コーシー連続関数

数学において、コーシー連続関数（コーシーれんとつふくかん、またはコーシー正則ふくせいふくかん）は、距離空間（あるいはより一般的な空間）間の特別な種類の連続関数である。コーシー連続関数は、その定義域のコーシー完備化に常に（一意に）拡張できるという便利な性質を持つ。

意味

とを距離空間とし、をからへの関数とします。すると、がコーシー連続となるのは、任意のコーシー列がのコーシー列である場合に限ります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$ ${\displaystyle Y.}$

プロパティ

任意の一様連続関数はコーシー連続でもある。逆に、定義域が全有界ならば、任意のコーシー連続関数は一様連続である。より一般的には、が全有界でなくても、 上の関数がコーシー連続であるためには、 の任意の全有界部分集合上で一様連続である必要がある。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

すべてのコーシー連続関数は連続である。逆に、定義域が完備であれば、すべての連続関数はコーシー連続である。より一般的には、が完備でなくても、 が完備である限り、 からへの任意のコーシー連続関数は、この拡張のコーシー完備化上で定義された連続（したがってコーシー連続）関数に拡張できる。この拡張のコーシー完備化は必ず一意である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X;}$

これらの事実を組み合わせると、がコンパクトであれば、 上の連続写像、コーシー連続写像、一様連続写像はすべて同じになります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

例と非例

実数直線 は完備なので、 上の連続関数はコーシー連続です。しかし、有理数の部分空間では、事情は異なります。たとえば、が より小さいときにが で、が大きいときに となるような2値関数を定義します（ は、任意の有理数 に対してと等しくなることはないことに注意してください）。この関数は では連続ですが、 まで連続的に拡張できないため、コーシー連続ではありません。一方、 上の一様連続関数はすべてコーシー連続でなければなりません。上の非一様例として とします。これは（ の全体にわたって）一様連続ではありませんが、コーシー連続です。（この例は 上でも同様に機能します）。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 2^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

のCauchy 列は、 からまで定義されるCauchy 連続関数と同一視できます。が完全な場合、これを まで拡張することができ、 がCauchy 列の極限になります。 ${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}\cup \{0\};}$ ${\displaystyle f(0)}$

一般化

コーシー連続性は距離空間よりも一般的な状況では意味を成しますが、その場合、列からネット（または同等のフィルタ）へと移行する必要があります。上記の定義は、コーシー列を任意のコーシーネットに置き換えた限り適用されます。同様に、関数がコーシー連続であるためには、上の任意のコーシーフィルタが与えられたとき、を基底とするコーシーフィルタである必要があります。この定義は、距離空間に関する上記の定義と一致しますが、一様空間や、最も一般的にはコーシー空間にも適用できます。 ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle Y.}$

任意の有向集合は コーシー空間にすることができる。すると、任意の空間が与えられたとき、その中の添字が であるコーシーネットは、 からまでのコーシー連続関数と同じになる。が完備であれば、関数を まで拡張するとネットの極限の値が得られる。（これは、0 を と解釈する上記の数列の例を一般化したものである。） ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}.}$

参照

• コーシー空間 – 一般位相と解析における概念
• ハイネ・カントール定理

参考文献

• エヴァ・ローウェン＝コルバンダース (1989).コーシー連続写像の関数クラス. デッカー, ニューヨーク.