位相空間の公理的基礎

位相空間を定義する複数の同等の方法

数学の分野である位相幾何学では、位相空間は通常、その開集合を宣言することによって定義されます。^[1]しかし、これは必ずしも必要ではありません。なぜなら、それぞれが全く同じ概念につながる、同等の公理的基礎が多数存在するからです。例えば、位相空間は、閉集合、閉包作用素および内部作用素、そして様々な種類のオブジェクトの収束のクラスを決定します。これらのそれぞれをオブジェクトの主要なクラスと見なし、他のすべて（開集合のクラスを含む）をその新しい出発点から直接決定することもできます。例えば、カジミエシュ・クラトフスキの有名な点集合位相幾何学の教科書では、位相空間は特定の種類の「閉包作用素」を伴う集合として定義され、他のすべての概念はそこから導出されます。^[2]同様に、近傍ベースの公理（ハウスドルフ空間の文脈において）は、フェリックス・ハウスドルフの『理論の基礎』における位相空間の元々の定義に遡ることができる。^[要出典]

点集合位相を展開するために、様々な教科書が概念の多様な相互依存性を用いています。その結果は常に、開集合、閉集合など、同じオブジェクトの集合になります。多くの実用的目的において、どの基礎を選択するかという問題は、展開の選択に関わらず同じであるオブジェクト（その多くはこの記事で示されています）の意味とオブジェクト間の相互関係が理解されている限り、無関係です。しかし、柔軟性を持つことが有用な場合もあります。例えば、測度の収束には様々な自然な概念があり、それらが位相構造から生じるのかどうかはすぐには分かりません。このような疑問は、収束に基づく位相公理によって大いに明確になります。

開集合による標準定義

位相空間とは、次を満たす部分集合の集合である。[ 3 ^] $X$ $S$ $X$

空集合とは次の通りです $X$ $S.$
の集合の任意の集合の和集合もまた $S$ $S.$
内の任意の集合の組の交差も内にある。同様に、内の任意の有限集合の交差も内にある。 $S$ $S.$ $S$ $S.$

位相空間が与えられた場合、の元はの開集合と称され、についてはこのように、あるいは位相というラベルでのみ言及するのが一般的である。そして、次のような二次的な定義が成り立つ。 $(X,S),$ $S$ $X,$ $S$

第二位相空間が与えられたとき、関数が連続であるとは、任意の開部分集合に対して^[4]の開部分集合が成り立つときのみである。 $Y,$ $f:X\to Y$ $U$ $Y,$ $f^{-1}(U)$ $X.$
の部分集合が閉じている場合、かつその補集合が開いている場合に限ります。^[5] $C$ $X$ $X\setminus C$
閉包の部分集合とは、そのような点を含む任意の開集合が必ず交差するような点の集合である^[6] $A$ $X,$ $A.$
内部の部分集合は^[7]に含まれるすべての開集合の和集合である。 $A$ $X,$ $A.$
1の元が与えられたとき、部分集合がの近傍である場合、かつがの開部分集合に含まれ、その開部分集合もの近傍である場合に限る^[8]。一部の教科書では、「の近傍」をを含む開集合を指すのに使用している^[9]。 $x$ $X,$ $A$ $x$ $x$ $X$ $A.$ $x$ $x.$
ネットが収束する とは、ネットを含む任意の開集合が最終的に^[10]に含まれることを意味する。 $x$ $X$ $U$ $x,$ $U.$
集合が与えられたとき、フィルタとは、有限集合とスーパーセットの両方に対して閉じた、空でない部分集合の集合である。 ^[11]教科書によっては、フィルタが空集合を含むことを許容し、空集合を含まない場合を「適切なフィルタ」と呼ぶことがある。^[12]上の位相は、フィルタがの点に収束するという概念を定義する。これは、を含む任意の開集合がフィルタの要素となることを条件とする。^[13] $X,$ $X$ $X$ $x$ $X,$ $U$ $x$
集合が与えられた場合、フィルタベースは空でない部分集合の集合であり、その2つの部分集合は互いに交差せず、交差部に3つ目の部分集合が含まれる。^[14]上の位相が与えられた場合、フィルタベースは点に収束するとは、フィルタベースの近傍のどれか1つにフィルタベースの要素が含まれることを意味する。^[15] $X,$ $X,$ $x$ $x$

