三角形立方体のカタログ

三角形立方曲線カタログは、基準三角形の平面上にある1200以上の立方曲線に関する詳細な情報を含むオンラインリソースです。 ^{[ 1 ]}このリソースは、Bernard Gibertによって管理されています。リソース内の各立方曲線には、「Knnn」という形式の一意の識別番号が割り当てられています。ここで、「nnn」は3桁の数字を表します。カタログの最初のエントリの識別番号は「K001」で、これは基準三角形 $ABCの$ ノイベルク立方曲線です。このカタログには、掲載されている各立方曲線について、特に以下の情報が記載されています。

曲線の重心方程式
曲線上にある三角形の中心のリスト
三角形の中心ではない曲線上の特別な点
曲線の幾何学的性質
曲線の軌跡特性
曲線のその他の特別な性質
3次曲線に関連する他の曲線
さまざまな特性を示す整然とした図が豊富に用意されている
曲線に関する文献の参照

カタログに掲載されている立方体の中には、その方程式が非常に複雑なものもあるため、ウェブサイト管理者は当該立方体のウェブページに方程式を掲載することを控えています。代わりに、書式なしテキスト形式で方程式を記したファイルへのリンクを提供しています。例えば、立方体K1200の方程式はテキストファイルとして提供されています。^{[ 2 ]}

座標

$△ ABC が$ 辺の長さがである三角形であると仮定します。 $△$ $ABC$ に関して、多くの名前付き立方体はよく知られた点を通ります。以下に示す例では、三線座標と重心座標という 2種類の同次座標を使用しています。 $a=|BC|,$ $b=|CA|,$ $c=|AB|.$

3次方程式で三線方程式から重心方程式に変換するには、次のように代入します。

x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;

重心系から三線系に変換するには、

x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.

三次方程式の多くは次のような形をとる。

f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.

以下の例では、このような方程式は次のように「巡回和表記法」でより簡潔に書かれています。

\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0

。

$以下に挙げる三次曲線は、 △$ $ABC$ の辺上にない点 $Xの$ 等角共役線（ $X*）$ によって定義できる。X $*$ の構成は次のように行う。L $A を$ $直線$ $XAの角$ $A$ の内角二等分線に関する鏡映とし、 $L$ $B$ と $L$ $C$ を同様に定義する。すると、3つの鏡映線は $X*$ において一致する。三線座標系において、 $X=x:y:z,$ $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$

カタログの最初のいくつかの三角形の立方体

以下はカタログに掲載されている最初の 10 個の立方体です。

識別番号	名前	重心座標における方程式
K001	ノイベルグ立方体、21点立方体、37点立方体	$\sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K002	トムソン立方体、17ポイント立方体	$\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K003	マッケイ立方体、グリフィス立方体	$\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K004	ダルブー立方体	$\sum _{\text{cyclic}}[2a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K005	ナポレオン立方、フォイエルバッハ立方	$\sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K006	正立方体	$\sum _{\text{cyclic}}(c^{2}+a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K007	ルーカスキュービック	$\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$
K008	ドゥルーサン立方体	$\sum _{\text{cyclic}}(b^{4}+c^{4}-a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$
K009	ルモワンヌキュービック	${\begin{aligned}&2(a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})xyz\\&\sum _{\text{cyclic}}a^{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})yz(yz)=0\end{aligned}}$
K010	シムソン立方体	$\sum _{\text{cyclic}}a^{2}{\frac {y+z}{yz}}=0$

個々の曲線

ノイベルク立方体

$三角形△ ABC$ のノイバーグ三次曲線: $X$ の軌跡で、 $X A 、 X B 、 X C$ $がBC、CA、AB の$ 各辺による $X$ の反射である場合、直線 $AX$ $A$ $、 BX$ $B$ $、 CX$ $C$ は交わります。

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ノイベルク三次曲線（ジョセフ・ジャン・バティスト・ノイベルクにちなんで名付けられた）は、点 $Xの$ 軌跡であり、 $X*$ は直線 $EX$ 上にあり、 $E$ はオイラーの無限遠点（三角形の中心百科事典のX $($ $30) ）である。また、この$ $三$ 次曲線は、三角形 $△$ $X$ $A$ $X$ $B$ $X$ $C$ $が△$ $ABC$ に透視投影されるようなXの軌跡でもある。 $△$ $X$ $A$ $X$ $B$ $X$ $C$ は、それぞれ直線 $BC、CA、ABにおける$ $X$ の鏡映である。

ノイベルグの3次曲線は、内心、外心、垂心、両方のフェルマー点、両方の等力点、オイラーの無限大点、その他の三角形の中心、外心、 $△$ $ABC$ の辺の $A、B、Cの反射、および$ $△$ $ABC$ の辺に立てられた6つの正三角形の頂点を通ります。

ノイベルグ立方体のグラフィカルな表現と特性の詳細なリストについては、Berhard Gibert の Cubics in the Triangle Plane のK001 を参照してください。

