数学において、体 Fが準代数的に閉体（またはC 1 ）であるとは、 F上のすべての非定数同次多項式 P が、変数の数が次数より大きい場合に非自明な零点を持つということを意味する。準代数的に閉体という概念は、エミー・ネーターの弟子であったCC Tsenによって1936年の論文 (Tsen 1936) で、その後セルジュ・ラングによって1951年のプリンストン大学の学位論文と1952年の論文 (Lang 1952) で研究された。この概念自体は、ラングの指導教官であったエミール・アルティンに帰属する。
正式には、Pが変数の非定数同次多項式である 場合
- X 1、...、X N、
そしてd度を満たす
- d < N
すると、 F上の非自明な零点を持つ。つまり、F内の任意のx iに対して、すべての零点が零ではないとき、
- P ( x 1、 ... 、x N ) = 0 です。
幾何学的な言葉で言えば、N − 2次射影空間においてPによって定義される超曲面は、 F上に点を持ちます。
例
- 任意の代数閉体は準代数閉体である。実際、代数閉体上の少なくとも2変数の斉次多項式は、非自明な零点を持つ。[1]
- 任意の有限体はシュヴァレー・ワーニング定理によって準代数的に閉じている。[2] [3] [4]
- 代数的に閉じた体上の1次元の代数関数体は、ツェンの定理により準代数的に閉じている。[3] [5]
- 離散値と完全剰余体を持つ完備体の最大非分岐拡大は準代数的に閉じている。[3]
- 離散値と代数的に閉じた剰余体を持つ完備体は、ラングの結果により準代数的に閉じている。[3] [6]
- 特性ゼロの擬代数的閉体は準代数的に閉じている。[7]
プロパティ
Cけフィールド
準代数的閉体はC 1とも呼ばれる。より一般的には、 C k体とは、 N変数のd次の同次多項式が非自明な零点を持つ 体である。ただし、
- d k < N、
k ≥ 1 の場合である。[11] この条件は最初に Lang によって導入され研究された。[10] 体がC iであれば有限拡大も C i である。[11] [12] C 0体 はまさに代数的に閉じた体である。[13] [14]
ラングと永田は、もし体がC kならば、超越次数 nの任意の拡大はC k + nであることを証明した。[15] [16] [17] KがC k体となるような 最小のk（そのような数が存在しないとき）は、Kのディオファントス次元dd( K )と呼ばれる。[13]
C1フィールド
すべての有限体はC 1である。[7]
C2フィールド
プロパティ
体kがC 2であると仮定します。
アルティンの予想
アルティンはp進体がC2であると予想したが、 ガイ・テルジャニアンはすべてのpに対してp進反例を発見した。[18] [19] アックス・コッヘンの定理はモデル理論 の手法を適用して、アルティンの予想がpが十分に大きい（dに依存）Qpに対して正しいことを示した。
弱くCけフィールド
体Kが弱C k , dであるとは、 N変数 のd次の同次多項式に対して、
- d k < N
P n ( K )のザリスキー閉集合V ( f ) はK上ザリスキー閉集合である部分多様体を含む。
任意のdに対して弱C k , dとなる体は弱C kである。[2]
プロパティ
- C k場は弱C kである。[2]
- 完全なPAC弱C k体はC kである。[2]
- 体Kが弱C k , d となるための必要十分条件は、条件を満たすすべての形式が、 Kの主拡大である体上に定義された点xを持つ場合である。[20]
- もし体が弱C kであるならば、超越次数nの任意の拡大は弱C k + nである。[17]
- 代数的に閉じた体の任意の拡大は弱C1である。 [ 21 ]
- プロサイクリック絶対ガロア群を持つ任意の体は弱C1である。[21]
- 正特性の任意の体は弱C 2である。[21]
- 有理数体と関数体が弱C 1ならば、すべての体は弱C 1である。[21]
参照
引用
- ^ フリード＆ジャーデン（2008）455頁
- ^ abcd Fried & Jarden (2008) p. 456
- ^ abcd Serre (1979) p. 162
- ^ ギル＆サムレイ（2006）142頁
- ^ ギル＆サムレイ（2006）143頁
- ^ ギル＆サムレイ（2006）144頁
- ^ ab フリード & ジャーデン (2008) p. 462
- ^ ローレンツ (2008) p. 181
- ^ セール（1979）161ページ
- ^ abc Gille & Szamuely (2006) p. 141
- ^ ab Serre (1997) p. 87
- ^ ラング（1997）245ページ
- ^ ab ノイキルヒ、ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。ウィンバーグ、ケイ (2008)。数体のコホモロジー。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 323 (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 361.ISBN 978-3-540-37888-4。
- ^ ローレンツ (2008) p. 116
- ^ ローレンツ (2008) p. 119
- ^ abc Serre (1997) p. 88
- ^ ab フリード & ジャーデン (2008) p. 459
- ^ テルジャニアン、ガイ(1966). 「アルタンの予想に対する反例」。Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série AB (フランス語)。262 : A612。Zbl 0133.29705。
- ^ ラング（1997）247ページ
- ^ フリード＆ジャーデン（2008）457頁
- ^ abcd Fried & Jarden (2008) p. 461
参考文献
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- ジル, フィリップ; サミュエリ, タマス (2006).中心単純代数とガロアコホモロジー. ケンブリッジ高等数学研究. 第101巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001。
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- セール、ジャン＝ピエール（1979年）『局所場』、大学院数学テキスト、第67巻、グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ訳、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.
- セール、ジャン・ピエール(1997)。ガロア コホモロジー。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004.
- Tsen、C. (1936)、「Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper」、J. Chinese Math。社会、171 : 81–92、Zbl 0015.38803
