ユークリッド空間における等長群の不動点

等長群の不動点とは、群内の任意の等長変換に対して不動点となる点である。ユークリッド空間内の任意の等長変換群に対して、不動点の集合は空かアフィン空間のいずれかである。

オブジェクトの場合、任意の一意の中心、およびより一般的には、オブジェクトに関して一意の特性を持つ任意の点は、その対称群の不動点です。

特に、図形の重心が存在する場合、これは重心に当てはまります。物理的な物体の場合、対称性において形状だけでなく密度も考慮に入れると、重心にも当てはまります。

ある物体の対称群の不動点集合が単独の物体である場合、その物体は特定の対称中心を持つ。重心と質量中心が定義されている場合、この点が対称中心となる。「対称中心」の別の意味は、反転対称性が適用される点である。このような点は必ずしも一意である必要はない。一意でない場合は並進対称性が存在するため、このような点は無限に存在する。一方、例えばC _3h対称やD ₂対称の場合、第一の意味で対称中心は存在するが、反転対称性は存在しない。

オブジェクトの対称グループに固定点がない場合、オブジェクトは無限であり、その重心と質量の中心は定義されません。

オブジェクトの対称グループの固定点の集合が直線または平面である場合、オブジェクトの重心と質量中心（定義されている場合）およびオブジェクトに関して固有のプロパティを持つその他の点は、この直線または平面上にあります。

1D

ライン: 自明な等長変換群のみが直線全体を固定したままにします。

ポイント: 反射によって生成されたグループは、点を固定したままにします。

2D

飛行機: 自明な等長変換群C ₁のみが平面全体を固定したままにします。

ライン: 任意の直線に対するC _{s は、その直線を固定したままにします。}

ポイント: 2 次元の点群では、任意の点に関してその点が固定されます。

3D

空間: 自明な等長変換群C ₁のみが空間全体を固定したままにします。

飛行機: 平面に対するC _{s は、その平面を固定したままにします。}

ライン

直線を固定した等長投影群は、その直線に垂直なすべての平面において、直線と平面の交点に関して 2 次元で共通の 2D 点群を持つ等長投影群です。

C _n ( n > 1 ) とC _nv ( n > 1 )
軸に垂直な平面における鏡映対称性のない円筒対称性
対称群が円筒対称群の無限部分集合である場合

ポイント: 3次元における他のすべての点群

固定点なし: 等長変換グループには、変換またはねじ操作が含まれます。

任意次元

ポイント: あらゆる次元に適用される等長群の一例としては、点における反転によって生成される群が挙げられる。n次元平行六面体は、このような反転に対して不変な物体の例である。

参考文献

Slavik V. Jablan, Symmetry, Ornament and Modularity , Volume 30 of K & E Series on Knots and Everything, World Scientific, 2002. ISBN 9812380809