コーシーの積分定理

数学において、複素解析におけるコーシーの積分定理（コーシー・グルサ定理とも呼ばれる）は、オーギュスタン＝ルイ・コーシー（およびエドゥアール・グルサ）にちなんで名付けられ、複素平面上の正則関数の線積分に関する重要な定理である。本質的には、単連結領域Ωにおいて が正則である場合、Ω 内の任意の単閉路に対して、その線積分はゼロとなることを述べている。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}$$

声明

複素線積分の基本定理

f ( z )が開領域U上の正則関数であり、がから までのU内の曲線である場合、 ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0})。}$$

また、f ( z ) が開領域Uで単一値の原始微分を持つ場合、経路積分はU内のすべての経路に対して経路独立です。 ${\textstyle \int _{\gamma }f(z)\,dz}$

単連結領域に関する定式化

を単連結な開集合とし、を正則関数とする。を滑らかな閉曲線とする。すると、次のようになる。 （単連結である という条件は、に「穴」が存在しない、つまり、の基本群が自明であることを意味する。） ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

一般的な定式化

を開集合、を正則関数とする。を滑らかな閉曲線とする。 が 定数曲線に 同相である場合、次の関係が成り立つ。 ただし 。${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ${\displaystyle \gamma}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$ ${\displaystyle z\in U}$

（曲線から定数曲線への滑らかなホモトピー（ 内）が存在する場合、曲線は定数曲線にホモトピーであることを思い出してください。直感的には、これは空間を出ることなく曲線を点に縮小できることを意味します。）最初のバージョンは、単連結セット上ではすべての閉曲線が定数曲線に ホモトピーであるため、この特殊なケースです。${\displaystyle U}$

主な例

どちらの場合も、曲線が定義域内のいかなる「穴」も囲んでいないことを覚えておくことが重要です。そうでなければ、定理は適用されません。有名な例として、次の曲線が あります。これは単位円 を描きます。ここで、次の積分 は 非ゼロです。 はでは定義されていない ため、コーシーの積分定理はここでは適用されません。直感的に、 は の定義域内の「穴」を囲んでいるため、空間から出ることなく点に縮小することはできません。したがって、定理は適用されません。 ${\displaystyle \gamma}$ $${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],}$$ $${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,}$$ ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$

議論

エドゥアール・グルサが示したように、コーシーの積分定理は、複素導関数がのどこにでも存在すると仮定するだけで証明できます。これは重要なことです。なぜなら、これらの関数に対するコーシーの積分公式を証明でき、そこからこれらの関数が無限微分可能であると推論できるからです。 ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle U}$

単連結であるという条件は、に「穴」が存在しない、あるいはホモトピーの用語で言えば、の基本群が自明であることを意味します。例えば、 の開円板 はすべてとなります。この条件は非常に重要です。 が単位円を描き出すとすると、経路積分は 非ゼロになります。は では定義されていない（そしてもちろん正則ではない） ため、コーシーの積分定理はここでは適用されません。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$$ ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$

この定理の重要な帰結の一つは、単連結な領域上の正則関数の経路積分は、微積分学の基本定理からおなじみの方法で計算できるということである。を の単連結な開部分集合とし、 を正則関数とし、 を始点、終点 とするにおける区分的に連続的に微分可能な経路とする。が の複素逆微分であるとき、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$$

コーシーの積分定理は、上に示したよりも弱い仮定でも成り立ちます。例えば、の単連結な開部分集合 が与えられている場合、が 上で正則かつ 上で連続であり、において整流可能な単ループであるという仮定を弱めることができます。^{[ 1 ]}${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\textstyle {\overline {U}}}$

コーシーの積分定理は、コーシーの積分公式と留数定理を導きます。

証拠

正則関数の偏微分が連続であると仮定すれば、グリーン定理と、 の実部と虚部がで囲まれた領域、さらにはこの領域の開近傍Uにおいてコーシー・リーマン方程式を満たさなければならないという事実から、コーシーの積分定理を直接的に証明することができる。コーシーはこの証明を与えたが、後にグルサットによって、ベクトル解析や偏微分の連続性といった 技術を必要とせずに証明された。${\displaystyle f=u+iv}$ ${\displaystyle \gamma }$

積分関数と微分を実数部と虚数部に分解することができます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dz}$

$${\displaystyle f=u+iv}$$ $${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$$

この場合、 $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$$

グリーンの定理により、閉曲線の周りの積分を、次のように囲まれた領域全体の面積積分に置き換えることができます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

しかし、領域 における正則関数の実部と虚部は、コーシー・リーマン方程式を満たす必要があります。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

したがって、両方の積分関数（およびそれらの積分）はゼロであることがわかる。

$${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$$ $${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$$

これにより、望ましい結果が得られます $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$

参照

• モレラの定理
• 輪郭積分法
• スタードメイン

参考文献

1. Walsh, JL (1933-05-01). 「修正可能ジョルダン曲線に対するコーシー＝グルサ定理」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 19 (5): 540– 541. Bibcode : 1933PNAS...19..540W . doi : 10.1073 / pnas.19.5.540 . ISSN  0027-8424 . PMC  1086062. PMID  16587781 .

• 小平邦彦(2007)、「複素解析」、ケンブリッジスタッド。上級数学、107、カップ、ISBN 978-0-521-80937-5
• アルフォース、ラース（2000年）、複素解析、McGraw-Hill数学シリーズ、McGraw-Hill、ISBN 0-07-000657-1
• ラング、セルジュ（2003）、複素解析、Springer Verlag GTM、Springer Verlag
• ルディン、ウォルター（2000年）、実解析と複素解析、マグロウヒル数学シリーズ、マグロウヒル

外部リンク

• 「コーシーの積分定理」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「コーシーの積分定理」。MathWorld 。
• Jeremy Orloff、18.04複素変数とその応用、 2018 年春、マサチューセッツ工科大学: MIT OpenCourseWare Creative Commons。