閉集合による定義

を位相空間とする。ド・モルガンの法則によれば、閉集合の集合は以下の性質を満たす：^[16] $X$ $T$

空集合とは次の要素である。 $X$ $T$
の集合の集合の交差も $T$ $T.$
の任意の集合の和集合も $T$ $T.$

ここで、が集合のみであると仮定する。上記の公理を満たす任意の部分集合の集合が与えられたとき、対応する集合は上の位相であり、上の位相のうち、対応する閉集合の集合となる唯一の位相である。 ^[17]つまり、位相は閉集合を宣言することによって定義できる。したがって、すべての定義を閉集合を用いて次のように言い換えることができる。 $X$ $T$ $X$ $\{U:X\setminus U\in T\}$ $X,$ $X$ $T$

第二位相空間が与えられたとき、関数が連続となるのは、その集合の任意の閉部分集合に対して、その集合が^[18]の部分集合として閉じている場合に限ります。 $Y,$ $f:X\to Y$ $U$ $Y,$ $f^{-1}(U)$ $X.$
の部分集合が開集合である場合、かつその補集合が閉集合である場合に限ります。^[19] $C$ $X$ $X\setminus C$
閉包の部分集合は^{[20]を含むすべての閉集合の共通部分である。} $A$ $X,$ $A.$
内部のサブセットが与えられた場合、そのサブセットは、それを含むすべての閉集合の共通部分の補集合となる。 $A$ $X,$ $X\setminus A.$

閉包演算子による定義

位相空間が与えられたとき、閉包は写像として考えることができる。ここで、はの冪集合を表す。次のクラトフスキー閉包公理が存在する：^[21] $X,$ $\wp (X)\to \wp (X),$ $\wp (X)$ $X.$

$A\subseteq \operatorname {cl} (A)$
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)$
$\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)$
$\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing$

が上記の性質を満たす写像を備えた集合である場合、clのすべての可能な出力の集合は閉集合の前述の公理を満たし、したがって位相を定義する。これは、関連付けられた閉包演算子が与えられたclと一致する唯一の位相である。 ^[22]前述のように、位相空間上ではすべての定義は閉包演算子によって表現できる。 $X$ $X,$

第二位相空間が与えられたとき、関数が連続であることと、その関数の任意の部分集合が^[23]の部分集合であることは同値である。 $Y,$ $f:X\to Y$ $A$ $X,$ $f(\operatorname {cl} (A))$ $\operatorname {cl} (f(A)).$
の部分集合が開集合となるのは、^[24] $A$ $X$ $\operatorname {cl} (X\setminus A)=X\setminus A.$
の部分集合が閉じている場合、かつその場合に限る^[25] $C$ $X$ $\operatorname {cl} (C)=C.$
内部のサブセットが^{[26]の補集合であるとする。} $A$ $X,$ $\operatorname {cl} (X\setminus A).$

内部演算子による定義

位相空間が与えられたとき、その内部は写像として考えることができ、ここではの冪集合を表す。これは以下の条件を満たす: ^[27] $X,$ $\wp (X)\to \wp (X),$ $\wp (X)$ $X.$

$\operatorname {int} (A)\subseteq A$
$\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$
$\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)$
$\operatorname {int} (X)=X$

が上記の性質を満たす写像を備えた集合である場合、intのすべての可能な出力の集合は開集合の前述の公理を満たし、したがって位相を定義する。これは、関連する内部演算子が与えられたintと一致する唯一の位相である。 ^[28]したがって、位相空間上では、すべての定義は内部演算子を用いて表現することができ、例えば次のようになる。 $X$ $X,$

