指輪の交換

代数学において、環の変更とは係数環を別の係数環に変更する操作です。

建設

環準同型 が与えられたとき、加群の係数環を変更する方法は3つある。すなわち、右R加群Mと右S加群Nに対して、 ${\displaystyle f:R\to S}$

• ${\displaystyle f_{!}M=M\otimes _{R}S}$ スカラーの拡張によって形成される誘導モジュール、
• ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)}$ スカラーの共拡張によって形成される共誘導モジュール、および
• ${\displaystyle f^{*}N=N_{R}}$ スカラーの制限によって形成されます。

これらは随伴関数として関連している:

${\displaystyle f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*}}$

そして

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}$

これはシャピロの補題に関連しています。

オペレーション

スカラーの制限

この節では、と を二つの環（可換環であってもなくてもよく、恒等環を含んでもよい）とし、 を準同型環とする。スカラー制限は、S -加群をR -加群に変換する。代数幾何学において、「スカラー制限」という用語はしばしばヴェイユ制限の同義語として用いられる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$

意味

が上の加群であるとする。すると は 上の加群とみなすことができ、の作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

ここで、 は-module 構造によって定義された に対する作用を表す。^{[ 1 ]}${\displaystyle m\cdot f(r)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

関数としての解釈

スカラーの制約は、 -加群から-加群への関数として見ることができる。-準同型は、自動的にとの制約間の -準同型になる。実際、とならば、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$ 。

関数として、スカラーの制限はスカラーの拡張関数の 右随伴です。

が整数環である場合、これは単にモジュールからアーベル群への 忘却関数です。${\displaystyle R}$

スカラーの拡張

スカラーの拡張により、RモジュールがSモジュールに変更されます。

意味

を2つの環の間の準同型とし、を 上の加群とします。テンソル積 を考えます。ここで、は を介し​​て左-加群とみなされます。はそれ自身上の右加群でもあり、2つの作用は可換であるため、に対してとなります（より正式な言葉で言えば、は-双加群です）。は に対してとなります。これは に対して で与えられます。この加群は、スカラー の拡張を通じてから得られると言えます。 ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle M}$

非公式には、スカラーの拡張は「環と加群のテンソル積」です。より正式には、双加群と加群のテンソル積の特殊なケースです。つまり、R加群と双加群のテンソル積はS加群です。 ${\displaystyle (R,S)}$

例

最も単純な例の一つは複素化であり、これは実数から複素数へのスカラーの拡張である。より一般的には、任意の体拡張K  <  Lが与えられれば、KからLへスカラーを拡張することができる。体の言語では、体上の加群はベクトル空間と呼ばれ、したがってスカラーの拡張はK上のベクトル空間をL上のベクトル空間に変換する。これは四元数化（実数から四元数への拡張）と同様に、除算代数に対しても行うことができる。

より一般的には、体または可換環Rから環Sへの準同型写像が与えられたとき、環S はR上の結合代数として考えることができる。したがって、 R加群にスカラーを拡張すると、結果として得られる加群はS加群、あるいはSの代数表現（R代数として）を持つR加群として考えることができる。例えば、実ベクトル空間（R = R、S = C）を複素化した結果は、複素ベクトル空間（S加群）として解釈することも、線型複素構造を持つ実ベクトル空間（R加群としてのSの代数表現）として解釈することもできる。

アプリケーション

この一般化は、体の研究にも有用である。特に、体に関連付けられた多くの代数的対象は、体そのものではなく、体上の環、例えば表現論における体上の代数などである。ベクトル空間にスカラーを拡張できるのと同様に、群代数や群代数上の加群、すなわち群表現にスカラーを拡張することもできる。特に有用なのは、スカラーの拡張によって既約表現がどのように変化するかと関連付けることです。たとえば、平面を 90° 回転して与えられる、位数 4 の巡回群の表現は既約な 2 次元実表現ですが、スカラーを複素数に拡張すると、次元 1 の 2 つの複素表現に分割されます。これは、この演算子の特性多項式が実数上では次数 2 で既約であるが、複素数上では次数 1 の 2 つの因数に因数分解されるという事実に対応しています。つまり、実固有値はありませんが、複素固有値が 2 つあります。 ${\displaystyle x^{2}+1,}$

関数としての解釈

スカラーの拡張は、 -加群から -加群への関手として解釈できる。これは、上記のようにを に送り、によって定義される-準同型に-準同型を送る。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$ ${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$

スカラーの拡張とスカラーの制限の関係

-加群と -加群を考える。準同型が与えられたとき、合成を と定義する。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle Fu:M^{S}\to N}$

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$ 、

ここで最後の写像は である。これは-準同型写像であり、したがって は明確に定義されており、 は（アーベル群の）準同型写像である。 ${\displaystyle n\otimes s\mapsto n\cdot s}$ ${\displaystyle ふ}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F:{\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$

とが恒等写像を持つ場合、逆準同型写像 が存在し、これは以下のように定義される。 とする。すると、は合成である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G:{\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle Gv}$

${\displaystyle M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$ 、

ここで、最初の写像は標準同型写像 です。 ${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$

この構成により、集合と の間に一対一の対応が確立されます。実際には、この対応は の準同型性 のみに依存するため、関数的です。圏論の言語では、スカラー関数の拡張はスカラー関数の制限の 左随伴です。${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle f}$

参照

• スキームのファイバー積 § 基底の変化と下降
• 6つの操作
• 体のテンソル積
• テンソル-ホム付加

参考文献

• ダミット, デイビッド (2004).抽象代数学. フート, リチャード M. (第3版). ホーボーケン, ニュージャージー: ワイリー. pp.  359–377 . ISBN 0471452343. OCLC  248917264 .
• J. ピーター メイ, Tor と Ext に関するノート
• ニコラ・ブルバキ『代数学 I』第2章 線型代数§5. スカラー環の拡張、§7. ベクトル空間。1974年、ヘルマン著。

さらに読む

• 表現の帰納と共帰納

1. ダミット 2004、359ページ。