非均一場における重心

物体の重心

物理学において、物体の重心は、重力相互作用を簡潔に記述するために用いられる点です。均一な重力場においては、質量中心が重心として機能します。これは地表近くの小さな物体に対して非常に良い近似値であるため、工学や医学など、ほとんどの応用分野において「重心」と「質量中心」を区別する必要はほとんどありません。

非一様重力場では、位置エネルギー、力、トルクといった重力効果は、質量中心のみを用いて計算することはできません。特に、非一様重力場は、質量中心を通る軸を中心とする場合でも、物体にトルクを発生させる可能性があります。重心は、この効果を説明するために存在します。正式には、重心とは、物体に作用する重力の作用点です。そのような点は存在しない場合もあり、存在する場合でも、一意ではありません。さらに、重力場を平行対称または球対称として近似することで、一意の重心を定義することができます。

重心の概念は、質量中心とは区別して応用されることは少なく、非一様場が重要な天体力学においてさえも、ほとんど用いられません。重心は外部場に依存するため、その運動は質量中心の運動よりも決定が困難です。重力トルクを扱う一般的な方法は、場の理論です。

重心

物体の重心を定義する一つの方法は、物体に唯一存在する点として定義し、その点が以下の要件を満たすようにすることです。物体が置かれている力場におけるいかなる位置においても、その点の周囲に回転力は発生しません。この重心は力が均一である場合にのみ存在し、その場合、重心は質量中心と一致します。[1]このアプローチはアルキメデスにまで遡ります。[2]

フィールドの重心

物体が不均一な外部重力場の影響を受ける場合、その場に対する相対的な重心を定義することができ、その重心は重力が作用する点として作用する。『ファインマン物理学講義』などの教科書では、重心はトルクが作用しない点であると説明されている。言い換えれば、重心は合力の作用点である。[3]この定式化によれば、重心r cgは次の式を満たす点として定義される。

r c グラム × F ＝ τ 、 {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }\times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }},}

ここでFとτは重力によって物体に働く力とトルクの総和である。[4]

r cgに関する一つの複雑な点は、その定義式が一般には解けないことである。F と τ が直交しない場合、解は存在しない。重力は合力を持たず、どの点においても単一の力で置き換えることはできないからである。[5] Fとτ が直交することが保証される重要な特殊なケースもいくつかある。例えば、すべての力が単一平面上にある場合や、単一点に一直線になっている場合などである。[6]

方程式が解ける場合、別の問題が発生する。それは、その解が一意ではないということである。解は無限に存在する。すべての解の集合は力の作用線と呼ばれる。この作用線は重力Fに平行である。一般に、特定の点を唯一の重心として選ぶことはできない。[7]重力場が平行または球対称である場合など、特殊な場合には単一の点が選ばれることもある。これらの場合については以下で考察する。

平行フィールド

重力場における不均一性の一部は、可変だが平行な場、すなわちg ( r )= g ( r ) nでモデル化できる。ここでnは定数の単位ベクトルである。不均一な重力場は厳密に平行にはならないが、物体が十分に小さい場合にはこの近似は有効である。[8]重心は、物体を構成する粒子の位置の加重平均として定義できる。質量中心は各粒子の質量を平均するのに対し、重心は各粒子の重量を平均する。

r c グラム ＝ 1 W ∑ 私 わ 私 r 私 、 {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},}

ここで、wiはi番目の粒子の（スカラー）重量であり、 Wはすべての粒子の（スカラー）総重量である。[9]この式は常に唯一の解を持ち、平行場近似ではトルク要件と互換性がある。[10]

よくある例として、地球の磁場の中に月がある。加重平均の定義を用いると、月の重心は質量中心よりも低く（地球に近い）、これは月の下部が地球の重力の影響をより強く受けるためである。[11]この結果、月は常に同じ面を向くようになり、この現象は潮汐ロックと呼ばれる。

球対称フィールド

外部重力場が球対称である場合、それは対称中心rにおける質点Mの重力場と等価である。この場合、重心は、物体に作用する全力がニュートンの法則によって与えられる点として定義できる。

G メートル M （ r c グラム − r ） | r c グラム − r | 3 ＝ F 、 {\displaystyle {\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} |^{3}}}=\mathbf {F} ,}

ここで、Gは重力定数、mは物体の質量である。全力がゼロでない限り、この方程式は唯一の解を持ち、トルクの要件を満たす。[12]この定義の便利な点は、物体自体が球対称である場合、r cg がその質量中心に位置することである。一般に、 rと物体との距離が長くなるにつれて、重心は質量中心に近づく。[13]

この定義を別の視点から捉えるには、物体の重力場を考慮する必要がある。この場合、r cg は、 rに位置する観測者にとって見かけ上の重力源となる。このため、r cg は点rに対するM の重心と呼ばれることもある。[7]

