}}$

屈服する

${\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})={\frac {1}{4\pi }}-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{\pi }}={\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}<0}$

したがって、

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+2\left({\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}\right)={\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}}$

このセクションの元の問題に戻ると、推定量p̂の分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {1}{200^{2}}}(100)\left({\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}\right)\approx 0.000\,976.}$

ここで、垂直線に100滴滴下した場合と同じ分散を達成するために必要な滴数Mを計算してみましょう。M < 200の場合、平行線のみを用いた実験は垂直線を用いた場合よりも効率的であると結論付けることができます。逆に、Mが200以上の場合、Buffonの実験はそれぞれ同等かそれ以下になります。q̂をBuffonの元の実験の推定値とします。すると、

${\displaystyle {\hat {q}}={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}x_{m}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {q}})={\frac {1}{M^{2}}}(M)\operatorname {Var} (x_{m})={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\approx {\frac {0.217}{M}}}$

Mを解くと、

${\displaystyle {\frac {0.217}{M}}=0.000\,976\implies M\approx 222.}$

したがって、ラプラスの場合の100滴と同じ確実性を得るには、平行線のみの滴を222滴使う必要があります。これは、Cov( x _n , y _n ) < 0という観測結果からすると、実際には驚くべきことではありません。 x _nとy _{n は}負の相関を持つ確率変数であるため、これら2つの平均である推定値における全体の分散を減少させるように作用します。この分散減少法は、対照変量法として知られています。

参照

• ベルトランのパラドックス（確率）

参考文献

1. アカドの歴史。ロイ。デス。科学(1733)、43–45。 Histoire Naturelle, générale et Particulière Supplément 4 (1777)、p. 46.
2. セネタ, ユージン; パーシャル, カレン・ハンガー; ジョンマンス, フランソワ (2001). 「19世紀における幾何確率の発展：JJ シルベスター、MW クロフトン、J.-É. バルビエ、J. ベルトラン」 .正確科学史アーカイブ. 55 (6): 501– 524. doi : 10.1007/s004070100038 . ISSN  0003-9519 . JSTOR  41134124. S2CID  124429237 .
3. ベーレンツ、エアハルト。「ブッフォン: 帽子はStöckchen geworfen oder hat er nicht?」(PDF) 。2015 年3 月 14 日に取得。
4. ここでの問題の定式化により、通常の条件付き確率密度を扱う必要がなくなります。
5. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2013). 『THE BOOK』（第2版）からの校正. Springer Science & Business Media. pp.  189– 192.
6. ラッザリーニ、M. (1901)。「Un'applicazione del calcolo della probabilità allaricerca sperimentale di un valore approssimato di π」 [π の近似の実験研究への確率論の応用]。Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario (イタリア語)。4：140～ 143。
7. Lee Badger、 「ラザリーニのπの幸運な近似」、数学マガジン67、1994年、83-91。
8. ハンス・ファン・マーネン、「Het stokje van Lazzarini」（ラッツァリーニの杖）、「Skepter」31.3、2018。
9. JVウスペンスキー、「数学的確率入門」、1937年、255ページ。
10. EF Schuster、「Buffon's Needle Experiment」、The American Mathematical Monthly、1974年、29-29ページ。

参考文献

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• Ramaley, JF (1969年10月). 「ビュフォンのヌードル問題」.アメリカ数学月刊. 76 (8). アメリカ数学会誌: 916–918 . doi : 10.2307/2317945 . JSTOR  2317945 .
• マタイ, AM (1999). 『幾何確率入門』 ニューアーク: ゴードン＆ブリーチ. p. 5. ISBN 978-90-5699-681-9。
• デル, ザカリー; フランクリン, スコット V. (2009年9月). 「3次元におけるビュフォン-ラプラスの針問題」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2009 (9): 010. Bibcode : 2009JSMTE..09..010D . doi : 10.1088/1742-5468/2009/09/P09010 . S2CID  32470555 .
• シュローダー, L. (1974). 「ビュフォンの針問題：多くの数学的概念の刺激的な応用」.数学教師, 67 (2), 183-6.
• ウスペンスキー、ジェームズ・ビクター著「数学的確率入門」（1937年）。

外部リンク

• 結び目を切る際のブッフォンの針問題
• 数学のサプライズ：ブッフォンのヌードルで結び目を切る
• MSTE: ビュフォンの針
• ビュフォンの針 Java アプレット
• PI 可視化の見積もり (Flash)
• ブッフォンの針：楽しさと基本（スライドシェアでのプレゼンテーション）
• Yihui XieによるBuffonの針のシミュレーションのアニメーション（Rパッケージのアニメーションを使用）
• ジェフリー・ヴェントレッラによる3D物理アニメーション
• Padilla, Tony. 「π Pi and Buffon's Needle」 . Numberphile . Brady Haran . 2013年5月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月9日閲覧。