関手

数学、特に圏論において、関手とは圏間の写像です。関手は代数的位相幾何学において初めて考察されました。代数的位相幾何学では、代数的対象（基本群など）が位相空間に関連付けられ、これらの代数的対象間の写像が空間間の連続写像に関連付けられます。今日では、関手は現代数学全体で様々な圏を関連付けるために使用されています。したがって、関手は圏論が適用される 数学のあらゆる分野で重要です

定義

定義

対象X、Y、Z、および射f、g、g∘fを持つ圏

関手は射の合成を保存しなければならない${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

CとDを圏とする。CからDへの関手 F は、以下の写像である。^[3]

• Cの各オブジェクトを Dのオブジェクトに関連付ける。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• Cの各射を Dの射に関連付け、次の2つの条件が満たされる。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ Cのすべてのオブジェクトについて、${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$ Cのすべての射とについて。${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

つまり、関手は恒等射と射の合成を保存しなければならない。

共変性と反変性

数学には、「射を反転する」ことと「合成を逆にする」という事実を除けば関手となる構成が数多くある。そこで、CからDへの反変関手 Fを、以下の写像として 定義する。

• Cの各オブジェクトをDのオブジェクトに関連付ける。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• Cの各射をDの射に関連付け、次の2つの条件が満たされる ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ Cのすべてのオブジェクトについて、${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$ Cのすべての射とについて。${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

関手の分散（合成）^[4]

• 同じ分散を持つ2つの関数の合成：
  • ${\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Covariant} }$
  • ${\displaystyle \mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Covariant} }$
• 反対の分散を持つ2つの関数の合成：
  • ${\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Contravariant} }$
  • ${\displaystyle \mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Contravariant} }$

反変関数は合成の方向を反転することに注意してください。

通常の関手は、反変関手と区別するために共変関手とも呼ばれます。反変関手は、反対のカテゴリ上の共変関手として定義することもできることに注意してください。^[5]一部の著者は、すべての式を共変的に書くことを好みます。つまり、 を反変関手と言う代わりに、単に（または）と書いて、それを関手と呼びます。 ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$ ${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

反変関手は、共関手 と呼ばれることもあります。^[6]

「ベクトル」、つまりベクトル場、接束の切断空間の要素を「反変」、また「共ベクトル」、つまり1-形式、余接束の切断空間の要素を「共変」と呼ぶ慣習があります。 この用語は物理学に由来し、その根拠は、の場合や の場合などの式における添え字の位置（「上階」と「下階」）に関係しています。この形式論では、座標変換記号（行列 を表す）が「共ベクトル座標」に対しては基底ベクトルの場合と「同じように」作用することが観察されます。 一方、「ベクトル座標」に対しては（ただし基底共ベクトルの場合とは「同じように」）「逆の仕方」で作用します。 。この用語は圏論で使用される用語とは逆です。なぜなら、一般に共ベクトルは引き戻しを持ち、したがって反変であるのに対し、一般にベクトルは押し進めることができるため共変だからです。ベクトルの共変性と反変性も参照してください。 ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

反対関手

すべての関手は反対関手を誘導します。ここで、と はおよびの反対の圏です。 ^[7]定義により、は と同じようにオブジェクトと射を写します。 は圏として と一致しないため、同様に の場合、は と区別されます。たとえば、と合成する場合、 またはのいずれかを使用する必要があります。反対圏の性質に従うと、 であることに注意してください。 ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$ ${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$ ${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$ ${\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}$

双関手と多重関手

双関手（二項関手とも呼ばれる）は、定義域が積圏である関手です。例えば、Hom関手はC ^op × C → Set型です。これは2つの引数を持つ関手と見なすことができ、一方の引数では反変、もう一方の引数では共変です