位相空間と関数が連続である場合、その集合の任意の部分集合に対して、その集合が^[29]の部分集合となることが成り立つ。 $X$ $Y,$ $f:X\to Y$ $B$ $Y,$ $f^{-1}(\operatorname {int} (B))$ $\operatorname {int} (f^{-1}(B)).$
集合が開集合となるのは、集合の内部に等しい場合のみである。^[30]
集合の閉包はその補集合の内部の補集合である。^[31]

外部演算子による定義

位相空間が与えられたとき、外部は写像として考えることができ、ここではの冪集合を表す。これは以下の条件を満たす: ^[32] $X,$ $\wp (X)\to \wp (X),$ $\wp (X)$ $X.$

$\operatorname {ext} (\varnothing )=X$
$A\cap \operatorname {ext} (A)=\varnothing$
$\operatorname {ext} (X\setminus \operatorname {ext} (A))=\operatorname {ext} (A)$
$\operatorname {ext} (A\cup B)=\operatorname {ext} (A)\cap \operatorname {ext} (B)$

が上記の性質を満たす写像を備えた集合であるならば、内部作用素を定義でき、その逆もまた同様である。より正確には、を定義すると、内部作用素公理を満たし、したがって位相を定義する。^[33]逆に、を定義すると、上記の公理を満たす。さらに、これらの対応は1-1である。したがって、位相空間上のすべての定義は外部作用素を用いて表現できる。例えば、 $X$ $\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }=\operatorname {ext} (X\setminus A)$ $\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }$ $\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }=\operatorname {int} (X\setminus A)$ $\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }$ $X,$

集合の閉包はその外接集合の補集合です。 $\operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }(A)=X\setminus \operatorname {ext} (A)$

第二位相空間が与えられたとき、関数が連続であることと、その集合がの集合であるような場合である。同様に、関数が連続であることと、その集合がの集合であるような場合である。 $Y,$ $f:X\to Y$ $A$ $X,$ $f(X\setminus \operatorname {ext} (A))$ $X\setminus \operatorname {ext} (f(A)).$ $f$ $B$ $Y,$ $f^{-1}(\operatorname {ext} (X\setminus B))$ $\operatorname {ext} (X\setminus f^{-1}(B)).$
集合が開集合となるのは、その補集合の外部と等しい場合のみです。
集合が閉じられるのは、その集合がその外部の補集合と等しい場合のみです。

境界演算子による定義

位相空間が与えられたとき、境界は写像として考えることができ、ここではの冪集合を表す。これは以下の条件を満たす: ^[32] $X,$ $\wp (X)\to \wp (X),$ $\wp (X)$ $X.$

$\partial A=\partial (X\setminus A)$
$\partial (\partial (A))\subseteq \partial (A)$
$\partial (A\cup B)\subseteq \partial (A)\cup \partial (B)$
$A\subseteq B\Rightarrow \partial A\subseteq B\cup \partial B$
$\partial (\varnothing )=\varnothing$

が上記の性質を満たす写像を備えた集合である場合、閉包作用素を定義でき、その逆も同様である。より正確には、を定義すると、閉包公理を満たすため、境界作用素は位相を定義する。逆に、を定義すると、上記の公理を満たす。さらに、これらの対応は1-1である。したがって、位相空間上のすべての定義は境界作用素を用いて表現できる。例えば、 $X$ $\operatorname {cl} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\partial }(A)=A\cup \partial (A)$ $\operatorname {cl} _{\partial}$ $\partial _{\operatorname {cl} }:\wp (X)\to \wp (X),\partial _{\operatorname {cl} }=\operatorname {cl} (A)\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)$ $\partial _{\operatorname {cl} }$ $X,$

$\operatorname {int} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\partial }(A)=A\setminus \partial (A)$
集合が開集合である場合、かつその場合のみ。 $\partial (A)\cap A=\varnothing$
集合が閉じている場合、かつその場合のみ、集合は閉じている。 $\partial (A)\subseteq A$