トムソン立方体

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

トムソン三次曲線は、点 $X*$ が直線 $GX$ 上にあるような点 $X$ の軌跡です。ここで、 $G$ は重心です。

トムソン三次曲線は、以下の点を通ります：内心、重心、外心、垂心、対称中点、他の三角形の中心、頂点 $A、B、C、$ 外心、辺 $BC、CA、ABの中点、そして$ $△ ABC$ の高度の中点。三次曲線上に存在するが $△$ $ABC$ $の辺線上にない各点P$ について、 $P$ の等角共役点も三次曲線上に存在する。

グラフとプロパティについては、三角形平面の三次関数の K002 を参照してください。

ダルブー立方体

三角形 $△ ABC$ $のダルブー三次曲線: D、E、Fが$ $Xから$ $BC、CA、AB の$ 各辺に下ろした垂線の足である場合に $、AD、BE、CF$ が交わるような $X$ の軌跡。

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

$ダルブー三次曲線は、点X*$ が直線 $LX$ 上にあるような点 $X$ の軌跡である。ここで、 $Lは$ ド・ロンシャン点である。また、この三次曲線は、Xのペダル三角形が、ある点（リュカ三次曲線上に存在する）のセビアン三角形となるような点Xの軌跡 $で$ もある。 $また、この三次曲線は、$ $X$ のペダル三角形と $X$ のアンティセビアン三角形が透視投影となるような点 $X$ の軌跡でもある。透視投影はトムソン三次曲線上に存在する。

ダルブー三次曲線は、内心、外心、垂心、ド・ロンシャン点、その他の三角形の中心、頂点 $A、B、C、外心、そして外接円上の$ $A、B、C$ の対蹠点を通ります。三次曲線上に存在するが $△$ $ABC$ の側線上にない各点 $Pについて、$ $P$ の等角共役点も三次曲線上にあります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K004 を参照してください。

ナポレオン・フォイエルバッハ立方

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(BC)x(y^{2}-z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

$ナポレオン・フォイエルバッハの3次曲線は、点X*$ が直線 $NX$ 上にある軌跡です。ここで、 $N$ は9点の中心です（三角形の中心百科事典では $N = X （5）$ ）。

ナポレオン・フォイエルバッハの3次曲線は、内心、外心、垂心、第1および第2ナポレオン点、その他の三角形の中心、頂点 $A、B、C、外心、重心の高度への投影、および$ $△ ABC$ の辺に立てられた6つの正三角形の中心を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K005 を参照してください。

ルーカスキュービック

$三角形△ ABC$ のルーカス三次曲線: 点 $X$ のセビアン三角形が点 X' のペダル三角形となる $よう$ $な$ 点Xの軌跡。点 $X' は$ ダルブー三次曲線上にあります。

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

$ルーカス三次曲線は、 X$ のセビアン三角形が何らかの点のペダル三角形であるような点 $X$ の軌跡です。その点はダルブー三次曲線上にあります。

リュカス三次曲線は、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点、その他の三角形の中心、反補三角形の頂点、およびシュタイナー円周楕円の焦点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K007 を参照してください。

1次ブロカール立方体

$第一ブロカール三次曲線： X$ の軌跡であり $、XA'、XB'、XC'$ と、それぞれの辺 $BC、CA、CB（$ △ $A'B'C'$ $は三角形△ ABC$ の第一ブロカール三角形）との交点が同一直線上となる点。図中の $Ω$ と $Ω'$ は、第一ブロカール点と第二ブロカール点である。

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

$△ A'B'C' を$ 第一ブロカール三角形とする。任意の点 X について、 $直線$ XA ′ $、XB'、XC'$ とそれぞれ辺 $BC、CA、ABとの交点を$ $X A 、X B 、X C$ とする。第一ブロカール三次曲線は、点 $X$ $A$ $、X$ $B$ $、X$ $C$ $が同一線上にあるときのX$ の軌跡である。

1 番目のブロカール 3 次曲線は、重心、対称点、シュタイナー点、その他の三角形の中心、および 1 番目と 3 番目のブロカール三角形の頂点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K017 を参照してください。

2番目のブロカール立方体

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

$第2ブロカール三次曲線は、点X$ の軌跡であり、 $X$ と $X*$ を通る外円錐曲線上の直線 $XX*$ の極が、外心と対称中点（すなわちブロカール軸）を結ぶ直線上にある。この三次曲線は、重心、対称中点、両方のフェルマー点、両方の等力点、パリー点、その他の三角形の中心、そして第2および第4ブロカール三角形の頂点を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K018 を参照してください。

1等面積立方体

$三角形△ ABC$ の最初の等面積三次曲線: $X$ のセビアン三角形の面積が $X*$ のセビアン三角形の面積に等しい点 $X$ の軌跡。

三線方程式: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心方程式: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

$1次等面積三次曲線は、点X$ の軌跡において、 $X$ のセビアン三角形の面積が $X*$ のセビアン三角形の面積に等しい場合の軌跡です。また、この $三次曲線は、$ $X*$ が直線 $S*X$ 上にある場合の軌跡でもあります。ここで $S$ はシュタイナー点です。（三角形中心百科事典では $S = X (99)$ ）。

最初の等面積立方体は、内心、シュタイナー点、その他の三角形の中心、第 1 および第 2 ブロカール点、および外心を通ります。

グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K021 を参照してください。