多重関数とは、関数の概念をn個の変数に一般化したものです。例えば、双関数はn = 2の多重関数です。

性質

関手公理の2つの重要な帰結は次のとおりです。

• FはCの各可換図式をDの可換図式に変換します。
• fがCの同型であれば、F ( f )はDの同型です。

関手は合成できます。つまり、FがAからBへの関手で、GがBからCへの関手であれば、 AからCへの合成関手G∘Fを形成できます。関手の合成は、定義されている場合、結合的です。関手の合成の恒等関数は恒等関数です。これは、関手が圏の圏、 例えば小圏の圏における射として考えることができることを示しています

単一のオブジェクトを持つ小さなカテゴリはモノイドと同じものです。つまり、1オブジェクトのカテゴリの射はモノイドの要素と考えることができ、カテゴリ内の合成はモノイド演算と考えることができます。1オブジェクトのカテゴリ間の関数は、モノイド準同型に対応します。したがって、ある意味では、任意のカテゴリ間の関数は、モノイド準同型の複数のオブジェクトを持つカテゴリへの一般化の一種です。

例

図

カテゴリCとJに対して、 Cの型Jの図は共変関数です。${\displaystyle D\colon J\to C}$

(圏論的) 前層

カテゴリCとJに対して、C上のJ前層は反変関数です。${\displaystyle D\colon C\to J}$

Jが集合と関数のカテゴリ Set である特別な場合、DはC上の前層と呼ばれます。

前層 (位相空間上)

Xが位相空間である場合、Xの開集合は包含に関して半順序集合Open( X )を形成する。すべての半順序集合と同様に、Open( X ) は単一の矢印U → Vを追加することによって小圏を形成する場合と、 が成り立つ場合とで同値である。Open( X )上の反変関手はX上の前層と呼ばれる。例えば、すべての開集合UにU上の実数値連続関数の結合代数を割り当てると、 X上の代数の前層が得られる。${\displaystyle U\subseteq V}$

定数関手

Cのすべての対象をD内の固定された対象Xに、Cのすべての射をX上の恒等射に写す関手C → D。このような関手は定数関手または選択関手と呼ばれる。

自己関数

ある圏を同じ圏に写す関手。例えば、多項式関手。

恒等関数

圏C（1 _Cまたは id _Cと表記）において、オブジェクトを自身に、射を自身に写像します。恒等関数は自己関数です。

対角関数

対角関数は、 Dから関数圏D ^Cへの関数として定義され、 D内の各オブジェクトをそのオブジェクトの定数関数に写像します。

極限関数

固定添字圏 Jに対して、すべての関数J → Cに極限がある場合（例えばCが完全である場合）、極限関数C ^J → Cは各関数にその極限を割り当てます。この関数の存在は、対角関数の右随伴であることを認識し、フレイドの随伴関数定理を適用することで証明できます。これには、選択公理の適切なバージョンが必要です。同様のことが余極限関数にも当てはまります（すべての関数にその余極限を割り当て、共変です）。

冪集合関数

冪集合関数P  : Set → Set は、各集合をその冪集合に、各関数をその像 に写像 に写像 を写像 に写像 します。また、反変冪集合関数を、その写像 に写像 を写像に写像 を写像に写像 すると考えることもできます。${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

例えば、の場合。と と仮定します。 はの任意の部分集合をその像 に写像する関数であり、この場合は を意味します。ここで はの下での写像を表すため、 と書くこともできます。他の値の場合、は上の自明な位相を生成することに注意してください。また、この例の関数は の冪集合 に写像 されていますが、一般にはそうである必要はないことにも注意してください。${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$ ${\displaystyle f(0)=\{\}}$ ${\displaystyle f(1)=X}$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\ }$ ${\displaystyle \{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\ }$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$ ${\displaystyle f(\{0,1\})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

双対ベクトル空間

すべてのベクトル空間にその双対空間を割り当て、すべての線型写像にその双対または転置を割り当てる写像は、固定体上のすべてのベクトル空間の圏からそれ自身への反変関数です。

基本群

尖端位相空間、すなわち区別された点を持つ位相空間の圏を考えてみましょう。対象は( X , x ₀ )のペアで、Xは位相空間、x _0はX内の点です。 ( X , x ₀ )から( Y , y ₀ )への射は、 f ( x ₀ ) = y ₀となる連続写像f  : X → Yによって与えられます