導出集合による定義

位相空間の部分集合の導来集合とは、の極限点、すなわちのすべての近傍にそれ自身以外のの点が含まれるような点全体の集合である。の導来集合は、以下の条件を満たす。^[32] $S$ $X$ $x\in X$ $S,$ $x$ $x$ $S$ $x$ $S\subseteq X$ $S^{*}$

$\varnothing^{*}=\varnothing$
すべての人のために $x\in X,x\not \in \{x\}^{*}$
$A^{**}\subseteq A\cup A^{*}$
$(A\cup B)^{*}=A^{*}\cup B^{*}$

集合が閉集合であるためにはが成り立つことが必要かつその場合に限るので、^[34]導来集合は位相を一意に定義する。したがって、位相空間上のすべての定義は導来集合を用いて表現できる。例えば、 $S$ $S^{*}\subseteq S$ $X,$

$\operatorname {cl} (A)=A\cup A^{*}$ 。

位相空間と関数が連続である場合、任意の部分集合に対してその集合がの部分集合となることが成り立つ。^[35] $X$ $Y,$ $f:X\to Y$ $A$ $X,$ $f(A^{*})$ ${f(A)}^{*}\cup f(A)$

孤立集合（集合内のすべての孤立した点の集合）を介して位相空間を定義することは不可能であることは注目に値します。

近隣地域による定義

本稿では近傍が必ずしも開空間ではないという慣例に従っていることを思い出すとよい。位相空間においては、以下の事実が成り立つ: ^[36]

が近傍であれば、は要素である。 $U$ $x$ $x$ $U.$
の2つの近傍の共通部分はの近傍である。同様に、の有限個の近傍の共通部分はの近傍である。 $x$ $x.$ $x$ $x.$
近傍が含まれる場合、近傍は $V$ $x,$ $V$ $x.$
がの近傍である場合、の各点の近傍となるようなの近傍が存在する。 $U$ $x,$ $V$ $x$ $U$ $V$

が集合であり、上記の条件を満たすすべての点に対して近傍の空でない集合を宣言すると、集合が開集合であると宣言することと、その集合の各点の近傍である場合に限り、位相が定義される。これは、近傍の関連システムが与えられた通りである唯一の位相である。^[36]したがって、位相空間上では、すべての定義は近傍を用いて表現できる。 $X$ $X,$ $X,$

別の位相空間が与えられたとき、写像が連続であるためには、そのすべての元に対して、かつその逆像のすべての近傍が^[37]の近傍となることが必要である。 $Y,$ $f:X\to Y$ $x$ $X$ $B$ $f(x),$ $f^{-1}(B)$ $x.$
のサブセットは、その各点の近傍である場合に限り、開集合となります。 $X$
内部のサブセットがの近傍となるようなのすべての要素の集合であると仮定します。 $A$ $X,$ $x$ $X$ $A$ $x$
閉包の部分集合は、すべての近傍が交差するようなすべての要素の集合である^[38] $A$ $X,$ $x$ $X$ $x$ $A.$

ネットの収束による定義

ネットの収束性は以下の性質を満たす: ^[39]^[40]

すべての定数ネットはそれ自身に収束します。
収束ネットのすべてのサブネットは同じ制限に収束します。
ネットが一点に収束しない場合、それ以上収束するサブネットがないサブネットが存在する。同様に、そのサブネットのすべてに一点に収束するサブサブネットがあり、その後に収束するようなネットが存在する場合、 $x$ $x.$ $x_{\bullet}$ $x,$ $x_{\bullet}$ $x.$
対角原理/反復極限の収束。任意の添え字に対してがに収束するネットである、の対角（部分）ネットが存在し、に収束する。 $\left(x_{a}\right)_{a\in A}\to x$ $X$ $a\in A,$ $\left(x_{a}^{i}\right)_{i\in I_{a}}$ $x_{a}$ $X,$ $\left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}$ $x.$

