チャプリギンの定理と常微分方程式の解法

概要

微分方程式の数学理論において、チャプリギンの定理は、一階の陽な常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性について述べています。この定理は、セルゲイ・チャプリギンによって1919年に提唱されました。^{[ 1 ]}これは多くの比較定理の一つです。チャプリギン法は、彼の定理の基準に適合する常微分方程式を解く方法です。

チャプリギンの定理

チャプリギンの定理は、微分不等式と特定の特性をどのように使用できるかに焦点を当てています。

微分不等式 を使おう。 ${\displaystyle L[y]\equiv y^{m}+a_{1}(x)y^{m-1}+\cdots +a_{m}(x)y>f(x)}$

すべてのと が閉区間 [x ₀ ,x ₁ ] 上で和算可能であると仮定する。すると、と独立な が存在し、 となる。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{*}\in (x_{0},x_{1}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y(x)>z(x),x_{0} <x\leq x^{*}}$

条件は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\ L[z]=f(x)\\\ z(x_{0})=y(x_{0})\cdots z^{n-1}(x_{0})\\\ x^{*}=max\{x\in [x_{0},x_{1}]:\forall \phi \in [x_{0},x],\forall h\in [\phi ,x]\Rightarrow G(h;\phi )\geq 0\}\\\end{aligned}}}$ 。

この場合、は対応するコーシー関数、つまり方程式 の解であり、初期条件 を満たします。 ${\displaystyle G(x;\phi )}$ ${\displaystyle L[G]=0,\phi \leq x\leq x_{1}}$ ${\displaystyle G_{x=\phi}=\cdots =G_{x=\phi}^{m-2}=0,G_{x=\phi}^{m-1}=1}$

したがって、m = 1とすると、不等式はx ^* =x ₁となります。 ${\displaystyle y''-y>f(x)}$

もう一つの不等式は となります。 ${\displaystyle y''+y>f(x)}$ ${\displaystyle x^{*}=min\{x_{1},x_{0}+\pi \}}$

次のような同様の記述もあります。

1) 弱い不等式の場合

2)と比較すると 、${\displaystyle y^{k}(x)}$ ${\displaystyle z^{k}(x)}$ ${\displaystyle k=1...(m-1)}$

3) 初期条件が次の形式である場合、 ${\displaystyle y(x_{0})\geq z(x_{0})\cdots y^{n-1}(x_{0})\geq z^{n-1}(x_{0})}$

4)の不等式の解。 ${\displaystyle (^{*})}$ ${\displaystyle x<x_{0}}$

チャプリギン法

1次の単一方程式の 初期値コーシー問題を考えてみましょう。

${\displaystyle y'=f(x,y),(x,y)\in R,y(x_{0})=y_{0},R=\{(x,y):|x-x_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b}$ （1）チャプリギンの反復近似法をここで適用することができる。微分方程式が前述のチャプリギンの定理を満たすことを確認した後、彼の方法を適用することができる。

y(x)を初期値コーシー問題の解とする。

仮定する：

1) 曲線と は長方形の内側に完全に収まります。 ${\displaystyle y=u(x)}$ ${\displaystyle y=v(x)}$ ${\displaystyle R}$

2) ポイントを通過する${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

3) は不等式を満たします。 ${\displaystyle x>x_{0}}$ ${\displaystyle u'(x)-f(x,u(x))<0,v'(x)-f(x,v(x))>0}$

仮定が満たされる場合、 に対して次の不等式が成り立ちます: ( 2 )。 ${\displaystyle x>x_{0}}$ ${\displaystyle u_{0}(x)<y(x)<v_{0}(x)}$

最初の近似値を見つけた後、チャプリギン法では、2番目のより近い近似値を見つけることができる：（3）。 ${\displaystyle u_{0}(x)<u_{1}(x)<y(x)<v_{1}(x)<v_{0}(x)}$

全体にわたってが固定符号 (または)の場合を考えます。 ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}}$ ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}>0}$ ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}<0}$ ${\displaystyle R}$

すると、初期条件を持つペア は、一対の線形微分方程式の解として得られます。 ${\displaystyle u_{1}(x),v_{1}(x)}$ ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$

のときを考えてみましょう。すると、任意の平面 x=定数 が曲面 と交差するとき、交差部分の曲線は下から凸状になります。その結果、その曲線の任意の弧は弦の下にあり、その任意の点を通る 接線の上にあります。${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}>0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$

ここで、平面 x = 定数と点における曲線の交点の接線の方程式が、交点の曲線と弦の 2 つの部分を持っていると仮定します。 ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle y=u_{0}(x)}$