使用法

上記で定義した重心は、物体上の固定点ではなく、物体の位置や向きの変化に応じて変化する。この特性により重心の扱いが難しくなり、この概念は実用性に乏しい。[14]

重力トルクを考慮する必要がある場合は、重力を質量中心に作用する力と、方向に依存するカップルとして表す方が簡単です。[15]後者は、重力ポテンシャルを場として扱うことで最もよく理解できます。[7]

注記

  1. ^ ミリカン 1902年、34～35ページ。
  2. ^ シャーリー＆フェアブリッジ 1997年、92ページ。
  3. ^ ファインマン、レイトン＆サンズ 1963、p.19-3; ティプラー＆モスカ 2004、pp.371-372; ポラード＆フレッチャー 2005; ローゼン＆ゴッサード 2009、pp.75-76; ピテル＆キウサラス 2010、pp.442-443。
  4. ^ ティプラー＆モスカ 2004、p. 371.
  5. ^ サイモン 1964年、233、260ページ
  6. ^ サイモン 1964年、233ページ
  7. ^ abc Symon 1964、260ページ
  8. ^ ビーティ 2006年、45頁。
  9. ^ Beatty 2006, p. 48; Jong & Rogers 1995, pp. 213.
  10. ^ ビーティ 2006年、47～48頁。
  11. ^ アシモフ、1988、p. 77;フラウツキら。 1986年、p. 269.
  12. ^ Symon 1964, 259–260頁; Goodman & Warner 2001, 117頁; Hamill 2009, 494–496頁。
  13. ^ サイモン 1964、260、263–264ページ
  14. ^ Symon 1964、260ページ; Goodman & Warner 2001、118ページ。
  15. ^ グッドマン＆ワーナー 2001、118ページ。

参考文献

  • アシモフ、アイザック（1988）[1966]、物理学の理解、バーンズ＆ノーブルブックス、ISBN 0-88029-251-2
  • ビーティー、ミラード F. (2006)、「工学力学の原理、第2巻：動力学—運動の解析」、科学と工学における数学的概念と方法、第33巻、シュプリンガー、ISBN 0-387-23704-6
  • ファインマン、リチャード、レイトン、ロバート・B、サンズ、マシュー（1963年）、ファインマン物理学講義、第1巻（第6刷、1977年2月版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-02010-6 {{citation}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
  • Frautschi, Steven C. ; Olenick, Richard P. ; Apostol, Tom M. ; Goodstein, David L. (1986)、『機械宇宙：力学と熱、上級版』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-30432-6
  • ゴールドスタイン、ハーバート；プール、チャールズ；サフコ、ジョン（2002）『古典力学』（第3版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-65702-3
  • グッドマン、ローレンス・E.; ワーナー、ウィリアム・H. (2001) [1964],スタティックス、ドーバー、ISBN 0-486-42005-1
  • ハミル、パトリック（2009）、中級ダイナミクス、ジョーンズ＆バートレットラーニング、ISBN 978-0-7637-5728-1
  • Jong, IG; Rogers, BG (1995)、工学力学：静力学、Saunders College Publishing、ISBN 0-03-026309-3
  • ミリカン、ロバート・アンドリュース（1902年）、力学、分子物理学、熱：12週間の大学講座、シカゴ：スコット・フォレスマン・アンド・カンパニー、 2011年5月25日閲覧。
  • ポラード、デイビッド・D.; フレッチャー、レイモンド・C. (2005) 『構造地質学の基礎』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83927-3
  • Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010),工学力学：静力学、第1巻（第3版）、Cengage Learning、ISBN 978-0-495-29559-4
  • ローゼン、ジョー; ゴッサード、リサ・クイン (2009) 『物理科学百科事典』 Infobase Publishing, ISBN 978-0-8160-7011-4
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), 『物理学の原理：微積分ベースのテキスト』第1巻（第4版）、Thomson Learning、Bibcode :2006ppcb.book.....J、ISBN 0-534-49143-X
  • シャーリー、ジェームズ・H.; フェアブリッジ、ローズ・ホイットモア (1997) 『惑星科学百科事典』、シュプリンガー、ISBN 0-412-06951-2
  • デ・シルバ、クラレンス・W.（2002）、振動と衝撃ハンドブック、CRCプレス、ISBN 978-0-8493-1580-0
  • サイモン、キース・R（1964）『力学』、アディソン・ウェズリー出版、OCLC  1080783137
    • サイモン、キース・R.（1971）、力学、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-07392-8
  • ティプラー、ポール・A.; モスカ、ジーン（2004年）『科学者とエンジニアのための物理学』第1A巻（第5版）、WHフリーマン・アンド・カンパニー、ISBN 0-7167-0900-7
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