あ対角線ネットとは、 $\left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}.$
: 記法は、定義域が辞書式順序で最初にによって、次にによって明示的に順序付けられた集合であるネットを表します。任意の2つのペアがが成り立つ場合、(1)と(2)の両方が成り立つ場合^、そして $\left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}$ $(a,i)\mapsto x_{a}^{i}$ ${\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a}$ $A$ $I_{a};$ $(a_{1},i_{1}),\left(a_{2},i_{2}\right)\in {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a},$ $(a_{1},i_{1})\leq \left(a_{2},i_{2}\right)$ $a_{1}\leq a_{2},$ $a_{1}=a_{2}$ $i_{1}\leq i_{2}.$

が集合である場合、ネット収束の概念（どのネットがどの点に収束するかを示す^[40]）が与えられ、上記の4つの公理を満たすと、対応する位相で評価されるすべてのネットのすべての極限の集合に任意の集合を送出することによって、閉包演算子が定義され、その位相はネットから点への所定の収束を誘導する唯一の位相である。^[39] $X$ $X$ $A$ $A;$

位相空間の部分集合が与えられた場合 $A\subseteq X$ $X:$

$A$ がで開いている場合、そしてその場合のみ、の元に収束するすべてのネットは最終的にに含まれる。 $X$ $A$ $A.$
の閉包は、すべての収束ネットの極限の集合である^[41]^[40] $A$ $X$ $A.$
$A$ が閉じている場合、かつその補集合の元に収束するネットは存在しない^{。[42] が}閉じている場合、かつその補集合の元に収束するネットは存在しない。[43]が閉じている場合、かつその補集合の元に収束するネットの極限点は必ず^[43]に属する。 $X$ $A$ $X\setminus A.$ $A\subseteq X$ $X$ $A$ $A.$

2つの位相空間間の関数が連続である必要は、任意ののネットに対してのネットがに収束し、任意ののネットがのネット^{[注 1]}に収束する場合に限ります^[44] $f:X\to Y$ $x\in X$ $x_{\bullet}$ $X$ $x$ $X,$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ $f(x)$ $Y.$

フィルタの収束による定義

どのフィルターがどの点に収束するかを宣言することによって、セット上でトポロジーを定義することもできます。^{[引用が必要]}フィルターとプレフィルター(フィルターベースとも呼ばれる)の観点から、標準オブジェクトには次の特徴があります。

第二位相空間が与えられたとき、関数が連続となるのは、前置フィルタの収束性を保つ場合のみである。^[45] $Y,$ $f:X\to Y$
の部分集合が開集合となるのは、の元に収束するすべてのフィルタが^[46]を含む場合のみである。 $A$ $X$ $A$ $A.$
のサブセットが閉じている場合、補集合の点に収束するプレフィルタが存在しない^。[47] $A$ $X$ $A$ $X\setminus A.$
閉包のサブセットは、収束する前置フィルタが存在するすべての点から構成されると仮定すると^、[48] $A$ $X,$ $x$ $A$ $x.$
の部分集合がの近傍となるのは、それが^[46]に収束するすべてのフィルタの要素である場合に限ります。 $A$ $X$ $x$ $x.$

参照

コーシー空間 – 一般位相と解析における概念
収束空間 – 一般位相幾何学に見られる収束の概念の一般化
位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
シーケンシャル空間 – シーケンスによって特徴付けられる位相空間
位相（構造） – 位相空間の開集合の集合

引用

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注記

^ ネットがでインデックス付けされていると仮定すると（つまりはを送る関数の表記である）、はとの合成を表す。つまり、は関数である。 $x_{\bullet}$ $I$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I},$ $x_{\bullet }:I\to X$ $i\mapsto x_{i}$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ $x_{\bullet }:I\to X$ $f:X\to Y.$ $f\left(x_{\bullet }\right):=f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ $f\circ x_{\bullet }:I\to Y.$

