チェビシェフのバイアス

Number theory related to prime numbers

{\displaystyle \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)} — n ≤ 30000の関数のプロット $\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)$

数論において、チェビシェフの偏りとは、ほとんどの場合、 4 k + 3の形の素数が 4 k + 1 の形の素数よりも多く存在するという現象であり、これは同じ極限まで当てはまる。この現象は、 1853年にロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフによって初めて観察された。

説明

$π$ ( x ; n , m ) をxまでの nk + mの形の素数の個数とする。素数定理（等差数列に拡張）により、

\pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.

つまり、素数の半分は 4 k + 1 の形式で、残りの半分は 4 k + 3 の形式です。妥当な推測としては、 $π$ ( x ; 4, 1) > $π$ ( x ; 4, 3) と $π$ ( x ; 4, 1) < $π$ ( x ; 4, 3) もそれぞれ 50% の確率で出現すると考えられます。しかし、これは数値的な証拠によって裏付けられていません。実際は、 $π$ ( x ; 4, 3) > $π$ ( x ; 4, 1) の方がはるかに頻繁に出現します。たとえば、この不等式は 5、17、41、461 を除くすべての素数x < 26833 に当てはまります。これらの素数については、 $π$ ( x ; 4, 1) = $π$ ( x ; 4, 3) となります。 $π$ ( x ; 4, 1) > $π$ ( x ; 4, 3)となる最初のx は26861 です。つまり、すべてのx < 26861 について $π$ ( x ; 4, 3) ≥ $π$ ( x ; 4, 1) です。

一般に、 0 < a、b < nが整数で、gcd ( a、 n ) = gcd( b、 n ) = 1 であり、 a がnを法とする平方剰余、 bがnを法とする平方非剰余である場合、 $π$ ( x ; n、 b ) > $π$ ( x ; n、 a ) が頻繁に発生します。これは、リーマン予想の強い形式を仮定することによってのみ証明されています。クナポフスキーとトゥランのより強い予想、すなわち $π$ ( x ; 4, 3) > $π$ ( x ; 4, 1) が成り立つ数 xの密度は 1 である (つまり、ほとんどすべてのxに対して成り立つ) という予想は誤りであることが判明しました。ただし、彼らの予想には対数密度があり、それは約 0.9959.... ^[1]

一般化

これは、k = −4 の場合に、（クロネッカー記号）を満たす最小の素数p を求めるものです。しかし、与えられた非零整数k （ k = −4に限らず）に対しても、この条件を満たす最小の素数pを求めることができます。素数定理によれば、任意の非零整数kに対して、この条件を満たす素数pは無限に存在します。 $\sum _{q\leq p,\ q\ {\text{is prime}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0$ $\left({\frac {m}{n}}\right)$

正の整数k = 1, 2, 3, ...に対して、最小の素数pは

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121、7、3、17、5、2、11、2、3、31、7、5、41、2、3、...（（OEISのシーケンスA306499）は部分シーケンスであり、k = 1、5、8、12、13、17、21、24、28、29、33、37、40、41、44、53、56、57、60、61、...（OEISのシーケンスA003658））

負の整数k = −1, −2, −3, ...に対して、最小の素数pは

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (( OEISのシーケンスA306500 ) は部分シーケンスで、k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ... ( OEISのシーケンスA003657 ) )

すべての（正または負の）非平方整数kに対して、 p の素数はp の素数より多く（同じ制限まで）ある場合が多いです。 $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ $\left({\frac {k}{p}}\right)=1$

高出力残基への拡張

mとn を、 m ≥ 0、n > 0、gcd( m、 n ) = 1となる整数とし、関数を定義します。ここで、はオイラーのトーシェント関数です。 $f(m,n)=\sum _{p{\text{ is prime, }}p\,\mid \,\varphi (n),\ x^{p}\,\equiv \,m{\pmod {n}}{\text{ has a solution }}}\left({\frac {1}{p}}\right),$ $\varphi$

たとえば、f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2、f (2, 5) = f (3, 5) = 0、f (1, 6) = 1/2、f (5, 6) = 0、f (1, 7) = 5/6、f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2、f (3, 7) = f (5, 7) = 0、f (6, 7) = 1/3、f (1, 8) = 1/2、f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0、f (1, 9) = 5/6、f (2, 9) = f (5, 9) = 0、f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2、f (8, 9) = 1/3。

0 < a、b < nが整数で、 gcd( a、 n ) = gcd( b、 n ) = 1、f ( a、n ) > f ( b、n ) の場合、 $π$ ( x ; n、 b ) > $π$ ( x ; n、 a ) が頻繁に発生すると推測されます。

参考文献

^ (ルビンスタイン—サルナック、1994)

PL チェビシェフ: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 et 4 n + 3、ブル。クラス物理学。アカド。インプ。科学。サンクトペテルブルク、11 (1853)、208。
グランビル, アンドリュー; マーティン, グレッグ (2006). 「素数競争」.アメリカ数学月刊誌. 113 (1): 1– 33. doi :10.1080/00029890.2006.11920275. JSTOR 27641834. S2CID 3846453.
J. Kaczorowski: 素数の分布について (mod 4)、Analytics、15 (1995)、159–171。
S. Knapowski, Turan: 比較素数論、I、Acta Math. Acad. Sci. Hung.、 13 (1962)、299–314。
Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). 「チェビシェフのバイアス」.実験数学. 3 (3): 173– 197. doi :10.1080/10586458.1994.10504289.

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「チェビシェフ・バイアス」。MathWorld。
（ OEISの配列A007350）（プライムレース4n+1と4n+3のリーダーが交代する）
（ OEISの配列A007352）（プライムレース3n+1と3n+2のリーダーが交代する）

[1] (ルビンスタイン—サルナック、1994)