特性（代数）

数学において、環Rの標数（しばしばchar( R )と表記される）は、環の乗法単位元( 1 )の最小の正の数で、その和が加法単位元( 0 ) となる数と定義される。そのような数が存在しないとき、環は標数 0 を持つと言われる。

つまり、char( R )は、次の式を満たす最小の正の数nである。 ^{[ 1 ] (p 198, Thm. 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ 加数}}}=0}$

そのような数n が存在する場合は 1、そうでない場合は0 です。

モチベーション

特性ゼロの特別な定義は、次のセクションで特徴付けられる同等の定義によって動機付けられており、特性ゼロを個別に考慮する必要はありません。

特性は環の加法群の指数、すなわち次の式を満たす最小の正の整数nとすることもできる: ^{[ 1 ] (p 198, Def. 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

環の任意の元aに対して（ここでもn が存在する場合、そうでなければ 0 となる）。この定義は分配法則により環に対しては同値である。rng （単位元を持たない環）の場合、前者の定義は無意味であり、後者の定義が一般的に用いられる。

整数、有理数、実数は特性 0 を持ちます。

nを法とする整数は特性n を持ちます。

すべてのブール環には特性 2 があります。

体の特性は 0 または素数のいずれかです。

同等の特徴

• 環Rの特性とは、 nが からRへの唯一の環準同型の核となるような自然数n のことである。^{[ a ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 特性は自然数nであり、R は因子環と同型な部分環 を含み、これは上記の準同型の像である。${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• 非負整数{0, 1, 2, 3, ...} を割り切れる数で半順序付けすると、1が最小で、0が最大となる。したがって、環の標数は n ⋅ 1 = 0 となる最小の値となる。この順序付けにおいて0より「小さい」値が存在しない場合、標数は 0となる。これは、 char( A × B )がchar Aとchar Bの最小公倍数であること、また char B が char A を割り切れない限り環準同型f : A  → Bが存在しないという事実から、適切な半順序付けである。
• 環Rの特性がnとなるのは、すべてのa ∈ Rに対してka = 0が成り立ち、kがnの倍数であることを意味する場合です。

指輪のケース

RとSが環で環準同型R → Sが存在する場合、 Sの標数はRの標数を割り切る。これは、特定の環準同型の可能性を排除するために使用できる場合がある。標数1を持つ環は零環のみであり、零環には0という単一の元しかない。非自明な環R に非自明な零因子がない場合、その標数は0または素数である。特に、これはすべての体、すべての整域、すべての分環に当てはまる。標数 0 の環はどれも無限である。

nを法とする整数環は、特性nを持つ。R が S の部分環である場合、RとSは同じ特性を持つ。例えば、pが素数で、q ( X )がp個の元を持つ体 に係数を持つ既約多項式である場合、商環は特性pの体である。別の例として、複素数体はを含むため、 の特性は0である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

-代数は、特性がn を割り切る環と同値である。これは、任意の環Rに対して環準同型 が存在し、この写像が因数分解できるのは、 Rの特性がn を割り切る場合のみであるからである。この場合、環内の任意のrについて、 r を自身にn回加算するとnr = 0となる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

可換環Rが素標数pを持つ場合、Rのすべての元xとyに対して( x + y ) ^p = x ^p + y ^pが成り立ちます。これは、通常は正しくない「新入生の夢」がp冪に対して成立することを意味します。このとき、写像x ↦ x ^pは環準同型R → Rを定義します。これはフロベニウス準同型と呼ばれます。 Rが整域でもある場合、この準同型は単射です。

フィールドの場合

前述のように、任意の体の標数は0か素数のいずれかです。非ゼロの標数を持つ体は、有限標数体、正標数体、または素標数体と呼ばれます。標数指数も同様に定義されますが、標数が0のときは1に等しく、それ以外の場合は標数と同じ値になります。^{[ 2 ]}

任意の体F は、その最小部分体（素体とも呼ばれる）を一意に持ちます。この部分体は、有理数体または素位数の有限体と同型です。同じ標数を持つ2つの素体は同型であり、この同型性は一意です。言い換えれば、各標数には本質的に一意の素体が存在するということです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

特性ゼロの体

標数ゼロの体とは、有理数体⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ と同型な部分体を持つ体のことである。そのような体の中で最も一般的なのは複素数体⁠ ⁠の部分体であり、これには実数体とすべての代数体が含まれる。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

特性ゼロの他の体としては、数論で広く使用されている p 進体があります。

整数上の 有理分数体や特性ゼロの体も一般的な例です。

順序体は常に特性ゼロを持ち、それらには以下が含まれる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

素特性体

有限体GF( pn ⁾は特性pを持ちます。

素特性体には無限体が存在する。例えば、上の有理関数全体の体、の代数的閉包、あるいは形式ローラン級数の体などである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}$

素標数pの任意の有限環のサイズはpの冪である。この場合、環は p を含むので、環もその体上のベクトル空間となる。線型代数から、有限体上の有限ベクトル空間のサイズは体のサイズの冪であることが分かる。これはまた、任意の有限ベクトル空間のサイズが素冪であることも示している。^{[ b ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

参照

• 混合特性のリング

注記

1. 環準同型の要件は、整数環から任意の環への準同型は1つだけ（実際には、正確に1つだけ）存在しうるというものである。圏論の言語では、環の圏の初期対象はである。これは、環が乗法単位元（環準同型によって保存される）を持つ場合にも当てはまる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. これは有限体上のベクトル空間であり、大きさがp ⁿであることが示されているので、その大きさは( p ⁿ ) ^m = p ^nmです。

参考文献

1. フレイリー、ジョン・B.; ブランド、ニール・E. (2020). 『抽象代数学入門』（第8版）.ピアソン・エデュケーション.
2. ブルバキ, ニコラス(2003). 「5. 体の特性指数。完全体」代数II 第4章～7章シュプリンガー p. AV7. doi : 10.1007/978-3-642-61698-3 . ISBN 978-3-540-00706-7。

出典

• マッコイ、ニール・H. (1973) [1964].環の理論.チェルシー出版. p. 4. ISBN 978-0-8284-0266-8。