ビューゼマン・ペティ問題
凸幾何学の問題

凸幾何学という数学の分野において、ハーバート・ビューゼマンとクリントン・マイヤーズ・ペティによって導入されたビューゼマン・ペティ問題（1956年、問題1）は、対称凸体の体積が大きくなる中心超平面断面が大きいほど真であるかどう かを問うものである。より正確には、K、TがR n内の対称凸体であり、

V o l n − 1 （ K ∩ あ ） ≤ V o l n − 1 （ T ∩ あ ） {\displaystyle \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(T\cap A)}

原点を通るすべての超平面Aについて、 Vol n  K  ≤ Vol n  Tは真ですか?

BusemannとPettyは、 Kが球体の 場合、答えは正であることを示した。一般に、答えは最大4次元では正であり、最小5次元では負である。

歴史

当時としては意外だったことに、ラーマンとクロード・アンブローズ・ロジャース (1975) は、Busemann–Petty 問題は次元が 12 以上の場合には負の解を持つことを示し、この境界は他の数人の著者によって次元が 5 以上の場合には縮小されました。ボール (1988) は、特に単純な反例を指摘しました。単位体積立方体のすべての断面の測度は最大でも√ 2 ですが、次元が 10 以上の場合には、単位体積球の中心断面の測度はすべて√ 2以上になります。ルトワック (1988) は交差体を導入し、対称凸体はすべて交差体である場合に限り、特定の次元において Busemann–Petty 問題は正の解を持つことを示しました。交差体とは、ある固定された星体Kに対して、特定の方向uへのラジアル関数が超平面セクションu ⊥  ∩  Kの体積となる星体です。 Gardner (1994) は Lutwak の結果を利用して、Busemann–Petty 問題は次元が 3 であれば正の解を持つことを示した。Zhang (1994) は、R 4の単位立方体は交差体ではないと誤って主張したが、これは、Busemann–Petty 問題は次元が少なくとも 4 であれば負の解を持つことを意味していた。しかし、Koldobsky (1998a) は、中心対称の星型物体が交差体であるためには、関数 1/|| x || が正定値分布であることを示し、||x|| は物体の境界上で 1 となる次数 1 の同次関数である。また、Koldobsky (1998b) はこれを利用して、単位球 lp
nn次元空間においてl pノルムを持つ1 <  p  ≤ ∞はn  = 4の場合には交差体となるが、 n  ≥ 5の場合には交差体とならないため、Zhangの結果は誤りであることが示された。その後、 Zhang  (1999)はBusemann–Petty問題が4次元で正解を持つことを示した。Richard J. Gardner、A. Koldobsky、T. Schlumprecht (1999)はすべての次元に対して均一な解を与えた。

参照

参考文献

  • ボール、キース（1988）「凸集合の幾何学に関するいくつかの考察」、関数解析の幾何学的側面（1986/87）、数学講義ノート、第1317巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  224– 231、doi：10.1007/BFb0081743、ISBN 978-3-540-19353-1、MR  0950983
  • Busemann, Herbert; Petty, Clinton Myers (1956), "Problems on convex bodies", Mathematica Scandinavica , 4 : 88– 94, doi : 10.7146/math.scand.a-10457 , ISSN  0025-5521, MR  0084791, 2011年8月25日時点のオリジナルよりアーカイブ
  • ガードナー、リチャード・J. (1994)、「三次元におけるブゼマン・ペティ問題への肯定的解答」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、140 (2): 435– 447、doi :10.2307/2118606、ISSN  0003-486X、JSTOR  2118606、MR  1298719
  • ガードナー, リチャード J.; コルドブスキー, A.; シュルンプレヒト, トーマス B. (1999)「凸体の断面におけるブゼマン・ペティ問題の解析的解」, Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 691– 703, arXiv : math/9903200 , doi :10.2307/120978, ISSN  0003-486X, JSTOR  120978, MR  1689343
  • Koldobsky, Alexander (1998a)、「交差体、正定値分布、およびBusemann-Petty問題」、American Journal of Mathematics、120 (4): 827– 840、CiteSeerX  10.1.1.610.5349、doi :10.1353/ajm.1998.0030、ISSN  0002-9327、MR  1637955
  • Koldobsky, Alexander (1998b)、「R⁴における交差体」、Advances in Mathematics、136 (1): 1– 14、doi : 10.1006/aima.1998.1718、ISSN  0001-8708、MR  1623669
  • Koldobsky, Alexander (2005), Fourier analysis in convex geometry, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 116, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3787-0、MR  2132704
  • ラーマン, DG; ロジャース, CA (1975)、「予想外に小さい中心断面を持つ中心対称凸体の存在」、Mathematika、22 (2): 164– 175、doi :10.1112/S0025579300006033、ISSN  0025-5793、MR  0390914
  • ルトワック、エルウィン（1988）「交差体と双対混合体積」、数学の進歩、71（2）：232– 261、doi：10.1016/0001-8708（88）90077-1、ISSN  0001-8708、MR  0963487
  • Zhang, Gao Yong (1994)、「R⁴における交差体とBusemann-Petty不等式」、Annals of Mathematics、Second Series、140 (2): 331– 346、doi :10.2307/2118603、ISSN  0003-486X、JSTOR  2118603、MR  1298716、この論文の結果は誤りです。著者の1999年の訂正を参照してください。
  • 張高勇 (1999)、「R⁴におけるブゼマン・ペティ問題の正解」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、149 (2): 535– 543、doi :10.2307/120974、ISSN  0003-486X、JSTOR  120974、MR  1689339
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