相同中心

図1：点Oは2つの三角形の外相似中心です。各図形の大きさは相似中心からの距離に比例します。

幾何学において、相似中心（相似中心とも呼ばれる）とは、少なくとも2つの幾何学的に相似な図形が、互いに拡大または縮小して見える点のことです。中心が外接している場合、2つの図形は互いに相似であり、それぞれの角度は同じ回転方向を持ちます。中心が内接している場合、2つの図形は互いに縮尺された鏡像であり、それぞれの角度は逆方向を持ちます。

図2: 外相中心Sによって関連付けられた2つの幾何図形。対応する点における角度は同じで、同じ方向を持ちます。例えば、∠ABCと∠A'B'C'の角度はどちらも時計回りで、大きさが等しくなります。

一般的な多角形

2 つの円 (赤) の外部 (上) および内部 (下) の相似中心が黒い点で示されています。

二つの幾何図形が相似中心を持つ場合、それらは互いに相似である。言い換えれば、対応する点において角度が同じで、相対的な大きさのみが異なる。相似中心と二つの図形は同一平面上にある必要はなく、相似中心からの 投影によって関連付けられる。

相似中心は外心と内心があります。内心の場合、二つの幾何図形は互いに縮尺が合った鏡像となり、専門用語で言えば、それらは反対のキラリティーを持ちます。一方の図形の時計回りの角度は、もう一方の図形の反時計回りの角度に対応します。逆に、外心の場合、二つの図形は互いに相似であり、それらの角度は同じ向きになります。

サークル

円は幾何学的に互いに相似であり、鏡映対称である。したがって、一対の円は、中心が等しいか半径が等しい場合を除き、内心と外心の両方の相似中心を持つ。これらの例外的なケースは、一般配置の後で扱われる。これらの2つの相似中心は、2つの与円の中心を結ぶ線上にあり、この線は中心線と呼ばれる（図3）。半径が0の円も含まれる場合があり（例外的なケースを参照）、また、負の半径を使用して外心と内心を入れ替えることもできる。

相同中心の計算

図3: 2つの円は、内円 ( I ) と外円 ( E )の両方の相似中心を持つ。円の半径 ( r ₁ , r ₂ ) は、それぞれの相似中心からの距離 ( d ) に比例する。点A ₁とA ₂は相同であり、点B ₁とB ₂も相同である。

与えられた 1 組の円について、内部相似中心と外部相似中心はさまざまな方法で見つけることができます。解析幾何学では、内部相似中心は、反対側の円の半径で重み付けされた円の中心の加重平均です。円の中心から内部中心までの距離はその半径に比例するため、重みは反対側の半径に比例します。円C ₁、C ₂の中心を( x ₁、y ₁ )、 ( x ₂、y ₂ )で表し、その半径をr ₁、r ₂で表し、中心を( x ₀、y ₀ )で表すと、次のようになります。 外部中心は同じ方程式で計算できますが、半径の 1 つを負と見なします。どちらでも同じ方程式が得られます。 より一般的には、両方の半径が同じ符号（両方とも正または両方とも負）の場合は内中心が得られ、反対の符号（一方が正でもう一方が負）の場合は外中心が得られます。内中心の方程式は任意の値に対して有効です（ただし、半径がゼロまたは一方が他方の負でない限り）。一方、外中心の方程式は半径が異なることを条件とします。異なる場合はゼロ除算が必要になります。 $${\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}$$ $${\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}$$

総合幾何学では、各円に対して2本の平行な直径が描かれ、これらは中心線と等しい角度αをなします。これらの半径の対応する端点（相同点）を通る直線A ₁ A ₂、B ₁ B ₂は 、互いに交差し、中心線と外相中心で交差します。逆に、一方の端点とその反対側の端点を通る直線A ₁ B ₂、B ₁ A ₂は、互いに交差し、中心線と内相中心で交差します。

この構成の極限例として、両方の円に接する直線（双接線）は、対応する直径の両方と直角を成し、したがって平行であるため、相似中心の1つを通ります。詳細は、2つの円の接線を参照してください。円が直線の反対側にある場合、接線は内相似中心を通ります（上図のA ₂ B _1）。逆に、円が直線の同じ側にある場合、接線は外相似中心（図示なし）を通ります。

