カルタン部分群

代数群の理論において、（必ずしも代数的に閉じている必要はない）体上の連結な線型代数群のカルタン部分群は、最大トーラスの中心化群である。カルタン部分群は滑らか（同値に縮約され）、連結であり、冪零である。が代数的に閉じている場合、それらはすべて互いに共役である。^{[ 1 ]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

代数群の文脈において、トーラスとは、（の代数的閉包である） 基底拡大が の有限個のコピーの積に同型となるような代数群のことである。このような極大部分群は、代数群の理論において、リー群の理論における極大トーラスと同様の役割を果たす。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{({\bar {k}})}}$ ${\displaystyle {\bar {k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=\mathbf {GL} _{1}}$

が簡約的である場合（特に半単純である場合）、トーラスが最大となるのは、それがそれ自身の中心化である場合に限ります^{[ 2 ]} 。したがって、 のカルタン部分群はまさに最大トーラスです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

例

一般線型群は簡約的である。対角部分群は明らかにトーラスであり（実際には、基底拡大を行う前から既にの n 個のコピーの積であるため、分割トーラスである）、最大であることが示される。は簡約的であるため、対角部分群はカルタン部分群である。 ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$

参照

• ボレル部分群
• 代数群
• 代数的トーラス

参考文献

1. ミルン（2017）、命題17.44。
2. ミルン（2017）、系17.84。

• ボレル、アルマン（1991年12月31日）『線型代数群』ISBN 3-540-97370-2。
• ラング、セルジュ(2002)。代数。スプリンガー。ISBN 978-0-387-95385-4。
• ミルン、JS（2017）、代数群：体上の有限型の群スキームの理論、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017 / 9781316711736、ISBN 978-1107167483、MR  3729270
• Popov, VL (2001) [1994]、「カルタン部分群」、数学百科事典、EMS Press
• Springer, Tonny A. (1998),線形代数群, Progress in Mathematics, vol. 9 (第2版), ボストン, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7、MR  1642713