参考文献

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[FOOTNOTEDugundji1966p.62Engelking1977p.11-12Kelley1955p.37Kuratowski1966p.45-3] ドゥガンジ 1966、p.62;エンゲルキング、1977 年、p.11-12。ケリー、1955 年、37 ページ。クラトフスキー、1966 年、45 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.79Engelking1977p.27-28Kelley1955p.85Kuratowski1966p.105-4] ドゥガンジ 1966、p.79;エンゲルキング、1977 年、p.27-28。ケリー、1955 年、85 ページ。クラトフスキー、1966 年、105 頁。

[FOOTNOTEDugundji1966p.68Engelking1977p.13Kelley1955p.40-5] ドゥガンジ 1966、p.68;エンゲルキング、1977 年、13 ページ。ケリー、1955 年、40 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.69Engelking1977p.13-6] ドゥガンジ 1966、p.69;エンゲルキング、1977 年、13 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.71Engelking1977p.14Kelley1955p.44Kuratowski1966p.58-7] ドゥガンジ 1966、p.71;エンゲルキング、1977 年、14 ページ。ケリー、1955 年、44 ページ。クラトフスキー、1966 年、58 ページ。

[FOOTNOTEKelley1955p.38Kuratowski1966p.61-8] ケリー、1955年、p.38;クラトフスキー、1966 年、61 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.63Engelking1977p.12-9] ドゥガンジ 1966、p.63;エンゲルキング、1977 年、12 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.210Engelking1977p.49Kelley1955p.66Kuratowski1966p.203-10] ドゥガンジ 1966、p.210;エンゲルキング、1977 年、49 ページ。ケリー、1955 年、66 ページ。クラトフスキー、1966 年、203 ページ。

[FOOTNOTEEngelking1977p.52Kelley1955p.83-11] エンゲルキング1977年、52ページ；ケリー1955年、83ページ。

[FOOTNOTEKuratowski1966p.6-12] クラトフスキー 1966、6ページ。

[FOOTNOTEEngelking1977p.52Kelley1955p.83Kuratowski1966p.63-13] エンゲルキング、1977年、p.52;ケリー、1955 年、83 ページ。クラトフスキー、1966 年、63 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966211Engelking1977p.52-14] ドゥガンジ 1966, 211;エンゲルキング、1977 年、52 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.212Engelking1977p.52-15] ドゥガンジ 1966、p.212;エンゲルキング、1977 年、52 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.69Engelking1977p.13Kelley1955p.40Kuratowski1966p.44-16] ドゥガンジ 1966、p.69;エンゲルキング、1977 年、13 ページ。ケリー、1955 年、40 ページ。クラトフスキー、1966 年、44 頁。

[FOOTNOTEDugundji1966p.74Engelking1977p.22Kelley1955p.40Kuratowski1966p.44-17] ドゥガンジ 1966、p.74;エンゲルキング、1977 年、22 ページ。ケリー、1955 年、40 ページ。クラトフスキー、1966 年、44 頁。

[FOOTNOTEDugundji1966p.79Engelking1977p.28Kelley1955p.86Kuratowski1966p.105-18] ドゥガンジ 1966、p.79;エンゲルキング、1977 年、28 ページ。ケリー、1955 年、86 ページ。クラトフスキー、1966 年、105 頁。

[FOOTNOTEKelley1955p.41-19] ケリー 1955、41ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.70Engelking1977Kelley1955p.42-20] ドゥガンジ 1966、p.70;エンゲルキング 1977;ケリー、1955 年、42 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.69-70Engelking1977p.14Kelley1955p.42-43-21] ドゥガンジ 1966、p.69-70;エンゲルキング、1977 年、14 ページ。ケリー、1955 年、42-43 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.73Engelking1977p.22Kelley1955p.43-22] ドゥガンジ 1966、p.73;エンゲルキング、1977 年、22 ページ。ケリー、1955 年、43 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.80Engelking1977p.28Kelley1955p.86Kuratowski1966p.105-23] ドゥガンジ 1966、p.80;エンゲルキング、1977 年、28 ページ。ケリー、1955 年、86 ページ。クラトフスキー、1966 年、105 頁。

[FOOTNOTEKuratowski1966p.43-24] クラトフスキー 1966、43ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.69Kelley1955p.42Kuratowski1966p.43-25] Dugundji 1966, p.69; Kelley 1955, p.42; Kuratowski 1966, p.43.

