中心（圏論）

数学の一分野である圏論において、中心（またはソ連系アメリカ人の数学者ウラジミール・ドリンフェルドにちなんでドリンフェルド中心と呼ばれる）は、モノイド、群、または環の 中心の概念の異形である。

意味

モノイドカテゴリ の中心は、 のオブジェクトと、を満たす同型写像からなるペアをオブジェクトとするカテゴリである。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}=({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle u_{X}:A\otimes X\rightarrow X\otimes A}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle u_{X\otimes Y}=(1\otimes u_{Y})(u_{X}\otimes 1)}$

そして

${\displaystyle u_{I}=1_{A}}$ （これは実際には最初の公理の結果である）。^{[ 1 ]}

からへの矢印は、次の 矢印から構成されます。${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (B,v)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}$ ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle v_{X}(f\otimes 1_{X})=(1_{X}\otimes f)u_{X}}$ 。

この中心の定義は、Joyal & Street (1991)に示されています。同様に、中心は次のように定義できます。

${\displaystyle {\mathcal {Z}}({\mathcal {C}})=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({\mathcal {C}}),}$

つまり、その内部関数は、テンソル積によって与えられる の自身 への左作用および右作用と互換性がある。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

編み込み

このカテゴリは、次のように定義されるオブジェクトのテンソル積を持つ 編み込みモノイドカテゴリとなる。${\displaystyle {\mathcal {Z(C)}}}$

${\displaystyle (A,u)\otimes (B,v)=(A\otimes B,w)}$

ここで、 と明らかな編み込みがあります。 ${\displaystyle w_{X}=(u_{X}\otimes 1)(1\otimes v_{X})}$

高次のカテゴリバージョン

圏中心は、高次の圏の文脈において特に有用である。これは次の例で示される。可換環に対する -加群の（アーベル）圏の中心は、再び次のように定義される。モノイド的∞-圏の中心は、上記と同様に、次のように定義できる 。${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Z({\mathcal {C}}):=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({\mathcal {C}})}$ 。

さて、上記とは対照的に、- 加群の導来カテゴリ（∞カテゴリとみなされる）の中心は、ホックシルトコホモロジーをエンコードするコチェーン複体上の加群の導来カテゴリによって与えられ、その複体の次数0の項は（上記のアーベル的状況のように）であるが、 （導来Hom）などのより高次の項を含む。^{[ 2 ]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {ホム} (R,R)}$

この一般性における中心の概念は、Lurie (2017 , §5.3.1) によって発展させられている。上記の通常のモノイド圏の中心への組紐を拡張すると、モノイド∞圏の中心は -モノイド圏となる。より一般に、 -モノイド圏の中心は-モノイド圏の代数的対象であり、したがって、ダン加法性により-モノイド圏となる。 ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E_{k+1}}$

例

Hinich (2007)は、オービフォールドX上の層の圏のドリンフェルド中心は、Xの慣性オービフォールド上の層の圏であることを示した。有限群Gの分類空間Xに対して、慣性オービフォールドはスタック商G / Gであり、ここでG は自身に共役作用する。この特殊なケースにおいて、Hinich の結果は、（ある基底体kに関して） G表現の圏の中心が、G次付きkベクトル空間、すなわち、次の形式のオブジェクト からなる圏と同値であるという主張に特化している。

${\displaystyle \bigoplus _{g\in G}V_{g}}$

いくつかのkベクトル空間に対して、 G同変射とともに、 G が共役によってそれ自身に作用する。

同様に、Ben-Zvi、Francis、Nadler (2010)は、完全スタックX上の準連接層の導出カテゴリの Drinfeld 中心が、Xのループ スタック上の層の導出カテゴリであることを示しました。

関連する概念

モノイドオブジェクトの中心

モノイドの中心とモノイド圏のドリンフェルド中心は、どちらも以下のより一般的な概念のインスタンスである。モノイド圏とモノイド対象が与えられたとき、 の中心は次のように定義される 。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Z(A)=\mathrm {End} _{A\otimes A^{\mathrm {op} }}(A).}$

が集合の圏（通常の直積を持つ）である場合、モノイド対象は単にモノイドであり、 はモノイドの中心である。同様に、 がアーベル群の圏である場合、モノイド対象は環であり、上記は環 の中心を復元する。最後に、が圏の圏であり、積をモノイド演算とする場合には、 内のモノイド対象はモノイド圏であり、上記はドリンフェルド中心を復元する。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Z(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

カテゴリカルトレース

モノイド的カテゴリ（またはモノイド的∞-カテゴリ）のカテゴリカルトレースは次のように定義される。

${\displaystyle Tr(C):=C\otimes _{C\otimes C^{op}}C.}$

この概念は、例えばZhu (2018)などで広く応用されています。

参考文献

1. マジッド 1991 .
2. Ben-Zvi、Francis、Nadler（2010、注釈1.5）

• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010)「導来代数幾何学における積分変換とドリンフェルド中心」アメリカ数学会誌、23 (4): 909– 966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR  2669705 , S2CID  2202294
• Hinich, Vladimir (2007)、「オービフォールドのためのドリンフェルド倍数」、イスラエル数学会議議事録。量子群。ジョセフ・ドニン追悼会議議事録、イスラエル、ハイファ、2004年7月5日～12日、AMS、pp.  251– 265、arXiv : math/0511476、ISBN 978-0-8218-3713-9、Zbl  1142.18004
• ジョヤル、アンドレ；ストリート、ロス（1991）「テンソルカテゴリにおけるトルタイルヤン＝バクスター作用素」、純粋・応用代数誌、71（1）：43-51、doi：10.1016/0022-4049（91）90039-5、MR  1107651。
• ルリー、ジェイコブ（2017）、高等代数学
• Majid, Shahn (1991). 「モノイド圏の表現、双対、量子二重体」 .幾何学と物理学冬季講習会の議事録 (Srní, 1990) .パレルモ数学サークルのレンディコンティ. シリーズ II. 補足. 第 26 号. pp.  197– 206. hdl : 10338.dmlcz/701494 . MR  1151906 .
• 朱欣文 (2018). 「幾何的佐竹、カテゴリカルトレース、そして志村多様体の算術」. Current Developments in Mathematics . 2016 : 145–206 . arXiv : 1810.07375 . doi : 10.4310/CDM.2016.v2016.n1.a4 . ISBN 9781571463586. MR  3837875 . OCLC  1038481072 . S2CID  119589446 .

外部リンク

• nラボのドリンフェルドセンター