1) 交差する曲線は （）で与えられます。 ${\displaystyle z=k(x)y+p(x)}$ ${\displaystyle k(x)=f_{y}'(x,u_{0}(x)),P(x)=f(x,u_{0}(x))-u_{0}(x)k(x)}$

2) 同じ曲線の弦の方程式は、点を通り 、${\displaystyle y=u_{0}(x)}$ ${\displaystyle y=v_{0}(x)}$

${\displaystyle z=l(x)y+q(x)}$ 、 どこ。 ${\displaystyle l(x)={\frac {f(x,v_{0}(x))-f(x,u_{0}(x))}{v_{0}(x)-u_{0}(x)}},q(x)=f(x,u_{0}(x))-u_{0}(x)l(x)}$

すると、xのその値に対して不等式( 4 )が成り立つ。 ${\displaystyle k(x)y+p(x)<f(x,y)<l(x)y+q(x)}$

条件(4)はxに対して一貫して満たされる。 ${\displaystyle R}$

2 つの初期値コーシー問題に対して発見された 2 つの解を観察します。

1)初期値コーシー問題の解、および ${\displaystyle y=u_{1}(x)}$ ${\displaystyle y'=k(x)y+q(x),y(x_{0})=y_{0}}$

2)初期値コーシー問題の解。 ${\displaystyle y=v_{1}(x)}$ ${\displaystyle y'=l(x)y+p(x),y(x_{0})=y_{0}}$

これら両方の解は式(2)と式(3)の不等式条件を満たしています。

ペアを見つけた後、同じ方法を適用してより近いペアを見つけるなど、これを繰り返していきます。 ${\displaystyle u_{1}(x),v_{1}(x)}$ ${\displaystyle u_{2}(x),v_{2}(x)}$

反復近似のプロセスは非常に速く収束します: ( 5 )、ここで定数cはxとnに依存しません。 ${\displaystyle v_{n}-u_{n}\leq {\frac {c}{2^{2^{n}}}}}$

既知の近似値からより近い近似値を構築する 2 番目の方法もあります。 ${\displaystyle u_{n}(x),v_{n}(x)}$ ${\displaystyle u_{n-1}(x),v_{n-1}(x)}$

この方法では、 の符号を で固定する必要はありません。 ${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}}$ ${\displaystyle R}$

この方法では：

${\displaystyle u_{n}(x)=u_{n-1}(x)+\int _{x_{0}}^{x}e^{-k(x-t)}[f(t,u_{n-1}(t))-u_{n-1}'(t)]dt}$

${\displaystyle v_{n}(x)=v_{n-1}(x)+\int _{x_{0}}^{x}e^{-k(x-t)}[v_{n-1}'(t)-f(t,v_{n-1}(t))]dt}$ ここで、kはのLipschitz 定数です。 ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle R}$

この場合、およびのペアはすべてのxに対して不等式条件(3)も満たします。 ${\displaystyle u_{n}(x),v_{n}(x)}$ ${\displaystyle u_{n-1}(x),v_{n-1}(x)}$

しかし、収束速度は(5)で示される値よりも低くなります。そのため、2番目の方法はより簡潔な式を持つものの、1番目の方法と同等の正確な結果を得るには、より多くの近似反復が必要になります。

チャプリギン法の主な難しさは、初期近似値の構築にあります。 ${\displaystyle u_{0}(x),v_{0}(x)}$

ここで使えるちょっとしたリマインダーは、の凹面性を調べることです。2つの状況があります。 ${\displaystyle y'}$

1)が上向きに凹んでいる（凸になっている）場合：下限近似は接線、または のテイラー展開の最初の項で表すことができます。上限近似は、割線 を求めることで得られます。 ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$

2)が下向きに凹んでいる場合：下限近似は割線で表すことができます。上限近似は接線またはテイラー級数の初項で表すことができます。 ${\displaystyle y'}$

本質的には、近似の基礎は接線と割線、およびテイラー級数展開に関するものです。

定義

初期値問題を考える：微分方程式

${\displaystyle y'\left(t\right)=f\left(t,y\left(t\right)\right)}$ で、${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle \alpha >t_{0}}$

初期条件付き

${\displaystyle y\left(t_{0}\right)=y_{0}}$ 。

上記の初期値問題では、上限境界解と下限境界解はそれぞれ関数とであり、どちらも では滑らかででは連続であるため、次の不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\overline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle t\in \left(t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$

1. ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t_{0}\right)<y\left(t_{0}\right)<{\overline {z}}\left(t_{0}\right)}$ ;
2. ${\displaystyle {\underline {z}}'\left(t\right)<f(t,{\underline {z}}\left(t\right))}$ そして のために。${\displaystyle {\overline {z}}\ '\left(t\right)>f(t,{\overline {z}}\left(t\right))}$ ${\displaystyle t\in \left(t_{0};\alpha \right]}$

声明

出典: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

前述の初期値問題と、それぞれの上限解 と下限解が与えられている。右辺${\displaystyle {\overline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle f\left(t,y\left(t\right)\right)}$

1. は、において連続です。${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle y\left(t\right)\in \left[{\underline {z}}\left(t\right);{\overline {z}}\left(t\right)\right]}$
2. 関数 と の間の変数に対するリプシッツ条件を満たす。任意の、に対して、不等式${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\overline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle y_{1}\left(t\right)\in \left[{\underline {z}}\left(t\right);{\overline {z}}\left(t\right)\right]}$ ${\displaystyle y_{2}\left(t\right)\in \left[{\underline {z}}\left(t\right);{\overline {z}}\left(t\right)\right]}$

${\displaystyle \left\vert f\left(t,y_{1}\left(t\right)\right)-f\left(t,y_{2}\left(t\right)\right)\right\vert \leq K\left\vert y_{1}\left(t\right)-y_{2}\left(t\right)\right\vert }$ 保持、

すると、与えられた初期値問題には唯一の解が存在し、さらにすべての${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle y\left(t\right)}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$

${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)<y\left(t\right)<{\overline {z}}\left(t\right)}$ 。

備考

不平等の緩和

上限解と下限解の両方の定義における不等式の内部の符号は（すべて一度に）非厳密な符号に変更することができます。その結果、チャプリギンの定理のコンカッションにおける不等式は、それぞれと によって非厳密な符号に変更されます。特に、 、 のいずれでも選択できます。 ${\displaystyle {\overline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}\left(t\right)=y\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)=y\left(t\right)}$

不等式のみを証明する

が における初期値問題に対する実在解であることが既に分かっている場合、結果として得られる不等式の証明においてリプシッツ条件の要件は完全に省略できる。この手法は、解が安定であるかどうかを研究する際に応用されている（^{[ 2 ] 7–9頁）。これは文献[ 4 ] [ 5 ]}ではしばしば「微分不等式法」と呼ばれ、例えばグロンヴァルの不等式はこの手法を用いて証明できる。^{[ 5 ]}${\displaystyle y\left(t\right)}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$

正の無限大への解の継続

チャプリギンの定理は、における解の存在と一意性、およびリプシッツ条件からの定数は、一般的に に依存する： 。関数とが両方とも滑らかさを維持し、集合 が有界である場合、この定理はすべての に対して成立します。 ${\displaystyle t\in \left[t_{0};\alpha \right]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K=K\left(\alpha \right)}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};+\infty \right)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\underline {z}}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \alpha \in \left(t_{0};+\infty \right)}$ ${\displaystyle \left\{K\left(\alpha \right)\right\}}$ ${\displaystyle t\in \left[t_{0};+\infty \right)}$

チャプリギン法の適用例

与えられたもの: 、、近似値の最初の 2 回の反復を見つけます。 ${\displaystyle y'(x)=e^{x^{2}}}$ ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$

${\displaystyle Let:f(x,y)=e^{x^{2}}}$ そして、fはxのみに依存するため、L(x)、M(x)、f(x)の3つの方程式もすべてxに依存します。 ${\displaystyle x\in [0,X]}$

となるようなL(x)とM(x)を見つける必要があります。 ${\displaystyle L(x)\leq f(x)\leq M(x)}$

ととします。したがって、 次のようになります。${\displaystyle u_{n}'(x)=L_{n}(x)}$ ${\displaystyle v_{n}'(x)=M_{n}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'(x)\leq \cdots \leq u_{n}'(x)\leq f(x)\leq v_{n}'(x)\leq \cdots \leq v_{1}'(x)\\\\u_{1}(x)\leq \cdots \leq u_{n}(x)\leq y(x)\leq v_{n}(x)\leq \cdots \leq v_{1}(x)\end{aligned}}}$ そして。 ${\displaystyle u_{1}(x_{0})=y_{0},v_{1}(x_{0})=y_{0}}$

一般的に。 ${\displaystyle L_{1}(x)\leq L_{2}(x)\leq {...}\leq L_{n}(x)\leq f(x)\leq M_{n}(x)\leq {...}\leq M_{2}(x)\leq M_{1}(x)}$