特殊なケース

円の半径が同じ（ただし中心が異なる）場合、アフィン平面上には外相中心は存在しません。解析幾何学ではこれはゼロ除算となりますが、合成幾何学では直線A ₁ A ₂、B ₁ B ₂ は中心線（割線と重接線の両方）と平行であるため、交差しません。外中心は、射影平面において、この直線の傾きに対応する無限遠点として定義できます。これは、円の中心を固定し、半径が等しくなるまで変化させた場合の、外中心の極限でもあります。

2つの円の中心が同じで半径が異なる場合、外円と内円の両方の中心は、円の共通の中心と一致します。これは解析公式からわかるように、また、半径を等しく保ちながら2つの円の中心を互いに一致するまで変化させたときの、2つの相似中心の極限でもあります。しかし、中心線は存在せず、2つの平行線が一致するため、合成構築は失敗します。

一方の半径がゼロでもう一方がゼロでない場合（点と円）、外部中心と内部中心の両方が点（半径ゼロの円の中心）と一致します。

二つの円が同一（中心、半径が同じ）である場合、内心はそれらの共通の中心となるが、明確に定義された外心は存在しない。厳密に言えば、平面上の二つの円のパラメータ空間から外心への関数は、同一円の軌跡上で除去不可能な不連続性を持つ。半径は同じだが中心が異なる二つの円が同一中心を持つようになる極限において、外心は中心線の傾きに対応する無限遠点となる。この傾きは任意の値をとる可能性があるため、そのような円のあらゆる可能なペアに対して限界は存在しない。

逆に、両方の半径がゼロ（2 つの点）であるが、点が異なる場合、外部中心は中心線の傾きに対応する無限遠点として定義できますが、明確に定義された内部中心は存在しません。

相同点と反相同点

図4: 対応する反相同点を通る直線は、2つの与円（緑と青）の根軸上で交差する。点QとP'は反相同であり、点SとR'も同様である。これらの4点は、2つの与円と交差する円上に存在する。新しい円と2つの与円の交点を通る直線は、3つの円の根心 Gで交差する必要があり、この根心Gは2つの与円の根軸上に存在する。

一般に、相同中心を通る直線は、その円のそれぞれと2点で交わります。これらの4点のうち、2点は、それらの点に引いた半径が中心を結ぶ直線と等しい角度をなす場合、相同と呼ばれます。例えば、図4の点Q、Q'がそうです。相同中心に対して同一線上にあるものの相同ではない点は、反相同と呼ばれます。^[1]例えば、図4の点Q、P'がそうです。

反相同点のペアは円周上にある

同じ相同中心から出た 2 本の光線が円と交差する場合、反相同点の各集合は円上に位置します。

三角形△ EQS、 △ EQ'S'（図4）を考えてみましょう。Eは相似中心な ので、
これらは相似です 。この相似から、次の式が成り立ちます。円周角定理 より、 ∠ QSR'は∠ ESQの補角な ので、 四角形QSR'P' は円に内接 できます。正接定理から、次の式が成り立ちます。 同様 に、PRS'Q' は円に内接でき、 $${\displaystyle \angle QES=\angle Q'\!ES',\quad {\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}}={\frac {\overline {ES}}{\overline {ES'}}},}$$ $${\displaystyle \angle ESQ=\angle ES'\!Q'=\alpha .}$$ $${\displaystyle \angle EP'\!R'=\angle ES'\!Q'.}$$ $${\displaystyle \angle QSR'=180^{\circ }-\alpha .}$$ $${\displaystyle \angle QSR'+\angle QP'\!R'=180^{\circ }-\alpha +\alpha =180^{\circ },}$$ $${\displaystyle {\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}={\overline {ES}}\cdot {\overline {ER'}}.}$$ $${\displaystyle {\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {ER}}\cdot {\overline {ES'}}.}$$