特定の点x ₀を持つすべての位相空間Xに対して、 x ₀を基底とする基本群π ₁ ( X , x ₀ )を定義できます。これは、 x ₀を基底とするループのホモトピー類の群であり、群演算は連結です。f  : X → Yが尖った空間の射である場合、基点x _0を持つXのすべてのループはfと合成して、基点y _0を持つYのループを生成できます。この演算は、ホモトピー同値関係およびループの合成と互換性があり、π( X、x ₀ )からπ( Y、y ₀ )への群準同型を取得します。したがって、尖った位相空間のカテゴリから群のカテゴリへの関数を取得します。

位相空間（区別された点を持たない）の圏では、一般曲線のホモトピー類を考えますが、それらは端点を共有しない限り合成できません。したがって、基本群の代わりに基本群を持ち、この構成は関数的になります。

連続関数の代数

位相空間（連続写像を射として持つ）の圏から実結合代数の圏への反変関数は、すべての位相空間Xに、その空間上のすべての実数値連続関数の代数 C( X ) を割り当てることによって与えられます。すべての連続写像f  : X → Y は、C( Y ) 内のすべてのφに対してC( f )( φ ) = φ ∘ fという規則により、代数準同型 C( f ): C( Y ) → C( X )を誘導します。

接束と余接束

すべての微分可能多様体をその接束に、すべての滑らかな写像をその導関数に送る写像は、微分可能多様体のカテゴリからベクトル束のカテゴリへの共変関数です。

この構成を点ごとに行うと、尖った微分可能多様体の圏から実ベクトル空間の圏への共変関手である接空間が得られます。同様に、余接空間は反変関手であり、本質的には接空間と上記の双対空間の合成です。

群作用／表現

すべての群 Gは、射がGの元である単一のオブジェクトを持つ圏と見なすことができます。G からSetへの関手は、特定の集合、つまりG集合へのGの群作用に他なりません。同様に、 Gからベクトル空間の圏Vect K_への関手は、Gの線型表現です。一般に、関手G → C は、圏C内のオブジェクトへのGの「作用」と見なすことができます。C が群である場合、この作用は群準同型です。

リー代数

すべての実（複素）リー群にその実（複素）リー代数を割り当てると、関手が定義されます

テンソル積

Cが固定体上のベクトル空間の圏を表し、線型写像を射とするとき、テンソル積は 両方の引数において共変な関手C × C → C^{を定義する。 [8]}${\displaystyle V\otimes W}$

忘却関手

群をその基底集合に、群準同型をその基底集合関数に写す関手U  : Grp → Setは関手である。^{[9]このような、ある構造を「忘れる」関手は}忘却関手 と呼ばれる。別の例としては、環をその基底加法アーベル群に写す関手Rng → Abがある。Rngの射（環準同型）はAbの射（アーベル群準同型）になる。

自由関手

忘却関手の反対方向に進むのが自由関手です。自由関手F  : Set → Grp は、すべての集合X をXによって生成される自由群に送ります。関数は自由群間の群準同型に写像されます。構造化された集合に基づく多くのカテゴリに対して、自由構成が存在します。自由オブジェクトを参照してください。

準同型群

アーベル群のすべてのペアA、Bには、 AからBへのすべての群準同型からなるアーベル群 Hom( A、B ) を割り当てることができます。これは、第1引数で反変、第2引数で共変な関手、つまり、Ab ^op × Ab → Abの関手です（ここで、Ab は群準同型を持つアーベル群の圏を表します）。f : A 1 → A 2 と g : B 1 → B 2 がAbの射である場合、 群準_同型Hom ( _f、g  ) : _Hom ( A ₂、 B 1 ) → Hom ( A 1 、B ₂ )は_φ ↦ g _∘ φ ∘ _fで与えられます。Hom関手を参照してください。

