小カテゴリのカテゴリ

数学、特に圏論において、小圏の圏（こくかくのかく、 Catと表記される）とは、その対象がすべて小圏であり、その射が圏間の関手である圏である。Catは実際には、自然変換が2-射となる2-圏とみなすことができる。

Catの初期対象は空カテゴリ0であり、これは対象も射もないカテゴリである。^{[ 1 ]}終端対象は、単一の対象と射を持つ終端カテゴリまたは自明カテゴリ1である。 ^{[ 2 ]}

圏Cat はそれ自体が大きな圏であり、したがってそれ自体の対象ではない。ラッセルのパラドックスに類似した問題を回避するためには、 「すべての圏の圏」を形成することはできない。しかし、すべての圏の準圏（つまり、対象と射が単に集合体を形成する） を形成することは可能である。

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カテゴリCatには、クィーバーカテゴリQuivへの忘却関手Uがあります。

U  :猫→クイヴ

この関手は与えられた圏の恒等射と射の合成を忘れる。この関手の左随伴は、 Quivを対応する自由圏に導く関手Fである。

F  :クイヴ→猫

1-カテゴリカルプロパティ

• Cat にはすべての小さな極限と余極限があります。
• Cat は、関数カテゴリによって与えられる指数を持つ、デカルト閉カテゴリです。${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle \mathrm {Fun} (C,D)}$
• Catは局所的にデカルト的に閉じていません。
• 猫は局所的に有限に提示可能です。

参照

• カテゴリーの神経
• 普遍集合、「すべての集合の集合」という概念

参考文献

• 柏原正樹、シャピラ、ピエール(2006).カテゴリーと層.

外部リンク

1. nLabの空のカテゴリ
2. nLabの端末カテゴリ

• nラボの猫