1次近似値を求める:

_{L 1} (x)を求めるには、 のテイラー展開を参照します。 ${\displaystyle e^{x^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$

なので、展開の最初の項を取ります。つまり、L ₁ (x)=1とします。 ${\displaystyle x\geq 0}$

_{M 1} (x)を求めるには、境界値を調べる必要があります。 なので、境界値の最大値を取ることができます。これにより、 M ₁ (x) = となります。 ${\displaystyle x\in [0,X]}$ ${\displaystyle e^{X^{2}}}$

ここで、最初の 2 つのソリューションを解決します。

最初の解はです。したがって、です。したがって、 です。 ${\displaystyle L_{1}(x)=u_{1}'(x)=1}$ ${\displaystyle \int du_{1}(x)=\int 1dx}$ ${\displaystyle u_{1}(x)=x+C_{L1}}$

初期条件を適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle u_{1}(x)=x+(y_{0}-x_{0})}$

2 番目の解は です。したがって、です。したがって、 です。 ${\displaystyle M_{1}(x)=v_{1}'(x)=e^{X^{2}}}$ ${\displaystyle \int dv_{1}(x)=\int e^{X^{2}}dx}$ ${\displaystyle v_{1}(x)=xe^{X^{2}}+C_{M1}}$

初期条件を適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle v_{1}(x)=xe^{X^{2}}+(y_{0}-x_{0}e^{X^{2}})}$

したがって、近似の最初の反復の結果は次のようになります。 ${\displaystyle [x+(y_{0}-x_{0})]\leq y(x)\leq [xe^{X^{2}}+(y_{0}-x_{0}e^{X^{2}})]}$

図1: これは、y(0)=1 のときの e^(x^2) の積分の近似の最初の反復の下限と上限の近似の例です。

2番目の近似値を求める:

_{L 2} (x)を求めるには、再びのテイラー級数を参照します。展開の最初の2項を取ります。 ${\displaystyle e^{x^{2}}}$

つまり、。これは、 という理由から有効な近似値です。 ${\displaystyle L_{2}(x)=1+x}$ ${\displaystyle e^{x^{2}}\geq 1+x^{2}\geq 1}$

下限近似を一般化することができます。 と定義し、T _n (x) を n^次テイラー展開とします。 となります。したがって、下限は次のように一般化できます。 ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{2i}}{i!}}}$ ${\displaystyle L_{n+1}(x)=T_{n}(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}T_{0}(t)dt\leq \int _{0}^{x}T_{1}(t)dt\leq ...\leq \int _{0}^{x}T_{n-1}(t)dt\leq y(x)}$ 。

この時点で、方法セクションに記載されているチャプリギン積分を使用する時が来ました。リプシッツ定数を決定し、すべての値を積分公式に正しく代入する必要があります。こうして、微分方程式の近似値が得られます。

参考文献

1. ボゴルボフ、アレクセイ (1983)。Математики。 Механики。 Биографический справочник [数学者。力学。伝記ハンドブック。 ] (ロシア語) (第 1 版)。キエフ、ウクライナ: Киев: Наукова думка。ページ 515–516。ISBN​​ 978-5-906923-56-1。
2. ヴァシリエワ、アデライダ (2007)。「Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина」 [比較定理。チャプリギンの微分不等式法。] (PDF)。Кафедра математики физического факультета МГУ (ロシア語)。4～ 5ページ 。2024 年 8 月 28 日に取得。
3. ネフェドフ、ニコライ (2019-06-09)。"Дифференциальные уравнения -- Лекции" [微分方程式 -- 講義] (PDF)。ティーチイン(ロシア語) 。2024 年 8 月 28 日に取得。
4. ネフェドフ、ニコライ (2016)。「Обыкновенные дифференциальные уравнения. Курс лекций」 [普通の微分方程式。レクチャーシリーズ。] (PDF)。Кафедра математики физического факультета МГУ (ロシア語)。 p. 60 ．2024-08-30に取得。
5. ヘイル、ジャック (1980).常微分方程式. 純粋数学と応用数学（第2版）. マラバール、フロリダ州: クリーガー. pp.  30– 37. ISBN 978-0-89874-011-0。

さらに読む

• コムレンコ、ユーリー (1967-09-01). 「遅れ引数を持つ2階線形微分方程式に対するチャプリギンの定理」 .ソ連科学アカデミー数学ノート. 2 (3): 666– 669. doi : 10.1007/BF01094057 . ISSN  1573-8876 .