シャバウティ位相幾何学

数学において、シャボーティ位相とは、1950年にクロード・シャボーティによって導入された、局所コンパクト群Gの閉部分群全体の集合上の位相構造である。これは、 Gの閉部分集合全体のフェル位相やハウスドルフ距離と密接に関連している。

直感的に言えば、 Gの2つの閉部分群がシャボーティ位相において近いとは、Gの任意のコンパクト部分集合内において、一方の部分群のすべての点が他方の部分群のいずれかの点に近く、その逆も成り立つことを意味する。例えば、G が正の実数列である場合、加法群の格子列は 次のように収束する。 ${\displaystyle (\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \alpha _{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \alpha \mathbb {Z} }$ の場合、${\displaystyle \alpha _{n}\to \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ もし、${\displaystyle \alpha _{n}\to 0}$
• の場合の自明部分群。${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}\to \infty }$

Chabauty の当初の動機は、 における格子の極限群を研究することでした。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

意味

まず、 Gの閉部分集合全体の成す集合上の位相を定義する。これは、 Gの任意の閉部分集合Xに対する近傍基底を定義することによって与えられる。近傍基底の元は次のように与えられる。

${\displaystyle V(X;C,U)=\{Y\subset G{\text{ closed }}\mid Y\cap C\subseteq UX{\text{ and }}X\cap C\subseteq UY\},}$

ここで、CはGの任意のコンパクト部分集合、Uは単位元Uの任意の開近傍である。この近傍基底によって決定される位相はフェル位相と同じであり、Gの閉部分群全体の集合はこの位相の閉部分集合である。継承された位相はシャバウティ位相と呼ばれ、この位相を持つものはシャバウティ空間と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathrm {Subgp} (G)}$ ${\displaystyle \mathrm {Subgp} (G)}$

例

群のシャボーティ空間は、写像を介して 閉区間に同相である。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

${\displaystyle \alpha \mapsto {\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{if }}\alpha =0,\\\alpha \mathbb {Z} ,&{\text{if }}0<\alpha <\infty ,\\\{0\},&{\text{if }}\alpha =\infty .\end{cases}}}$

のシャボーティ空間は4次元球面に同相である。^[1]の シャボーティ空間はより複雑になる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>2}$

他のトポロジとの関係

シャバウティ位相の定義は、 Gのすべての閉部分集合の集合上の均一な構造を定義するために使用できる。^[2] すなわち、集合 ${\displaystyle \mathrm {{\mathcal {F}}(G)} }$

${\displaystyle {\mathcal {V}}(C,U)=\{(X,Y)\in {\mathcal {F}}(G)^{2}\mid X\cap C\subseteq UY{\text{ and }}Y\cap C\subseteq UX\},}$ の側近集合を定義する。ここで、CとU はそれぞれGのコンパクト部分集合と恒等式の開近傍上で変化する。この一様構造の誘導位相はシャボーティ位相である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(G)}$

Gの位相がまず可算ならば、G は位相を誘導する左不変計量を与えられる。この場合、一連の閉部分群がシャボーティ位相に収束することと、それらの任意のコンパクト部分集合との交点がハウスドルフ距離に関して収束することは、必要十分条件である。

参考文献

1. Hubbard, J.; Pourezza`, I. (1979). 「閉部分群の空間」.トポロジー. 18 (2): 143--146.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
2. ブルバキ, ニコラス (2007). 『数学の要素』 積分, 第7章と第8章. ベルリン: シュプリンガー. ISBN 978-3-540-35324-9。

• クロード・シャボーティ『アンサンブルと貴族の限界』。 Bulletin de la Société Mathématique de France、78 (1950)、p. 143–151

• ブルバキ、ニコラス (2007)。数学の要素。統合。第 7 章と第 8 章。1963 年のオリジナルの再版。 (数学の要素。統合。第 7 章と第 8 章)。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-3-540-35324-9。