合同（幾何学）

左の2つの三角形は合同です。3番目の三角形はそれらと相似です。最後の三角形は他のどの三角形とも合同でも相似でもありません。合同は、位置や向きなど、いくつかの性質の変更を許容しますが、距離や角度など、他の性質は変化しません。変化しない性質は不変量と呼ばれます

幾何学では、2つの図形または物体が同じ形と大きさを持っている場合、または一方が他方の鏡像と同じ形と大きさを持っている場合、それらは合同であるとされます。 ^{[ 1 ]}

より正式には、2つの点の集合が合同であるとは、一方が他方に等長変換、すなわち並進、回転、鏡映という剛体運動の組み合わせによって変換できる場合のみである。これは、どちらかの物体を、もう一方の物体と正確に一致するように再配置および鏡映変換（サイズ変更は不可）できることを意味する。したがって、紙の上の2つの異なる平面図形は、切り取って完全に合わせることができる場合、合同である。紙を裏返しても構わない。

この図は、三角形の角-角-辺の合同という幾何学的原理を示しています。三角形ABCと三角形A'B'C'が与えられたとき、三角形ABCが三角形A'B'C'と合同であるための必要十分条件は、角CABが角C'A'B'と合同であり、角ABCが角A'B'C'と合同であり、角BCが角B'C'と合同であることです。ここで、ハッチングマークは角と辺の等式を示すために使用されています。

初等幾何学では、合同という言葉は次のようによく使われます。^{[ 2 ]}これらのオブジェクトに対しては、合同の代わりに等しいという言葉がよく使われ ます。

• 2 つの線分の長さが同じであれば、それらは合同です。
• 2 つの角度の大きさが同じであれば、それらの角度は合同です。
• 2 つの円の直径が同じであれば、それらは合同です。

この意味で、「2 つの平面図形は合同である」という文は、対応する辺や角度だけでなく、対応する対角線、周囲、面積も含め、対応する特性が合同(または等しい) であることを意味します。

類似性という関連する概念は、物体の形状は同じだが必ずしも大きさが同じではない場合に適用されます。（ほとんどの定義では、合同性は類似性の一種とみなされますが、少数では、類似とみなされるには物体の大きさが異なる必要があるとされています。）

多角形の合同性の判定

オレンジと緑の四角形は合同ですが、青の四角形は合同ではありません。3つとも周長と面積は同じです。（青の四角形は辺の順序が「混在」しているため、2つの内角と1つの対角が合同ではありません。）

2つの多角形が合同であるためには、辺の数（つまり頂点の数）が等しくなければなりません。n辺を持つ2つの多角形が合同となるのは、 n辺とn角について、それぞれ辺-角-辺-角…という数値的に等しい順序（片方の多角形が時計回りで、もう片方が反時計回りであっても）を持つ場合のみです。

多角形の合同性は次のようにグラフィカルに証明できます。

• まず、2 つの図形の対応する頂点を一致させてラベルを付けます。
• 次に、一方の図形の頂点からもう一方の図形の対応する頂点へベクトルを描きます。このベクトルを使って、最初の図形を平行移動し、2つの頂点が一致するようにします。
• 3 番目に、対応する辺の 1 組が一致するまで、変換された図形を一致した頂点を中心に回転させます。
• 4 番目に、図形が一致するまで、回転した図形をこの一致した辺を中心に反射します。

いつでもステップを完了できない場合、多角形は合同ではありません。

三角形の合同

2つの三角形は、対応する辺の長さが等しく、対応する角の大きさが等しい場合、 合同です

記号的に、2つの三角形△ ABCと△ A′B′C′の合同と不同は次のように表されます。

${\displaystyle ABC\cong A'B'C'}$

${\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}$

多くの場合、3 つの対応する部分の等式を確立し、次の結果のいずれかを使用して 2 つの三角形の合同性を推論するだけで十分です。

合同性の判定

三角形の形状は、2辺とその間の角度（SAS）、2つの角度とその間の辺（ASA）、または2つの角度と対応する隣接辺（AAS）を指定することによって、合同性まで判定されます。ただし、2辺と隣接角（SSA）を指定すると、2つの異なる三角形が考えられます

ユークリッド空間における 2 つの三角形の合同性に関する十分な証拠は、次の比較によって示されます。

• SAS (辺-角-辺): 2 つの三角形の 2 組の辺の長さが等しく、内角の寸法が等しい場合、それらの三角形は合同です。
• SSS (side-side-side): 2 つの三角形の 3 組の辺の長さが等しい場合、それらの三角形は合同です。
• ASA (角-辺-角): 2 つの三角形の 2 組の角度の寸法が等しく、含まれる辺の長さが等しい場合、それらの三角形は合同です。