表現可能な関手

前の例を任意のカテゴリCに一般化できます。C内のオブジェクトのすべてのペアX、Yに、 XからYへの射の集合Hom( X、Y )を割り当てることができます。これは、最初の引数で反変、2番目の引数で共変であるSetへの関手、つまりC ^op × C → Setという関手を定義します。f : X 1 → X 2 と g : Y 1 → Y 2 が C 内の射である場合、写像_Hom ( f _、 g )  : Hom ₍ X 2 _、Y 1 ) → Hom ( X  1 、Y ₂ )は_φ ↦ g _∘ φ ∘ _fで与えられます。

は表現可能関手と呼ばれます。多くの設定において重要な目標は、与えられた関手が表現可能かどうかを判断することです。

他のカテゴリ概念との関係

CとDを圏とする。CからDまでのすべての関手の集合は、圏の対象、すなわち関手圏を形成する。この圏における射は、関手間の自然な変換である。

関手はしばしば普遍的性質によって定義される。例としては、テンソル積、群またはベクトル空間の直和と直積、自由群と加群の構成、直極限と逆極限などがある。極限と余極限の概念は、上記のいくつかを一般化する。

普遍的構成は、しばしば随伴関手のペアを生み出す。

コンピュータ実装

関数型プログラミングでは、関数型関数が時々登場します。例えば、プログラミング言語Haskellには、既存の型間の関数（Haskellの型の圏であるHaskell上の射）[10]を、いくつかの新しい型間の関数[11]に写像するために使用される多型関数であるクラスがあります。 Functorfmap

関連項目

• 数学ポータル

• 擬関数
• 擬関数
• 関数圏
• カン拡張
• 擬関数

注釈

1. Mac Lane, Saunders (1971)、『実践数学者のためのカテゴリー』、ニューヨーク：Springer-Verlag、30ページ、ISBN 978-3-540-90035-1
2. Carnap, Rudolf (1937). 『言語の論理的統語論』、Routledge & Kegan、13～14ページ
3. Jacobson (2009), 19ページ、定義1.2
4. Simmons (2011), 演習3.1.4
5. Jacobson (2009), 19～20ページ
6. Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). 『カテゴリー理論』、ドルドレヒト：Springer、12ページ、ISBN 97894009955052016年4月23日閲覧。
7. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992) 『Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory』、Springer、ISBN 978-0-387-97710-2
8. Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004) 『Algebras, rings and modules』、Springer、ISBN 978-1-4020-2690-4
9. Jacobson (2009)、p. 20、例2。
10. Haskellのデータ型が真にカテゴリを形成するかどうかは完全には明らかではありません。詳細については、https://wiki.haskell.org/Hask を参照してください
11. 詳細については

参考文献

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra , vol. 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7。
• Simmons, Harold (2011), "Functors and natural transformations", An Introduction to Category Theory, pp.  72– 107, doi :10.1017/CBO9780511863226.004, ISBN 978-1-107-01087-1

外部リンク

• 「Functor」, Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• n Labの関数と、そこで議論されリンクされている変種を参照してください。
• アンドレ・ジョヤル、CatLab（圏論的数学の解説に特化したウィキプロジェクト）
• ヒルマン、クリス (2001). 「圏論入門」. CiteSeerX  10.1.1.24.3264 . 1997年5月3日時点のオリジナルからアーカイブ。
• J. アダメク、H. ヘルリッヒ、G. ステッカー、『抽象圏論と具体圏論 ― 猫の喜び』ウェイバックマシンに2015年4月21日アーカイブ
• スタンフォード哲学百科事典：「圏論」— ジャン＝ピエール・マルキ著。広範な参考文献。
• 圏論に関する学術会議一覧
• バエズ、ジョン、1996、「n-圏論の物語」。高階圏への非公式な入門書
• WildCatsはMathematica用の圏論パッケージです。オブジェクト、射、圏、関手、自然変換、普遍的性質の操作と可視化が可能です。
• The catstersは、圏論に関するYouTubeチャンネルです。
• 圏、論理、物理学の基礎に関する講演の録画ビデオアーカイブ。
• 有限集合の圏における圏論的構成の例を生成するインタラクティブなウェブページ。