中心製品

数学、特に群論の分野において、中心積は2つの小群から1つの群を生成する方法の一つです。中心積は直積に似ていますが、中心積では、小群の2つの同型中心部分群が、積の中心部分群の1つに統合されます。中心積は重要な構成であり、例えば特殊群の分類に用いられます。

意味

中心積には、関連性はあるものの異なる概念が複数存在します。直積と同様に、中心積にも内部特性と外部特性があり、さらに因子の交差をどの程度厳密に制御するかについてもバリエーションがあります。

群Gは、 2つの部分群H、Kの内部中心積である場合、

1. GはHとKによって生成されます。
2. Hのすべての要素はKのすべての要素と可換である。( Gorenstein 1980、p. 29)

時には、( Leedham-Green & McKay 2002 , p. 32)のように、中心と正確に等しいというより厳しい条件が課される。この場合、部分群HとKはGの中心因子と呼ばれる。 ${\displaystyle H\cap K}$

外積中心積は、 2つの群HとK、2つの部分群と、および群同型から構成される。外積中心積は、直積を正規部分群で 割った商である。${\displaystyle H_{1}\leq Z(H)}$ ${\displaystyle K_{1}\leq Z(K)}$ ${\displaystyle \theta \colon H_{1}\to K_{1}}$ ${\displaystyle H\times K}$

${\displaystyle N=\{(h,k):h\in H_{1},k\in K_{1},{\text{ および }}\theta (h)\cdot k=1\}}$ 、

( Gorenstein 1980 , p. 29)。時には、( Leedham-Green & McKay 2002 , p. 32)のように、 H ₁ = Z( H )かつK ₁ = Z( K )というより厳しい条件が課されることもある。

内部中心積は、 H ₁ = K ₁ = H ∩ Kかつθを恒等関数とする外部中心積と同型である。外部中心積は、商群におけるH × 1 と 1 × Kの像の内部中心積である。これは、( Gorenstein 1980 , p. 29) および ( Leedham-Green & McKay 2002 , pp. 32–33) の各定義について示されている。${\displaystyle (H\times K)/N}$

外積中心積は一般にその因子HとKのみによって決定されないことに注意されたい。外積中心積の同型型は同型θに依存する。しかし、例えばHとKがともに有限な特殊群であり、かつ とである場合など、いくつかの注目すべき状況では同型型は明確に定義される。 ${\displaystyle H_{1}=Z(H)}$ ${\displaystyle K_{1}=Z(K)}$

例

• パウリ群は巡回群 と二面体群の中心積です。${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle D_{4}}$
• すべての特別群は、位数p ³の特別群の中心積です。
• 有限群の層、すなわちすべての非正規準単純部分群によって生成される部分群は、ゴレンシュタインの意味で準単純群の中心積である。

アプリケーション

中心積の表現論は直積の表現論と非常に似ているため、よく理解されています（Gorenstein 1980、Ch. 3.7）。

中心積は、多くの構造的補題に現れます。例えば、( Gorenstein 1980、p. 350、補題 10.5.5) は、固定点のない自己同型のクラインの4 群を許容する有限群は解けるというGeorge Glaubermanの結果に使用されています。

リー加群（およびその他の関連構造）のテンソル積の特定のコンテキストでは、自己同型群には各因子の自己同型群の中心積が含まれます（Aranda-Orna 2022、4）。 ${\displaystyle \S}$

参考文献

• ゴレンスタイン、ダニエル（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR  0569209
• リーダム・グリーン、CR；マッケイ、スーザン（2002）「素数冪位群の構造」、ロンドン数学会モノグラフ新シリーズ第27巻、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853548-5、MR  1918951
• アランダ・オルナ、ディエゴ（2022）「一般化ジョルダン超対に対するフォークナー構成について」『線形代数とその応用』第646巻、  1～ 28頁