[FOOTNOTEDugundji1966p.71Engelking1977p.15Kelley1955p.44-45Kuratowski1966p.55-26] ドゥガンジ 1966、p.71;エンゲルキング、1977 年、15 ページ。ケリー、1955、p.44-45。クラトフスキー、1966 年、55 頁。

[FOOTNOTEEngelking1977p.15-27] エンゲルキング 1977年、15ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.74Engelking1977p.23-28] ドゥガンジ 1966、p.74;エンゲルキング、1977 年、23 ページ。

[FOOTNOTEEngelking1977p.28Kuratowski1966p.103-29] エンゲルキング、1977年、p.28;クラトフスキー、1966 年、103 ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.71Kelley1955p.44-30] ドゥガンジ 1966、p.71;ケリー、1955 年、44 ページ。

[FOOTNOTEKelley1955p.44-45-31] ケリー 1955、44-45ページ。

[:0-32] Lei, Yinbin; Zhang, Jun (2019年8月). 「位相集合演算子の一般化」.電子計算機科学理論ノート. 345 : 63–76 . doi : 10.1016/j.entcs.2019.07.016 . ISSN 1571-0661.

[33] ブルバキ, ニコラス (1998). 『数学の原論』第1章/第4章: 3. 一般位相幾何学第1章 - 第4章(ソフトカバー版, [Nachdr.] - [1998] 版). ベルリン・ハイデルベルク: シュプリンガー. ISBN 978-3-540-64241-1。

[34] ベイカー、クランプ W. (1991).トポロジー入門. デュビューク、アイオワ州: Wm. C. Brown Publishers. ISBN 978-0-697-05972-7。

[35] ホッキング, ジョン・G.; ヤング, ゲイル・S. (1988).トポロジー. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-65676-2。

[FOOTNOTEWillard200431–32-36] ウィラード 2004、31～32ページを参照。

[FOOTNOTEKuratowski1966p.103-37] クラトフスキー 1966年、103ページ。

[FOOTNOTEKuratowski1966p.61-38] クラトフスキー 1966、61ページ。

[FOOTNOTEKelley1955p.74-39] Kelley 1955、p.74を参照。

[FOOTNOTEWillard200477-40] ウィラード2004、p.77。

[FOOTNOTEEngelking1977p.50Kelley1955p.66-41] エンゲルキング1977年、50ページ；ケリー1955年、66ページ。

[FOOTNOTEEngelking1977p.51Kelley1955p.66-42] エンゲルキング1977年、51ページ；ケリー1955年、66ページ。

[FOOTNOTEWillard200473–77-43] ウィラード 2004年、73～77頁。

[FOOTNOTEEngelking1977p.51Kelley1955p.86-45] エンゲルキング1977年、51ページ；ケリー1955年、86ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.216Engelking1977p.52-46] ドゥガンジ 1966、p.216;エンゲルキング、1977 年、52 ページ。

[FOOTNOTEKelley1955p.83-47] Kelley 1955、p.83を参照。

[FOOTNOTEDugundji1966p.215-48] Dugundji 1966、215ページ。

[FOOTNOTEDugundji1966p.215Engelking1977p.52-49] ドゥガンジ 1966、p.215;エンゲルキング、1977 年、52 ページ。

[44] ネットがでインデックス付けされていると仮定すると（つまりはを送る関数の表記である）、はとの合成を表す。つまり、は関数である。 $x_{\bullet}$ $I$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I},$ $x_{\bullet }:I\to X$ $i\mapsto x_{i}$ $f\left(x_{\bullet }\right)$ $x_{\bullet }:I\to X$ $f:X\to Y.$ $f\left(x_{\bullet }\right):=f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ $f\circ x_{\bullet }:I\to Y.$