センターマニホールド

進化システムの数学において、中心多様体の概念は、もともと退化した平衡状態の安定性を決定するために開発されました。その後、中心多様体の概念は数学モデリングの基礎となることが認識されました。

中心多様体は、興味深い動作が中心多様体上で発生するため分岐理論において重要な役割を果たします。また、マイクロスケールの長時間ダイナミクスが、粗いスケールの変数を含む比較的単純な中心多様体に引き寄せられることが多いため、マルチ スケール数学においても重要な役割を果たします。

非公式な説明

土星の環は潮汐力によって定義される中心多様体に位置します。

土星の環は、中心多様体の幾何学的形状の大部分を捉えています。環内の塵粒子は潮汐力の影響を受け、その特徴的な作用は「圧縮と伸張」です。この力は、粒子の軌道を環に圧縮し、環に沿って粒子を伸張させますが、環の半径の小さな変化は無視します。圧縮方向は安定多様体を定義し、伸張方向は不安定多様体を定義し、中立方向は中心多様体です。

土星の環は幾何学的には正確ですが、物理的な中心多様体とは一つの大きな違いがあります。ほとんどの力学系と同様に、環内の粒子は二次法則に従います。軌道を理解するには、位置と速度/運動量変数をモデル化し、位相空間と呼ばれる接線多様体構造を与える必要があります。物理的に言えば、土星の環系の安定多様体、不安定多様体、中立多様体は、粒子の位置の座標空間を分割するのではなく、位相空間を相似的に分割します。

中心多様体は典型的には鞍点の集合として振る舞う。位置速度対の中には中心多様体に向かって移動するものもあれば、中心多様体から遠ざかるものもある。小さな摂動は、通常それらをランダムに押しやり、しばしば中心多様体から押し出す。しかしながら、中心多様体における不安定性には、ラグランジュ的コヒーレント構造と呼ばれる劇的な反例が存在する。球体の非力剛体力学全体は、中心多様体である。 [ 1 ]

より洗練された例として、リーマン面の接束上のアノソフフローが挙げられます。この場合、接空間は不安定束と安定束の3つの部分に非常に明確かつ正確に分割され、その間に中性多様体が挟まれます。

意味

システムの鞍点平衡点の中心（赤）と不安定（緑）多様体。×˙＝×2、{\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},}y˙＝y{\displaystyle {\dot {y}}=y}
2次元位相空間からランダムに選択された点は、1次元中心多様体（その上でのダイナミクスは非指数的）に指数収束する。中心多様体のダイナミクスを研究することで、原点における非双曲的固定点の安定性が決定される。

力学系の中心多様体は、その系の平衡点に基づいています。平衡点の中心多様体は、指数関数的に急速に減少も増加もしない近傍軌道から構成されます。

数学的には、力学系の平衡点を研究する際の最初のステップは、系を線形化し、その固有値と固有ベクトルを計算することです。負の実部を持つ固有値に対応する固有ベクトル（および一般化固有ベクトルが存在する場合はそれらも）は、安定固有空間の基底を形成します。正の実部を持つ固有値に対応する（一般化）固有ベクトルは、不安定固有空間を形成します。

代数的に、平衡点x *を中心に線形化された力学系とする。ヤコビ行列( D f )( x * )は3つの主要な部分空間を定義する。 d×dt＝f（×）≈（Df）（×∗）×{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx ({\mathcal {D}}\mathbf {f} )(\mathbf {x} ^{*})\mathbf {x} }

  • 中心部分空間、その固有値が（より一般的には[ 2 ]）を満たす一般化固有ベクトルによって張られる。λ{\displaystyle \lambda}再⁡λ＝0{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda =0}|再⁡λ|≤α{\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }
  • 固有値が（より一般的には、）を満たす一般化固有ベクトルによって張られる安定部分空間。λ{\displaystyle \lambda}再⁡λ<0{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda <0}再⁡λ≤−β<−rα{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }
  • 不安定な部分空間、つまり、固有値が（より一般的には、 ）を満たす一般化固有ベクトルによって張られる部分空間。λ{\displaystyle \lambda}再⁡λ>0{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}再⁡λ≥β>rα{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }

アプリケーションによっては、中心安定、中心不安定、サブ中心、低速、高速サブスペースなど、線形化方程式の 他の不変サブスペースが重要になる場合があります。

平衡点が双曲型（つまり、線形化のすべての固有値の実部が非ゼロ）である場合、ハートマン・グロブマン定理は、これらの固有値と固有ベクトルが平衡点近傍のシステムのダイナミクスを完全に特徴付けることを保証する。しかし、平衡点が実部がゼロの固有値を持つ場合、対応する（一般化された）固有ベクトルは中心固有空間を形成する。線形化を超えて、力学系における非線形性や強制による摂動を考慮すると、中心固有空間は近傍の中心多様体へと変形する。[ 3 ]

球の場合のように、固有値が実部のみゼロではなく、正確にゼロである場合、対応する固有空間はより具体的には遅い多様体を生成します。中心（遅い）多様体上の振る舞いは、一般に線形化によって決定されないため、構築が困難な場合があります。

