議論の原則

単純等高線C （黒）、 fの零点（青）、 fの極（赤）。ここでは${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.\,}$

複素解析において、引数原理（またはコーシーの引数原理）は、有理型関数の零点と極の数の差と、その関数の対数導関数の線積分とを関連付ける定理である。

処方

fが閉路C の内部と上の有理型関数であり、f がC上に零点や極を持たない場合、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P}$

ここで、ZとP はそれぞれ、曲線C内のfの零点と極の数を表し、各零点と極はそれぞれその多重度と位数で示される回数だけ数えられる。この定理の記述は、曲線Cが単純、つまり自己交差がなく、反時計回りに向いていることを前提としている。

より一般的に、fは複素平面上の開集合Ω上の有理型関数であり、Cは Ω 内の閉曲線でfのすべての零点と極を避け、Ω 内の点に縮約可能であるとする。各点z ∈ Ω について、n ( C , z )をCのz周りの巻き数とする。すると、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,}$

ここで、最初の合計はfのすべての零点aとその重複度でカウントされ、2 番目の合計はfの極bとその次数でカウントされます。

輪郭積分の解釈

輪郭積分は、 w = f ( z ) を代入して、原点の周りの経路f ( C )の巻数2π i倍として解釈できます。${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}$

つまり、これはzがCの周りを回るときのf ( z )の引数の全変化のi倍であり、これが定理の名前の由来である。これは次式から導かれる。

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

引数と対数の関係。

議論原理の証明

z _{Z を}fの零点とする。f ( z ) = ( z  −  z _Z ) ^k g ( z )と書ける。ここでk は零点の重複度であり、したがってg ( z _Z ) ≠ 0 となる。

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

そして

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

g ( z _Z ) ≠ 0 であるため 、 g' ( z )/ g ( z ) はz _Zで特異点を持たず、 z Z で解析的であり_、f ′( z )/ f ( z )のz _Zでの留数がkである ことを意味します。

z _{P を}fの極とする。f ( z ) = ( z  −  z _P ) ^{− m} h ( z )と書ける。ここでm は極の位数、 h ( z _P ) ≠ 0 である。すると、

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

そして

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

上と同様である。h ( z P ₎ ≠ 0なので、 h ′( z )/ h ( z ) はz _Pにおいて特異点を持たず、したがってz _{Pにおいて解析的である。f} ′ ( z )/ f ( z )のz _Pにおける留数は− mであることがわかる 。

これらをまとめると、fの重複度kの零点z _Zはそれぞれ、留数がkであるf ′( z )/ f ( z )の単純極を作成し 、fの 順序mの極z _Pはそれぞれ、留数が − mであるf ′( z )/ f ( z )の単純極を作成します。(ここで、単純極とは、順序 1 の極を意味します。) さらに、 f ′( z )/ f ( z ) には他の極が存在せず、したがって他の留数も存在しないことが示されます。

留数定理により、Cに関する積分は2πiと留数の和の積であることが分かります。また、各零点z _Zのkの和は零点の重複度を数えた零点の数であり、極についても同様です。こうして、結果が導かれます。

応用と結果

引数原理は、コンピュータ上で有理型関数の零点または極を効率的に特定するために使用できます。丸め誤差があっても、この式は整数に近い結果をもたらします。異なる等高線Cに対してこれらの整数を決定することで、零点と極の位置に関する情報を得ることができます。リーマン予想の数値的検定では、この手法を用いて、臨界直線と交差する長方形内のリーマン関数の零点の数の上限を求めます。引数原理は、多項式の根の有界値を求めるのに用いられる ルーシェの定理を証明するためにも使用できます。${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$ ${\displaystyle \xi (s)}$

議論原理のより一般的な定式化の帰結は、同じ仮定のもとで、gがΩの解析関数であるならば、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

例えば、f が単純な曲線C内に零点z ₁ , ..., z _pを持つ多項式であり、g ( z ) = z ^{k で}ある場合、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

はfの根のべき和対称多項式です。

複素積分を計算すると、次の結果が生まれます。

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

gとfを適切に選ぶと、アベル・プラナの式が得られます。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

これは離散和とその積分の関係を表します。

議論原理は制御理論にも応用されています。フィードバック制御理論に関する現代の書籍では、ナイキスト安定条件の理論的基礎として広く用いられています。さらに、議論原理のより一般化された形は、ボードの感度積分やその他の関連する積分関係を導くために用いることができます。^[1]

一般化された議論の原則

議論原理はすぐに一般化できる。gが領域 において解析的であると仮定する。すると ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,}$

ここで、最初の合計は、fのすべての零点aとその重複度に基づいて行われ、2 番目の合計は、fの極bとその次数に基づいて行われます。

歴史

フランク・スミシーズ著（『コーシーと複素関数理論の創造』ケンブリッジ大学出版、1997年、177ページ）によると、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、フランスを離れてトリノ（当時のピエモンテ＝サルデーニャ王国の首都）に自ら選んだ亡命中に、上記に類似した定理を1831年11月27日に発表しました。しかし、この本によると、零点についてのみ言及されており、極については触れられていません。コーシーによるこの定理は、手書きの形で何年も後の1874年に出版されたため、非常に読みにくいです。コーシーは、死の2年前の1855年に、零点と極の両方について議論した論文を発表しました。

参照

• 対数微分
• ナイキスト安定基準

参考文献

1. Xu, Yong; Chen, Gang; Chen, Jie; Qiu, Li (2023). 「議論原理と積分関係：隠れたリンクと一般化形式」. IEEE Transactions on Automatic Control . 68 (3): 1831– 1838. Bibcode :2023ITAC...68.1831X. doi :10.1109/TAC.2022.3159565. ISSN  0018-9286.

• ルディン、ウォルター (1986). 『実解析と複素解析（純粋・応用数学の国際シリーズ）』 マグロウヒル. ISBN 978-0-07-054234-1。
• アルフォース、ラース（1979年）『複素解析：一複素変数の解析関数理論入門』マグロウヒル社、ISBN 978-0-07-000657-7。
• チャーチル、ルーエル・ヴァンス著、ブラウン、ジェームズ・ワード著 (1989). 『複素変数とその応用』 マグロウヒル. ISBN 978-0-07-010905-6。
• バックランド、R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann、CR Acad。科学。パリ 158、1979 ～ 1982 年。

外部リンク

• 「議論の原理」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]