バーンサイド部門

圏論とホモトピー理論において、有限群Gのバーンサイド圏（バーンサイドかく）は、その対象が有限G集合であり、その射がG同変写像の（同値類の）スパンである圏である。これはGのバーンサイド環の圏化である。

定義

Gを有限群とする（実際、原有限群ではすべてが逐語的に機能する）。すると、任意の2つの有限G集合XとYに対し、 G集合のスパン間の同値関係をという形で定義できる。ここで、2つのスパンとが同値であるための必要十分条件は、 UとWのG同変単射が存在し、それらがXとYへの射影写像と可換である場合である。この同値類の集合は自然に、素和のもとでモノイドを形成する。このモノイドの群完備化によってそれを示す。引き戻しをとることで自然な写像 が誘導される。 ${\displaystyle X\leftarrow U\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\leftarrow U\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\leftarrow W\rightarrow Y}$ ${\displaystyle A(G)(X,Y)}$ ${\displaystyle A(G)(X,Y)\times A(G)(Y,Z)\rightarrow A(G)(X,Z)}$

最後に、 Gのバーンサイドカテゴリ A(G)を、そのオブジェクトが有限G集合であり、射空間が群であるカテゴリとして定義できます。 ${\displaystyle A(G)(X,Y)}$

プロパティ

• A ( G ) は、G集合の非結合和によって与えられる直和と、空のG集合によって与えられるゼロオブジェクトを持つ加法カテゴリである。
• 2つのG集合の積はA ( G )上に対称モノイド構造を誘導する。
• 点の自己準同型環（つまり、1つの要素のみを持つG集合）はGのバーンサイド環である。
• A ( G )は有限G集合のサスペンションスペクトルによって張られる真のGスペクトルのホモトピーカテゴリの完全なサブカテゴリに相当します。
• バーンサイドカテゴリは自己双対である。^[1]

マッキー関数

Cが加法圏である場合、C値マッキー関手はA(G)からCへの加法関手である。マッキー関手は表現論と安定同変ホモトピー理論において重要である。

• すべてのG表現Vにベクトル空間の Mackey 関手を関連付けることができ、すべての有限G集合U をUからVへのG同変写像のベクトル空間に送ることができます。
• 真のGスペクトルのホモトピー群はMackey関手を形成する。実際、真のGスペクトルは、バーンサイド圏の適切な高次のカテゴリカル版上の加法関手と見ることができる。

参考文献

1. ダガー、ダニエル (2022). 「ギシン関数、対応、そしてグロタンディック＝ウィット圏」(PDF) .圏論と応用. 38 (6): 158.

• Guillou, Bertrand; May, JP (2024). 「スペクトルの前束としてのGスペクトルのモデル」.代数的・幾何学的位相学. 24 (3): 1225– 1275. arXiv : 1110.3571 . doi :10.2140/agt.2024.24.1225.
• バーウィック、クラーク (2014). 「スペクトル・マッキー関手と同変代数K理論 (I)」. arXiv : 1404.0108 [math.AT].