同様に、システム内の非線形性や強制力は、安定な固有空間と不安定な固有空間を近くの 安定多様体と近くの不安定な多様体に摂動を与える。[ 4 ]これらの3種類の多様体は、不変多様体 の3つのケースである。

線形化システムに対応して、非線形システムには不変多様体があり、それぞれは非線形システムの軌道の集合からなる。[ 5 ]

  • 安定部分空間に接し、同じ次元を持つ不変多様体は安定多様体です。
  • 不安定多様体は、不安定な部分空間と同じ次元であり、不安定な部分空間に接しています。
  • 中心多様体は中心部分空間と同じ次元を持ち、中心部分空間に接します。中心部分空間の固有値が、実部がゼロであるだけでなく、すべて正確にゼロである場合（よくあることですが）、中心多様体はしばしば「低速多様体」と呼ばれます。

中心多様体定理

中心多様体存在定理は、右辺関数が（回連続的に微分可能）である場合、すべての平衡点において、少なくとも1つの[ 6 ]が存在する有限サイズの近傍が存在することを述べている。f（×）{\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})}Cr{\displaystyle C^{r}}r{\displaystyle r}

  • 唯一の安定多様体、Cr{\displaystyle C^{r}}
  • 唯一の不安定多様体、Cr{\displaystyle C^{r}}
  • そして（必ずしも一意ではない）中心多様体。Cr−1{\displaystyle C^{r-1}}

応用例では、非線形座標を正規形に変換することで、これら3つの多様体を明確に分離することができます。[ 7 ]

不安定多様体が存在しない場合には、中心多様体はモデリングにおいてしばしば重要な意味を持つ。中心多様体出現定理は、近傍に留まるシステムのすべての解が、中心多様体上の解へと指数関数的に急速に減少するように近傍を選択できることを意味する。式では、ある速度βに対してである。[ 8 ]この定理は、様々な初期条件において、システム全体の解が比較的低次元の中心多様体上の解へと指数関数的に急速に減少することを主張する。 y（t）{\displaystyle {\textbf {y}}(t)}×（t）＝y（t）+お（e−βt） として t→∞{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {y} (t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta t})\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }

3 番目の定理である近似定理は、 などの不変多様体の近似表現が、残差に対するシステムの微分方程式を として満たす場合、不変多​​様体は によって同じオーダーの誤差、つまりに近似されると主張しています。 ×＝X（s){\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}O(|s|p){\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}s→0{\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}}x=X(s){\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}O(|s|p){\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}

無限次元または非自律系の中心多様体

しかし、チューブやチャネル内の分散などの一部の応用では、無限次元の中心多様体が必要となる。 [ 9 ] 最も一般的で強力な理論は、オールバッハとワナーによって開発された。 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]彼らは、潜在的に無限次元の安定多様体、不安定多様体、中心多様体を持つ、無限次元の非自律的な力学系を扱った。さらに、彼らは多様体の定義を一般化し、中心多様体はとなる固有値に関連付けられ、安定多様体は となる固有値に関連付けられ、不安定多様体は となるようにした。彼らは、非線形座標変換を介して、これらの多様体の存在と中心多様体の出現を証明した。 dxdt=f(x,t){\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)}|Re⁡λ|≤α{\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }Re⁡λ≤−β<−rα{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }Re⁡λ≥β>rα{\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }

ポッツシェとラスムッセンは、このような無限次元の非自律系に対応する近似定理を確立した。 [ 13 ]

代替的な逆説理論

上述の既存の理論はすべて、特定の与えられた問題における不変多様体の性質を確立しようとするものである。具体的には、与えられたシステムの不変多様体を近似する多様体を構築する。代替的なアプローチとして、与えられたシステムを近似するシステムの正確な不変多様体を構築する方法がある。これは逆理論と呼ばれる。その目的は、理論をより広範なシステムに有効に適用し、誤差と有効領域の大きさを推定することである。 [ 14 ] [ 15 ]

このアプローチは、数値モデリングにおいて 確立された後方誤差解析と類似しています。

中心多様体と非線形システムの解析

平衡状態の安定性はその多様体の「安定性」と相関するため、中心多様体の存在は、中心多様体上のダイナミクスに関する疑問を提起する。これは中心多様体縮約によって解析され、これはあるシステムパラメータμと組み合わせることで分岐の概念につながる。

例

低速多様体に関する Wikipedia のエントリには、さらに多くの例が示されています。

簡単な例

系を考える。 原点における不安定多様体はy軸であり、安定多様体は自明な集合{(0, 0)}である。安定多様体上にない任意の軌道は、ある実定数Aに対して、形の方程式を満たす。したがって、任意の実数Aに対して、 x  > 0の曲線と負のx軸（原点を含む）を繋ぎ合わせることで中心多様体を作ることができる。 [ 16 ]さらに、すべての中心多様体はこの潜在的な非一意性を持つが、非一意性は変数の非物理的な複素数値においてのみ生じることが多い。 x˙=x2,y˙=y.{\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.}y=Ae−1/x{\displaystyle y=Ae^{-1/x}}y=Ae−1/x{\displaystyle y=Ae^{-1/x}}

