相殺的半群
消去特性を持つ半群

数学において、相殺半群（そうさくじょうぐん、英: cancelative semigroup ） （相殺半群とも呼ばれる）は、相殺特性を持つ半群である。[1]直感的に言えば、相殺特性とは、 a · b = a · c（· は二項演算）の形式等式から、要素aを相殺して等式b = cを導くことができるというものである。この場合、相殺される要素はa · bおよびa · cの左因数として現れるため、左相殺特性の例である。右相殺特性も同様に定義できる。相殺半群の典型的な例は、加算または乗算における正の整数である。相殺半群は、半群が群に埋め込むことができるための必要条件の 1 つとして相殺可能性があるため、群に非常に近いものと考えられる。さらに、すべての有限相殺半群は群である。相殺半群の研究に関連する主な問題の一つは、相殺半群を群に埋め込むための必要十分条件を決定することです。

相殺的半群の研究の起源は、半群に関する最初の重要な論文（Suschkewitsch 1928）に遡ることができる。[2]

正式な定義

S を半群とする。Sの元aが左相殺的（または左相殺可能、または左相殺性を持つ）とは、 Sの任意のbとcに対してab = acならばb = cとなることを意味する。Sのすべての元が左相殺的である場合、Sは左相殺半群と呼ばれる。

S を半群とする。Sの元aが右相殺的（または右相殺可能、または右相殺性を持つ）とは、 Sの任意のbとcに対してba = caならばb = cとなることを意味する。Sのすべての元が右相殺的である場合、Sは右相殺半群と呼ばれる。

Sを半群とする。Sのすべての元が左相殺性と右相殺性の両方を持つ場合、Sは相殺半群と呼ばれる。

代替定義

相殺元の特徴的な性質は、対応する左乗算L a  : S → Sおよび右乗算R a  : S → S写像が保持する性質、つまりL a ( b ) = abおよびR a ( b ) = baによって定義される性質によって言い換えることができます。つまり、 Sの元aが左相殺元となるのは、 L aが単射である場合に限り、元aが右相殺元となるのは、 R a が単射である場合に限ります。

例

  1. すべてのグループは相殺半グループです。
  2. 加法のもとでの正の整数の集合は相殺半群である。
  3. 加法のもとでの非負整数の集合は相殺モノイドである。
  4. 乗算のもとでの正の整数の集合は相殺モノイドです。
  5. 左ゼロ半群は、自明でない限り、右相殺的ですが、左相殺的ではありません。
  6. 右ゼロ半群は、自明でない限り、左は相殺的ですが、右は相殺的ではありません。
  7. 複数の元を持つ空半群は、左相殺性も右相殺性も持ちません。このような半群には、左相殺性も右相殺性も持つ元は存在しません。
  8. S を行列乗法の下でのn 次実 正方 行列の半群とする。aをSの任意の要素とする。aが特異でないならば、aは左相殺性と右相殺性の両方を持つ。aが特異ならば、 aは左相殺性も右相殺性も持たない。

有限相殺半群

有限相殺半群が群であるということは、群論における基本的な帰結である。Sを有限相殺半群とする。

  1. 相殺性と有限性を合わせると、SのすべてのaについてSa = aS = Sが成り立つ。したがって、 Sの元aが与えられたとき、 aに依存した元e aがSに存在し、ae a = aとなる。相殺性はさらに、このe a がaと独立であり、Sのすべてのxについてxe a = e a x = x が成り立つことを意味する。したがって、e aはSの単位元であり、以降はeと表記する。
  2. Sa = Sという性質を用いると、Sにはba = eとなるようなb が存在することが分かります。相殺性を用いてab = e であることも示せます。これにより、 Sのあらゆる元aにはSに逆元が存在することが証明されます。したがって、S は必ず群となります。

さらに、すべての相殺的エピグループもグループである。[3]

グループへの埋め込み可能性

可換半群が群に埋め込める（すなわち、群の部分半群と同型になる）ためには、半群が相殺可能であることが必要条件である。これを行う手順は、整域を体に埋め込む手順（Clifford & Preston 1961, p. 34）と類似している。これはグロタンディーク群の構成と呼ばれ、可換半群からアーベル群への普遍写像であり、半群が相殺可能である場合に埋め込みとなる。

非可換半群を群に埋め込むことができるためには、相殺性が明らかに必要条件である。しかし、十分条件ではない。群に埋め込むことができない（非可換かつ無限の）相殺半群が存在する。[4]十分条件（必要条件ではない）を得るために、有限相殺半群Sが群である という結果の証明は、S内のすべてのaについてSa = Sが成り立つという事実に決定的に依存していたことに気付くだろう。論文（Dubreil 1941）はこの考えを一般化し、右可逆半群の概念を導入した。半群Sは、 Sの任意の 2 つの主イデアルが交差する場合、つまり、S内のすべてのaとbについてSa ∩ Sb ≠ Øである場合に右可逆であるという。半群を群に埋め込むための十分な条件は、次のように述べることができます。(オーレの定理) 任意の右可逆相殺半群は、群に埋め込むことができます (Clifford & Preston 1961、p. 35)。

群への半群の埋め込み可能性に関する最初の必要十分条件は、(Malcev 1939) で与えられた。[5]理論的には重要だが、条件の数は可算無限であり、(Malcev 1940) に示されているように、有限部分集合では不十分である。[6]異なる (ただしこれも可算無限である) 必要十分条件は (Lambek 1951) で与えられ、半群が群に埋め込まれることができるのは、それが相殺可能であり、いわゆる「多面体条件」を満たす場合のみであることが示された。Malcev と Lambek による 2 つの埋め込み定理は (Bush 1963) で比較され、後に (Johnstone 2008) によって再検討され一般化された。Johnstone は、半群の埋め込み可能性問題と、より一般的な類群へのカテゴリの埋め込み問題との密接な関係も説明した。

参照

注記

  1. ^ (クリフォード＆プレストン 1967、3ページ)
  2. ^ GB Preston (1990). 「半群の初期の歴史に関する個人的な回想」. 2009年1月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年5月12日閲覧。
  3. ^ ピーター・M・ヒギンズ (1992).半群論の技法. オックスフォード大学出版局. p. 12. ISBN 978-0-19-853577-5。
  4. ^ A. マルチェフ、「代数環の体への浸漬について」、Mathematische Annalen 1937年、第113巻、第1号、pp 686-691
  5. ^ ポール・M・コーエン（1981年）、ユニバーサル代数、シュプリンガー、pp.  268– 269、ISBN 90-277-1254-9
  6. ^ John Rhodes (1970年4月)、「AH Clifford & GB Preston著『The Algebraic Theory of Semigroups Vol I & II』の書評」、Bulletin of the AMS、アメリカ数学会。[1] （2009年5月11日にアクセス）

参考文献

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