ASA公理はミレトスのタレスに帰せられます。ほとんどの公理体系では、SAS、SSS、ASAの3つの基準が定理として確立されています。スクール数学研究グループ（ SSM）のシステムでは、 SASは22の公理の1つ（15番目）とされています。

• AAS（角-角-辺）：2つの三角形の2組の角の大きさが等しく、対応する非内辺の長さが等しい場合、それらの三角形は合同である。AASは、任意の2つの角度が与えられれば、3番目の角度も与えられ、それらの和は180°となるという点で、ASA条件と同等である。ASAとAASは、AAcorrS（任意の2つの角度と対応する辺）という単一の条件に組み合わされることもある。 ^{[ 3 ]}
• RHS (直角-斜辺-辺)、または HL (斜辺-脚) とも呼ばれます。2 つの直角三角形の斜辺の長さが等しく、他の 2 つの辺の長さも等しい場合、それらの三角形は合同です。

辺-辺-角

2辺と非夾角（ASS、または角-辺-辺とも呼ばれる）を指定するSSA条件（辺-辺-角）は、それ自体では合同性を証明するものではありません。合同性を示すためには、対応する角度の大きさや、場合によっては2組の対応する辺の長さなどの追加情報が必要です。いくつかのケースが考えられます

2つの三角形がSSA条件を満たし、かつ、角の反対側の辺の長さが隣接する辺の長さ（SSA、つまり長辺-短辺-角）以上である場合、2つの三角形は合同です。対応する角が鋭角の場合、反対側の辺の方が長くなることがありますが、対応する角が直角または鈍角の場合、反対側の辺は常に長くなります。角度が直角の場合、斜辺-脚（HL）公理または直角-斜辺-辺（RHS）条件とも呼ばれ、ピタゴラスの定理を用いて3番目の辺を計算できるため、SSS公理を適用できます。

2 つの三角形が SSA 条件を満たし、対応する角度が鋭角で、角度の反対側の辺の長さが、隣接する辺の長さに角度の正弦を乗じた値に等しい場合、2 つの三角形は合同です。

2つの三角形がSSA条件を満たし、対応する角が鋭角で、その角の反対側の辺の長さが、隣接する辺の長さにその角の正弦を乗じた値よりも大きい（ただし隣接する辺の長さよりは小さい）場合、2つの三角形は合同であるとは証明できません。これは曖昧なケースであり、与えられた情報から2つの異なる三角形を形成することは可能ですが、それらを区別するさらなる情報があれば、合同であることが証明される可能性があります。

角-角-角

ユークリッド幾何学において、AAA（角-角-角）（またはユークリッド幾何学では三角形の角度の合計が180°なので、単にAA）は、2つの三角形の大きさに関する情報を提供しないため、ユークリッド空間における 相似性のみを証明し、合同性は証明しません

しかし、球面幾何学や双曲幾何学（三角形の角度の和が大きさによって変化する幾何学）では、AAAは与えられた曲率の面上で合同となるのに十分である。^{[ 4 ]}

CPCTC

この頭字語は「合同な三角形の対応する部分は合同である」の略で、合同な三角形の定義の短縮形です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

より詳しく言えば、三角形ABCとDEFが合同である場合、つまり、

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}$

頂点AとD、BとE、CとFに対応する角度のペアがあり、辺ABとDE、BCとEF、CAとFDに対応する辺のペアがある場合、次のステートメントが当てはまります。

${\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}$

${\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}$

${\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}$

${\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}$

${\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}$

${\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}$

この命題は、初等幾何学の証明において、2つの三角形の合同性が証明された後に、その部分の合同性を結論づける必要がある場合に、その根拠としてよく用いられます。例えば、2つの三角形がSSS基準によって合同であることが証明され、対応する角度が合同であるという命題が証明で求められる場合、CPCTCはこの命題の根拠として用いられることがあります。

関連する定理はCPCFCであり、この定理では「三角形」が「図形」に置き換えられ、合同な任意の多角形または多面体のペアに定理が適用されます。

解析幾何学における合同の定義

ユークリッド系において、合同性は基本的なものであり、数の等式に対応するものです。解析幾何学において、合同性は次のように直感的に定義できます。2つの図形を1つの直交座標系に写像した場合、それらの図形が合同であるためには、最初の写像における任意の2点間のユークリッド距離が、 2番目の写像における対応する2点間のユークリッド距離と等しいことが必要です。