内相中心Iについても同様に証明できる。 線分RQ'はPとS'から同じ角度で見られるため、R、P、S'、Q'は円周上にある。そして、交差弦定理から、 同様にQSP'R'は円周上に内接し、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\triangle PIR\cong \triangle P'\!IR'\\&\implies \angle RPI=\angle IP'\!R'=\alpha \\&\implies \angle RS'\!Q'=\angle PP'\!R'=\alpha \quad {\text{(inscribed angle theorem)}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\overline {IP}}\cdot {\overline {IQ'}}={\overline {IR}}\cdot {\overline {IS'}}.}$$ $${\displaystyle {\overline {IQ}}\cdot {\overline {IP'}}={\overline {IS}}\cdot {\overline {IR'}}.}$$

ラジカル軸との関係

2 つの円には根軸、つまり両方の円への接線の長さが等しい点の直線があります。より一般的には、根軸上のすべての点は、円に対するその累乗が等しいという特性があります。根軸は常に中心線に垂直で、2 つの円が交差する場合、それらの根軸はそれらの交点を結ぶ直線です。3 つの円については、円のペアごとに 1 つ ( C ₁ / C ₂、C ₁ / C ₃、C ₂ / C ₃ )、合計 3 つの根軸を定義できます。注目すべきことに、これら 3 つの根軸は根軸の中心という 1 つの点で交差します。根軸の中心から 3 つの円に引いた接線の長さはすべて等しくなります。

任意の 2 対の反対相同点を使用して、根軸上の点を見つけることができます。図 4 の外部相同中心Eから発する 2 本の放射線について考えます。これらの放射線は、最初の放射線についてはQ、P' 、2 番目の放射線についてはS、R'の 2 対の反対相同点で、2 つの与円 (図 4 の緑と青) と交差します。これらの 4 つの点は、両方の与円と交差する 1 つの円上にあります。定義により、直線QSは緑の与円との新しい円の根軸であり、直線P'R'は青の与円との新しい円の根軸です。これらの 2 本の直線は点Gで交差します。この点は、新しい円と 2 つの与円の根軸の中心です。したがって、点G は2 つの与円の根軸上にもあります。

接円と反相同点

二つの円の反相同点の各対に対して、与えられた円に接し、かつ反相同点でそれらの円に接する第三の円が存在する。
逆もまた真である。つまり、他の二つの円に接するすべての円は、反相同点の対でそれらの円に接する。

図5: 二つの与えられた円に接するすべての円は、二つの反対相同点で接する。

2 つの円の中心をO ₁、O ₂とします(図 5)。Eはそれらの外部相似中心です。 E から、 P、 Q、 P'、 Q' で 2 つの円と交差する任意の放射線を作成します。O 1 Q 、 O 2 P' を、 T 1 で交差するまで延長します。_三角形△ O 1 _PQ 、△ _O 2 P'Q '_は、相似性_により相似であることが簡単に証明されます。 また、 (半径) であるため、これらは二等辺三角形でもあります。 したがって、△ T ₁ P'Qも二等辺三角形であり、中心T ₁、半径 の 円を作成できます。この円は、点Q、 P' で 2 つの与えられた円に接します。 ${\displaystyle {\overline {O_{1}P}}={\overline {O_{1}Q}}}$ $${\displaystyle \angle O_{1}PQ=\angle O_{1}QP=\angle O_{2}P'\!Q'=\angle O_{2}Q'\!P'=\angle T_{1}QP'=\angle T_{1}P'\!Q.}$$ $${\displaystyle {\overline {T_{1}P'}}={\overline {T_{1}Q}}.}$$

他の反相同点のペア（ P、Q' ）の証明も、内部相同中心の場合と同様です。

図6: 外相似中心の接円族

図7: 内相似中心の接円族

あらゆる反相同点のペアに対して接円を描くと、相同中心ごとに1つずつ、2つの円族が得られます。外相同中心の円族では、すべての接円は両方の与円を含むか、全く含まないかのいずれかになります（図6）。一方、もう一方の族の円は、常に一方の与円のみを含みます（図7）。