遅延微分方程式はホップ分岐を持つことが多い

別の例は、中心多様体が遅延微分方程式 のパラメータで発生するホップ分岐をどのようにモデル化するかを示しています。厳密に言えば、遅延によってこの微分方程式は無限次元になります。 a≈4{\displaystyle a\approx 4}dx/dt=−ax(t−1)−2x2−x3{\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}}

幸いなことに、次元を有限に保つ以下のトリックで、このような遅延を近似することができます。時間遅延変数を定義し、中間変数 と を用いて 近似 します。 u1(t)=x(t){\displaystyle u_{1}(t)=x(t)}x(t−1)≈u3(t){\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)}du2/dt=2(u1−u2){\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})}du3/dt=2(u2−u3){\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})}

臨界値に近いパラメータ の場合、遅延微分方程式は次式で近似されます。 複素振幅とその複素共役 に関して、中心多様体は であり、 中心多様体上の発展は です。 この発展は、原点が に対して線形不安定であることを示していますが、その後、3次非線形性により、古典的なホップ分岐の場合と同様に、近くのリミットサイクルが安定化されます。 a=4+α{\displaystyle a=4+\alpha }dudt=[00−42−2002−2]u+[−αu3−2u12−u1300].{\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].}s(t){\displaystyle s(t)}s¯(t){\displaystyle {\bar {s}}(t)}u=[ei2ts+e−i2ts¯1−i2ei2ts+1+i2e−i2ts¯−i2ei2ts+i2e−i2ts¯]+O(α+|s|2){\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})}dsdt=[1+2i10αs−3+16i15|s|2s]+O(α2+|s|4){\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})}α>0 (a>4){\displaystyle \alpha >0\ (a>4)}

参照

注記

  1. ^ Roberts, AJ (1993). 「梁変形の不変多様体。第1部：単純円柱」J. Elast . 30 : 1– 54. doi : 10.1007/BF00041769 . S2CID  123743932 .
  2. ^ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). 「バナッハ空間におけるカラテオドリー型微分方程式に対するハートマン・グロブマン定理」.非線形解析. 40 ( 1–8 ): 91–104 . doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
  3. ^カー、ジャック (1981).中心多様体理論の応用. 応用数学科学. 第35巻.シュプリンガー・フェアラーク. doi : 10.1007/978-1-4612-5929-9 . ISBN 978-0-387-90577-8。
  4. ^ Kelley, A. (1967). 「安定多様体、中心安定多様体、中心多様体、中心不安定多様体、不安定多様体」 . J. Differential Equations . 3 (4): 546– 570. Bibcode : 1967JDE.....3..546K . doi : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .
  5. ^グッケンハイマー & ホームズ (1997)、セクション 3.2
  6. ^グッケンハイマー & ホームズ (1997)、定理 3.2.1
  7. ^マードック、ジェームズ (2003).局所力学系の正規形と展開.シュプリンガー・フェアラーク.
  8. ^ Iooss, G.; Adelmeyer, M. (1992).分岐理論の話題. p. 7.
  9. ^ Roberts, AJ (1988). 「空間的に緩やかに変化するシステムの発展への中心多様体理論の応用」 . J. Austral. Math. Soc . B. 29 (4): 480– 500. doi : 10.1017/S0334270000005968 .
  10. ^ Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). 「バナッハ空間におけるカラテオドリー型微分方程式の積分多様体」 Aulbach, B.; Colonius, F. (編). 『動的システムに関する6つの講義』 シンガポール: World Scientific. pp.  45–119 . ISBN 9789810225483。
  11. ^ Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). 「バナッハ空間におけるカラテオドリー型微分方程式の不変葉層構造」 Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (編). 『20世紀末における安定性理論の進歩』 Gordon & Breach.
  12. ^ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). 「バナッハ空間におけるカラテオドリー型微分方程式に対するハートマン・グロブマン定理」.非線形解析. 40 ( 1–8 ): 91–104 . doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
  13. ^ Potzsche, C.; Rasmussen, M. (2006). 「積分多様体のテイラー近似」. Journal of Dynamics and Differential Equations . 18 (2): 427– 460. Bibcode : 2006JDDE...18..427P . doi : 10.1007/s10884-006-9011-8 . S2CID 59366945 . 
  14. ^ Roberts, AJ (2019). 「非自律的動的システムの不変多様体によるモデリングを後方理論がサポートする」arXiv : 1804.06998 [ math.DS ].
  15. ^ Hochs, Peter; Roberts, AJ (2019). 「非線形・非自律偏微分方程式の正規形と不変多様体、無限次元の常微分方程式として見たもの」J. Differential Equations . 267 (12): 7263– 7312. arXiv : 1906.04420 . Bibcode : 2019JDE...267.7263H . doi : 10.1016/j.jde.2019.07.021 . S2CID 184487247 . 
  16. ^チコーネ 2010、344ページ。

さらに読む

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