カルティエの二重性

数学において、 カルティエ双対性は、可換群スキームにおけるポンチャギン双対性の類似物である。ピエール・カルティエ （1962）によって導入された。

キャラクタを用いた定義

スキームS上の任意の有限平坦可換群スキーム Gが与えられたとき、そのカルティエ双対はキャラクタ群であり、任意のSスキームTを基底変換から群スキーム準同型のアーベル群へ、そして任意のSスキームの写像をキャラクタ群の標準写像へ移す関数として定義されます。この関数は有限平坦S群スキームで表現可能であり、カルティエ双対性は有限平坦可換S群スキームの圏から自身への加法的反同値性を形成します。Gが定数可換群スキームである場合、そのカルティエ双対は対角化可能群D ( G )であり、その逆も同様です。Sがアフィンである場合、双対関数は関数のホップ代数の双対性によって与えられます ${\displaystyle G_{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {G'} _{m,T}}$

ホップ代数を用いた定義

体上の有限可換群スキームは、有限次元可換余可換ホップ代数に対応する。カルティエ双対性は、ホップ代数の 双対を取り、乗法と余乗法を入れ替えることに対応する。

カルティエ双対性のより一般的なケース

カルティエ双対の定義は、スキーム上の結果として得られる関数がグループスキームとして表現されなくなる、はるかに一般的な状況にまで有効に拡張されます。一般的なケースには、S上の可換群の fppf 層や、その複体が含まれます。これらのより一般的な幾何学的オブジェクトは、優れた極限挙動を示すカテゴリを扱いたい場合に役立ちます。体上の可換代数群などの中間抽象のケースがあり、この場合、カルティエ双対性は可換アフィン形式群と反同値であるため、Gが加法群であれば、そのカルティエ双対は乗法形式群であり、Gがトーラスであれば、そのカルティエ双対はエタールかつ捩れなしになります。トーラスのループ群の場合、カルティエ双対性は、局所幾何学的類体理論における tame 記号を定義します。Gérard Laumon は、これらの同値性の多くに特化した、 1-モチーフ上の準連接モジュールの層理論的フーリエ変換を導入しました。^[1]${\displaystyle \mathbf {G'} _{a}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {G} }}_{m}}$

例

• n位巡回群 のカルティエ双対は、1のn乗根です${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mu_{n}}$
• 特性 pの体上では、群スキーム( p乗をとることによって誘導される加法群の自己準同型の核) はそれ自身のカルティエ双対です。${\displaystyle \alpha _{p}}$

参考文献

1. ローモン、ジェラール(1996). 「一般フーリエ変換」. arXiv : alg-geom/ 9603004

• カルティエ、ピエール(1962)、「グループ algébriques et groupes formels」、1962 Colloq。 Théorie des Groupes Algébriques (ブリュッセル、1962 年)、パリ大学ルーヴァン図書館: GauthierVillars、pp.  87–111、MR  0148665
• オールト、フランス（1966）、可換群スキーム、数学講義ノート、第15巻、ベルリン-ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、MR  0213365