チェビシェフの不等式

確率論において、チェビシェフの不等式（ビエネイメ・チェビシェフの不等式とも呼ばれる）は、有限分散を持つ確率変数がその平均から逸脱する確率の上限を規定する。より具体的には、確率変数がその平均から を超えて逸脱する確率は最大 である。ここでは任意の正の定数、は標準偏差（分散の平方根）である。 ${\displaystyle k\sigma }$ ${\displaystyle 1/k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma }$

この規則は統計学において、平均値の周りの標準偏差の範囲に関するもので、チェビシェフの定理と呼ばれることが多い。この不等式は、平均値と分散が定義されているあらゆる確率分布に適用できるため、非常に有用である。例えば、大数の弱法則を証明するために使用できる。

その実際的な使用法は、正規分布にのみ適用される68-95-99.7ルールに似ています。チェビシェフの不等式はより一般的なもので、様々な確率分布において、値の少なくとも75%が平均値の2標準偏差以内に収まり、88.88%が3標準偏差以内に収まる必要があることを示しています。^{[ 1 ] [ 2 ]}

チェビシェフの不等式という用語は、特に解析学の文脈においては、マルコフの不等式を指すこともあります。これらは密接に関連しており、一部の研究者はマルコフの不等式を「チェビシェフの第一不等式」と呼び、このページで言及されている類似の不等式を「チェビシェフの第二不等式」と呼んでいます。

チェビシェフの不等式は、選択された正の定数ごとに、不等式が実際には等式となるような確率変数が存在するという意味で厳密である。^{[ 3 ]}

歴史

この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられたが、最初に定式化したのは彼の友人で同僚のイレネー・ジュール・ビエナイメである。^{[ 4 ] : 98} この定理は1853年にビエナイメによって最初に証明され、 ^{[ 5 ]}より一般的には1867年にチェビシェフによって証明された。^{[ 6 ] [ 7 ]}彼の学生のアンドレイ・マルコフは1884年の博士論文で別の証明を示した。^{[ 8 ]}

声明

チェビシェフの不等式は通常、確率変数に対して述べられますが、測度空間に関する記述に一般化できます。

確率的声明

（積分可能）を有限非ゼロ分散（したがって有限期待値）を持つ確率変数とする。^{[ 9 ]}このとき、任意の実数に対して、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

右辺と不等式が自明な 場合のみ有用です。この場合、すべての確率は最大で1です。${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle k\leq 1}$ ${\displaystyle 1/k^{2}\geq 1}$

例えば、 を使用すると、区間外の確率値がを超えないことがわかります。同様に、区間内（つまり、その「被覆率」）の確率が少なくとも であることを意味します。 ${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/2}$

一般的なケースでは、任意の に対して、 ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}.}$

この不等式は、既知の有限の平均と分散を持つ完全に任意の分布に適用できるため、関係する分布についてより多くの側面がわかっている場合に推論されるものと比較して、一般に不等式は不十分な境界を与えます。

${\displaystyle k}$	平均値の標準偏差 内の最小%${\displaystyle k}$	平均からの 標準偏差を超える最大%${\displaystyle k}$
1	0%	100%
√2​	50%	50%
1.5	55.55%	44.44%
2	75%	25%
2√2​​	87.5%	12.5%
3	88.8888%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

測度論的ステートメント

を測度空間とし、を 上で定義された拡張実数値可測関数とする。すると、任意の実数およびに対して、 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle 0<p<\infty }$

$\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{p}}\int _{X}|f|^{p}\,d\mu .}$

より一般的には、 が非負かつ非減少の拡張された実数値測定可能関数である場合、次のようになります。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(t)\neq 0}$

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

この命題は、マルコフ不等式、、から導かれます。この場合 であるためです。次に、 の場合に、それ以外の場合にと定義することで、前の命題が導き出されます。 ${\displaystyle \mu (\{x\in X:|F(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|F|d\mu }$ ${\displaystyle F=g\circ f}$ ${\displaystyle \varepsilon =g(t)}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,g\circ f(x)\geq g(t)\})\geq \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle |x|^{p}}$ ${\displaystyle x\geq t}$ ${\displaystyle 0}$