より正式な定義によれば、ユークリッド空間R ⁿの2つの部分集合AとBは、等長写像f  : R ⁿ → R ⁿ （ユークリッド群E ( n )の元）が存在し、f ( A ) = Bとなるとき、合同であるといわれる。合同とは同値関係である。

合同な円錐曲線

2つの円錐曲線は、離心率と、それらを特徴付ける他の1つの明確なパラメータが等しい場合、合同です。離心率は形状を規定し、離心率が等しいことで相似性が規定され、2つ目のパラメータは大きさを規定します。2つの円、放物線、または長方形双曲線は常に同じ離心率（円の場合は0、放物線の場合は1、長方形双曲線の場合は1）を持つため、2つの円、放物線、または長方形双曲線が合同であるためには、サイズを規定するもう1つの共通パラメータ値のみが必要です ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

合同な多面体

同じ組み合わせ型（つまり、辺の数E 、面の数、対応する面の辺の数が同じ）の2つの多面体について、多面体が合同かどうかを判断できるEの測定値の集合が存在します。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}この数は限られており、多面体がその組み合わせ型の中で汎用的である場合、 E 未満の測定値では不十分です。しかし、特殊な場合には、より少ない測定値でも機能することがあります。例えば、立方体には12の辺がありますが、その組み合わせ型の多面体が与えられた正立方体と合同かどうかを判断するには、9の測定値で十分です

球面上の合同な三角形

平面三角形と同様に、球面上で、同じ角-辺-角（ASA）の並びを共有する2つの三角形は必然的に合同である（つまり、3つの辺と3つの角が等しい）。^{[ 9 ]}これは次のように理解できる。与えられた角度を持つ頂点の1つを南極に配置し、与えられた長さの辺を本初子午線に沿って延ばす。固定長の線分の両端の角度が分かっていれば、他の2辺は一意に定まる軌道で発散し、一意に定まる点で交わることが保証される。したがって、ASAは有効である。

合同定理である辺-角-辺（SAS）と辺-辺-辺（SSS）は球面上でも成り立ちます。さらに、2つの球面三角形が同じ角-角-角（AAA）の順序を持​​つ場合、それらは合同です（平面三角形とは異なります）。^{[ 9 ]}

平面三角形の合同定理である角-角-辺(AAS)は球面三角形には成り立たない。^{[ 10 ]}平面幾何学と同様に、辺-辺-角(SSA)は合同を意味しない。

表記

合同を表すために一般的に使われる記号は、上にチルダが付いたイコール記号≅ で、これはUnicode文字「およそ等しい」（U+2245）に相当します。イギリスでは、3本線イコール記号≡ (U+2261) が使用されることもあります

参照

• ユークリッド平面等長変換
• 等長変換

参考文献

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). 「Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures」（PDF） Addison-Wesley. p. 167. 2013年10月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年6月2日閲覧。
2. 「合同性」 Math Open Reference. 2009年. 2017年6月2日閲覧。
3. Parr, HE (1970). 『学校数学改訂コース』 . 数学教科書第2版. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4。
4. コーネル、アントニオ(2002).中等学校のための幾何学. 数学教科書第2版. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1。
5. ジェイコブス、ハロルド・R. (1974).幾何学. WHフリーマン. p. 160. ISBN 0-7167-0456-0。ジェイコブズはこの表現を少し変えて使っています。
6. 「同型三角形」。クリフズ・ノーツ。2014年2月4日閲覧
7. ボリソフ, アレクサンダー; ディキンソン, マーク; ヘイスティングス, スチュアート (2010年3月). 「多面体の合同問題」.アメリカ数学月刊誌. 117 (3): 232– 249. arXiv : 0811.4197 . doi : 10.4169/000298910X480081 . S2CID 8166476 . 
8. クリーチ、アレクサ「合同問題」(PDF) 。 2013年11月11日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
9. Bolin, Michael (2003年9月9日). 「球面幾何学の探究」(PDF) . pp.  6– 7. 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
10. Hollyer, L. 「スライド 89/112」。

外部リンク

• カット・ザ・ノットのSSS
• カット・ザ・ノットのSSA
• Math Open Reference の、同型多角形、同型角度、同型線分、同型三角形を示すインタラクティブ アニメーション