Matrix class
数学 において 、 コーシー行列は 、 オーギュスタン＝ルイ・コーシー にちなんで名付けられ、 次の形式の
要素 a ij を持つm × n 行列である。
a
i
j
=
1
x
i
−
y
j
;
x
i
−
y
j
≠
0
,
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
{\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}
ここで 、 と は 体 の元であり 、 と は 単射 列です （ 異なる 元を含みます）。
x
i
{\displaystyle x_{i}}
y
j
{\displaystyle y_{j}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
(
y
j
)
{\displaystyle (y_{j})}
プロパティ コーシー行列のすべての 部分行列 は、それ自体がコーシー行列です。
ヒルベルト 行列 はコーシー行列の特殊なケースであり、
x
i
−
y
j
=
i
+
j
−
1.
{\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}
コーシー行列式 コーシー行列の行列式は、 パラメータ とについて明らかに 有理分数 である。もし列が単射でなければ、行列式はゼロとなり、ある列が に近づくと無限大に近づく 。 したがって、その零点と極の集合は既知である。事実、零点と極は他に存在しない。
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
(
y
j
)
{\displaystyle (y_{j})}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
y
j
{\displaystyle y_{j}}
正方コーシー行列 Aの行列式は コーシー行列式 として知られており 、次のように明示的に表される。
det
A
=
∏
i
=
2
n
∏
j
=
1
i
−
1
(
x
i
−
x
j
)
(
y
j
−
y
i
)
∏
i
=
1
n
∏
j
=
1
n
(
x
i
−
y
j
)
{\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}
（シェヒター1959、式4；コーシー1841、p.154、式10）。 これは常に非ゼロであり、したがってすべての正方コーシー行列は 逆行列で ある。逆行列 A −1 = B = [b ij ]は次式で与えられる。
b
i
j
=
(
x
j
−
y
i
)
A
j
(
y
i
)
B
i
(
x
j
)
{\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}
（シェクター 1959、定理1） ここで、 A i (x) と B i (x) はそれぞれ、 および に対する ラグランジュ多項式 である。つまり、
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
(
y
j
)
{\displaystyle (y_{j})}
A
i
(
x
)
=
A
(
x
)
A
′
(
x
i
)
(
x
−
x
i
)
and
B
i
(
x
)
=
B
(
x
)
B
′
(
y
i
)
(
x
−
y
i
)
,
{\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{and}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}
と
A
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
(
x
−
x
i
)
and
B
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
(
x
−
y
i
)
.
{\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{and}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}
一般化 行列 Cが コーシー型 であると は、次の形式であるときである。
C
i
j
=
r
i
s
j
x
i
−
y
j
.
{\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}
X =diag(x i )、 Y =diag(y i )と定義すると 、コーシー行列とコーシー類似行列の両方が変位方程式を満たすことがわかる。
X
C
−
C
Y
=
r
s
T
{\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}
（ コーシー行列の場合は ）。したがって、コーシー類似行列は共通の変位構造を持ち、この構造は行列を扱う際に利用できる。例えば、文献には以下のような既知のアルゴリズムがある。
r
=
s
=
(
1
,
1
,
…
,
1
)
{\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}
ops による近似コーシー行列ベクトル乗算 （例えば 高速多重極法 ）
O
(
n
log
n
)
{\displaystyle O(n\log n)}
（ ピボット ） LU分解 （GKOアルゴリズム）と 線形システムの解法
O
(
n
2
)
{\displaystyle O(n^{2})}
における線形システムを解くための近似または不安定なアルゴリズム 。
O
(
n
log
2
n
)
{\displaystyle O(n\log ^{2}n)}
ここで は 行列のサイズを表します (通常は正方行列を扱いますが、すべてのアルゴリズムは長方形行列に簡単に一般化できます)。
n
{\displaystyle n}
参照
参考文献
オーギュスティン＝ルイ・コーシー（1841年）。分析と身体数学の演習。 Vol. 2 (フランス語)。バチェリエ。 Gerasoulis, A. (1988). 「一般化ヒルベルト行列とベクトルの乗算のための高速アルゴリズム」 (PDF) . 計算数学 . 50 (181): 179– 188. doi : 10.2307/2007921 . JSTOR 2007921. Gohberg, I.; Kailath, T.; Olshevsky, V. (1995). 「変位構造を持つ行列に対する部分ピボット法を用いた高速ガウス消去法」 (PDF) . 計算数学 . 64 (212): 1557–76 . Bibcode :1995MaCom..64.1557G. doi : 10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x . Martinsson, PG; Tygert, M.; Rokhlin, V. (2005). 「一般テプリッツ行列の逆行列を求めるための O ( N log 2 N ) {\displaystyle O(N\log ^{2}N)} アルゴリズム」 (PDF) . Computers & Mathematics with Applications . 50 ( 5– 6): 741– 752. doi :10.1016/j.camwa.2005.03.011. Schechter, S. (1959). 「特定の行列の逆行列について」 (PDF) . 数学表とその他の計算補助 . 13 (66): 73– 77. doi :10.2307/2001955. JSTOR 2001955. Finck, TiIo; Heinig, Georg; Rost, Karla (1993). 「コーシー・ヴァンデルモンド行列の逆行列公式と高速アルゴリズム」 (PDF) . 線形代数とその応用 . 183 (1): 179– 191. doi :10.1016/0024-3795(93)90431-M. ファシーノ、ダリオ（2023）。 「直交コーシー様行列」 (PDF) 。 数値アルゴリズム 。 92 (1): 619–637 。 土井 :10.1007/s11075-022-01391-y。 。
