運動量中心フレーム

物理学において、系の運動量中心座標系（COM座標系）は、零運動量座標系とも呼ばれ、系の全運動量が零となる慣性座標系である。これは速度までは一意であるが、原点までは一意ではない。系の運動量中心は位置ではなく、相対的な運動量／速度の集合、すなわち参照座標系である。したがって、「運動量中心」は「運動量中心座標系」の略語である。[ 1 ]

運動中心座標系の特殊なケースとして、質量中心座標系があります。これは、質量中心（一点）が原点に位置する慣性座標系です。すべての運動中心座標系において、質量中心は静止していますが、必ずしも座標系の原点に位置するとは限りません。特殊相対論においては、系が孤立している場合にのみ、COM座標系は必然的に一意となります。

プロパティ

一般的な

運動量中心座標系は、すべての粒子の線運動量の和が0となる慣性座標系として定義される。Sを実験室基準系、S ′を運動量中心座標系とする。ガリレイ変換を用いると、 S ′ における粒子速度は

v′＝v−Vc、{\displaystyle v'=v-V_{\text{c}},}

どこ

Vc＝∑私メートル私v私∑私メートル私{\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}

は質量中心の速度である。運動量中心系における全運動量はゼロとなる。

∑私p私′＝∑私メートル私v私′＝∑私メートル私（v私−Vc）＝∑私メートル私v私−∑私メートル私∑jメートルjvj∑jメートルj＝∑私メートル私v私−∑jメートルjvj＝0。{\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{\text{c}})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}

また、システム全体のエネルギーは、すべての慣性基準フレームから見た最小のエネルギーです。

特殊相対性理論

相対論では、孤立した質量を持つ系には重心系（COM）が存在します。これはノイマンの定理の帰結です。重心系において、系の全エネルギーは静止エネルギーであり、この量（係数c 2（cは光速）で割った値）は系の 不変質量（静止質量）を与えます。

メートル0＝E0c2。{\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}

系の不変質量は、任意の慣性系において相対論的不変関係によって与えられる。

メートル02＝（Ec2）2−（pc）2、{\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}

しかし、運動量がゼロの場合、運動量項（p / c）2はゼロになり、したがって全エネルギーは静止エネルギーと一致します。

エネルギーはゼロではないが静止質量がゼロの系（例えば、一方向に移動する光子、あるいはそれと同等の平面電磁波）は、正味運動量がゼロとなる系が存在しないことから、COM系を持たない。光速の不変性により、質量のない系はどの系でも光速で移動しなければならず、常に正味運動量を持つ。そのエネルギーは、各系において、運動量の大きさと光速の積に等しい。

E＝pc。{\displaystyle E=pc.}

二体問題

このフレームの使用例を以下に示します。これは、必ずしも弾性ではない（運動エネルギーが保存される）2体衝突です。COMフレームを使用すると、測定や計算が行われるフレームであるラボフレームよりもはるかに簡単に粒子の運動量を求めることができます。状況は、ガリレイ変換と運動量保存則（運動エネルギーだけでなく一般性のため）を使用して分析されます。これは、質量m 1とm 2の2つの粒子がそれぞれ初期速度u 1とu 2 （衝突前）で運動している場合です。変換は、ラボフレーム（プライムなしの値）からCOMフレーム（プライム付きの値）への各粒子の速度からフレームの速度を取得するために適用されます。[ 1 ]

あなた1′＝あなた1−V、あなた2′＝あなた2−V、{\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} ,}

ここで、Vは重心系の速度である。Vは重心の速度、すなわち重心の位置R（システムの重心の位置）の時間微分であるため、次の式が成り立つ：[ 2 ]

dRdt＝ddt（メートル1r1+メートル2r2メートル1+メートル2）＝メートル1あなた1+メートル2あなた2メートル1+メートル2＝V{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}

したがって、COMフレームの原点R' = 0では、これは次のことを意味する。

メートル1あなた1′+メートル2あなた2′＝0{\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}

実験フレームで運動量保存則を適用しても同じ結果が得られます。ここで、運動量はp 1とp 2です。

V＝p1+p2メートル1+メートル2＝メートル1あなた1+メートル2あなた2メートル1+メートル2{\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

そしてCOMフレームでは、粒子p 1 ′とp 2 ′の全運動量はゼロになることが明確に主張されている。

p1′+p2′＝メートル1あなた1′+メートル2あなた2′＝0。{\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}.}

COMフ​​レーム方程式を用いてVを解くと、上記の実験フレーム方程式が得られます。これは、COMフレームを含む任意のフレームを用いて粒子の運動量を計算できることを示しています。上記のフレームを用いると、COMフレームの速度を計算から除外できることが証明されているため、COMフレームにおける粒子の運動量は実験フレームにおける量（つまり、与えられた初期値）で表すことができます。

p1′=m1u1′=m1(u1−V)=m1m2m1+m2(u1−u2)=−m2u2′=−p2′.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}.}

実験系における粒子1と粒子2の 相対速度は

Δu=u1−u2{\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}

そして2体換算質量は

μ=m1m2m1+m2{\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

粒子の運動量はコンパクトに減少し、

p1′=−p2′=μΔu.{\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} .}

これは両粒子の運動量の計算をかなり簡略化したものである。実験室系における初期速度と質量から換算質量と相対速度を計算でき、一方の粒子の運動量はもう一方の粒子の運動量の負の比率となる。衝突後も速度は上記の式を満たすため、初期速度u 1とu 2の代わりに最終速度v 1とv 2を用いて計算を繰り返すことができる。 [ 3 ]

dRdt=ddt(m1r1+m2r2m1+m2)=m1v1+m2v2m1+m2=V{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}

つまり、COMフレームの原点R = 0では、衝突後に

m1v1′+m2v2′=0{\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}

実験室のフレームでは、運動量保存則は次のように完全に解釈されます。

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2=(m1+m2)V{\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }

この式は 、

m1u1=m1v1=m1V,m2u2=m2v2=m2V{\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }

代わりに、単に全質量Mと質量中心の速度Vを掛け合わせたものがシステム 全体の運動量Pであることを示しています。

P=p1+p2=(m1+m2)V=MV{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}

上記と同様の分析から、

p1′=−p2′=μΔv=μΔu,{\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} ,}

ここで、実験系における粒子1と粒子2の 最終的な相対速度は

Δv=v1−v2=Δu.{\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}

参照

参考文献

  1. ^ a bダイナミクスと相対性理論、JRフォーショウ、AGスミス、ワイリー、2009年、ISBN 978-0-470-01460-8
  2. ^古典力学、TWBキブル、ヨーロッパ物理学シリーズ、1973年、 ISBN 0-07-084018-0
  3. ^力学入門、D. クレップナー、RJ コレンコウ、ケンブリッジ大学出版局、2010年、 ISBN 978-0-521-19821-9
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