図8: 接円の根軸は根心を通る

接線族に属するすべての円は共通の根心を持ち、それは相似中心と一致します。
これを示すために、相似中心から与えられた円と交差する2本の直線を考えます（図8）。2つの接円 T ₁、T ₂が存在し、これらは相似点において与えられた円と接します。既に示したように、これらの点は円C上にあり、したがって2本の直線はC / T ₁、C / T ₂の根軸です。したがって、2つの根軸の交点は、T ₁ / T ₂の根軸にも属している必要があります。この交点は相似中心Eです。

図 5 のように、2 つの接円が共線的な反対相同点のペアに接する場合、相似性により 、 2 つの接円に対するE のべき乗は等しくなり、 E が根軸に属することを意味します。 $${\displaystyle {\frac {\overline {EP}}{\overline {EP'}}}={\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}};\quad {\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}.}$$

3つの円の相似中心

任意の円のペアには相似中心が2つあります。したがって、3つの円には相似中心が6つあり、それぞれ異なる与円のペアごとに2つずつあります。注目すべきことに、これらの6点は4つの直線上にあり、各直線上には3つの点があります。これを示す方法の一つを以下に示します。

図9: 3つの円の配置では、3つの相似中心（円の各ペアに1つずつ）が1本の線上にあります。

3 つの円の平面(図 9)を考えます。それぞれの中心点を、対応する半径に等しい距離だけ平面に垂直にオフセットします。中心は、平面のどちら側にもオフセットできます。オフセットされた 3 つの点は、単一の平面を定義します。その平面で、各点のペアを通る 3 本の線を引きます。線は、点H _AB、 H _BC、 H _ACで円平面を貫通します。2つの異なる平行でない平面に共通する点の軌跡は直線であるため、必然的にこれら 3 つの点はそのような直線上にあります。三角形△ H _AB AA'、 △ H _AB BB'の相似性から 、 ( r _A、 r _Bは円の半径)、したがってH _ABは、実際に対応する 2 つの円の相似中心であることがわかります 。同じことがH _BCとH _ACについても行えます。$${\displaystyle {\frac {\overline {H\!_{AB}B}}{\overline {H\!_{AB}A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}}$$

図10: 3つの円の6つの相似中心（点）はすべて4本の線（太線）上にある

上記の手順を相似中心のさまざまな組み合わせ（この方法では、これは円の中心をオフセットする側によって決まります）に対して繰り返すと、合計 4 本の線（各線に 3 つの相似中心）が生成されます（図 10）。

これを証明するもう一つの方法がこれです。

図11：青い線は、2つの接円C ₁、C ₂（ピンク色）の根軸である。それぞれの与円のペアには、2つの接円の根軸に属する相似中心が存在する。根軸は直線であるため、3つの相似中心は同一線上にある。

C ₁、C _{2 を}、3つの与円すべてに接する共役な円のペアとします（図11）。共役とは、両方の接円が、与円のペアのいずれか1つに関して同じ族に属することを意味します。既に述べたように、同じ族に属する任意の2つの接円の根軸は、2つの与円の相似中心を通ります。3つの与円のペアすべてに接円が共通であるため、それらの相似中心はすべてC ₁、C ₂の根軸に属します。つまり、それらは単一の直線上にあります。

この性質は、ジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌによるアポロニウスの問題の一般解において利用されています。3つの円が与えられれば、相似中心が求められ、それによって2つの解円の根軸が求められます。もちろん、同じ根軸を持つ円は無限に存在するため、どの2つの円が解であるかを正確に特定するために、追加の作業が行われます。

参照

• 切片定理
• 類似性（幾何学）
• 相似変換
• 根軸、根中心
• アポロニウスの問題

参考文献

1. Weisstein, Eric W., 反相同点, MathWorld --A Wolfram Web Resource

• ジョンソンRA (1960). 『ユークリッド幾何学の高度化：三角形と円の幾何学に関する初等的論文』ニューヨーク：ドーバー出版.
• クンケル、ポール（2007）「アポロニウスの接線問題：3つの見方」（PDF）、BSHM紀要：英国数学史協会誌、22（1）：34–46、doi：10.1080/17498430601148911、S2CID  122408307