カルタンの基準

数学において、カルタンの判定基準は、標数0の リー代数が可解であるための条件を与え、これはリー代数が半単純であるための関連する判定基準を意味する。これは、式によって定義される対称 双線型形式であるキリング形式の概念に基づいている。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \kappa (u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

ここでtrは線型作用素の軌跡を表す。この基準はエリー・カルタン （1894）によって導入された。^{[ 1 ]}

カルタンの解法基準

カルタンの解決可能性基準は次のように述べられています。

特性零の体上の有限次元ベクトル空間の自己準同型のリー部分代数 は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$ ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

可解な場合、が基底体の代数的閉包上の上三角形式に代入するリーの定理から導かれる（基底体を拡張した後にトレースを計算できる）。逆は、ジョルダン・シュヴァレー分解に基づくべき零性基準から導出できる。これは、そこで説明されている。 ${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

カルタンの基準を随伴表現に適用すると次のようになります。

特性ゼロの体上の有限次元リー代数は、次の場合にのみ解けます(ただし、K はキリング形式)。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$

カルタンの半単純性の基準

カルタンの半単純性の基準は、次のように述べています。

特性ゼロの体上の有限次元リー代数は、キリング形式が非退化である場合に限り、半単純である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ジャン・ディウドネ （1953年）は、有限次元リー代数（任意の特性において）が非退化不変双線形形式を持ち、非ゼロアーベルイデアルを持たない場合、特にそのキリング形式が非退化である場合、それは単純リー代数の和であるという非常に短い証明を与えた。

逆に、カルタンの可解性の基準から、半単純代数（特性 0）は非退化のキリング形式を持つことが容易に分かります。

例

カルタンの基準は特性 で失敗します。例: ${\displaystyle p>0}$

• リー代数は、k の標数が 2 でなく、キリング形式がゼロになる 場合には単純ですが、 によって与えられる非ゼロの不変双線形形式を持ちます。${\displaystyle \operatorname {SL} _{p}(k)}$ ${\displaystyle (a,b)=\operatorname {tr} (ab)}$
• の基底を持ち、括弧 [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j}を持つリー代数は、に対して単純ですが、非ゼロ不変双線形形式を持ちません。${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p>2}$
• kが特性 2 を持つ場合、半直積gl ₂ ( k ). k ²は解けるリー代数ですが、その導出代数 sl ₂ ( k ). k ²上でキリング形式は同一にゼロではありません。

有限次元リー代数が冪零である場合、キリング形式は恒等的に零である（より一般的には、任意の冪零イデアル上でキリング形式は消滅する）。逆は偽である。キリング形式が消滅する非冪零リー代数が存在する。一例として、アーベルリー代数Vと、 Vに自己準同型bとして 作用する1次元リー代数との半直積が挙げられる。この場合、bは冪零でなく、Tr( b ² )=0となる。

標数 0 では、すべての簡約リー代数（アーベルリー代数と単純リー代数の和）は、非退化不変対称双線型形式を持つ。しかし、その逆は偽である。非退化不変対称双線型形式を持つリー代数は、単純リー代数とアーベルリー代数の和である必要はない。典型的な反例はG = L [ t ]/ t ⁿ L [ t ] である。ここでn >1、Lは双線型形式 (,) を持つ単純複素リー代数であり、G上の双線型形式は、 L上の形式によって誘導されるG上のC [ t ] 値双線型形式のt ^{n −1}の係数を取ることで与えられる。双線型形式は非退化であるが、リー代数は単純リー代数とアーベルリー代数の和ではない。

注記

1. カルタン、第 4 章、テオレーム 1

参考文献

• Cartan、Élie (1894)、最終と継続の変換グループの構造、論文、ノニー
• ディウドネ, ジャン(1953)、「半単純リー代数について」、アメリカ数学会誌、4 (6): 931– 932、doi : 10.2307/2031832、ISSN  0002-9939、JSTOR  2031832、MR  0059262
• セール、ジャン＝ピエール（2006）[1964]、「リー代数とリー群」、数学講義ノート、第1500巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-3-540-70634-2、ISBN 978-3-540-55008-2、MR  2179691

参照

• モジュラーリー代数