例

平均1000語、標準偏差200語のジャーナル記事をランダムに選択したとします。チェビシェフの不等式により、その範囲外になる確率は0.0 ... ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle 1/k^{2}=1/4}$

境界の鮮明さ

上の例で示したように、この定理は典型的には比較的緩い境界値を与える。しかし、これらの境界値は一般に（任意の分布に対しては成り立つが）改善することはできない。次の例では、境界値は明確である。任意の に対して、 ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{確率で}}\;\;{\frac {1}{2k^{2}}}\\{\phantom {-}}0,&{\text{確率で}}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\+1,&{\text{確率で}}\;\;{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

この分布では、平均は、分散はなので、標準偏差は、 ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma^{2}={\frac {(-1)^{2}}{2k^{2}}}+0+{\frac {1^{2}}{2k^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}$ ${\displaystyle \sigma =1/k}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr(|X|\geq 1)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

チェビシェフの不等式は、まさにこの例の アフィン変換である分布に対して等式となります。

証拠

マルコフの不等式は、任意の非負の実数値確率変数と任意の正の数に対して、 が成り立つことを述べています。チェビシェフの不等式を証明する一つの方法は、 の確率変数にマルコフの不等式を適用することです。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Pr(|Y|\geq a)\leq \mathbb {E} [|Y|]/a}$ ${\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}$ ${\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr((X-\mu )^{2}\geq k^{2}\sigma ^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

条件付き期待値を使って直接証明することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mathbb {E} {\bigl [}(X-\mu )^{2}{\bigr ]}\\[5pt]&=\mathbb {E} {\Bigl [}(X-\mu )^{2}\;{\Big |}\;k\sigma \leq |X-\mu |{\Bigr ]}\Pr {\bigl [}k\sigma \leq |X-\mu |{\bigr ]}+\mathbb {E} {\Bigl [}(X-\mu )^{2}\;{\Big |}\;k\sigma >|X-\mu |{\Bigr ]}\Pr {\bigl [}k\sigma >|X-\mu |{\bigr ]}\\[5pt]&\geq (k\sigma )^{2}\Pr {\bigl [}k\sigma \leq |X-\mu |{\bigr ]}+0\cdot \Pr {\bigl [}k\sigma >|X-\mu |{\bigr ]}\\[5pt]&=k^{2}\sigma ^{2}\Pr {\bigl [}k\sigma \leq |X-\mu |{\bigr ]}\end{aligned}}}$

チェビシェフの不等式は、 を で割ることで成り立ちます。この証明は、典型的なケースにおいて境界がなぜかなり緩いのかを示しています。つまり、 の事象 に関する条件付き期待値は無視され、の事象 に関するの下限値は非常に不正確になる可能性があるのです。 ${\displaystyle k^{2}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle |X-\mu |<k\sigma }$ ${\displaystyle k^{2}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle |X-\mu |\geq k\sigma }$

チェビシェフの不等式は、2つの不定リーマン積分の差として期待値を表すことから始めて、面積の単純な比較から直接得ることもできる（任意の実数値確率変数の期待値の定義の図）。^{[ 10 ]}

拡張機能

チェビシェフの不等式の拡張がいくつか開発されている。

セルバーグの不等式

セルバーグは任意の区間への一般化を導出した。^{[ 11 ]}は 平均と分散を持つ確率変数であるとする。セルバーグの不等式は^{[ 12 ]}、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha \geq 0}$

${\displaystyle \Pr(X\in [\mu -\alpha ,\mu +\beta ])\geq {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{if }}\alpha (\beta -\alpha )\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac {4\alpha \beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}&{\text{if }}2\alpha \beta \geq 2\sigma ^{2}\geq \alpha (\beta -\alpha )\\0&\sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end{cases}}}$

のとき、これはチェビシェフの不等式に帰着する。これらは可能な限り最良の境界値であることが知られている。^{[ 13 ]}${\displaystyle \alpha =\beta }$

有限次元ベクトル

チェビシェフの不等式は、平均と分散 を持つ確率変数を持つ多変量設定にも自然に拡張されます。その場合、次の不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})^{2}\geq k^{2}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

これは、2次元に対して証明した著者にちなんでバーンバウム・レイモンド・ザッカーマン不等式として知られています。^{[ 14 ]}この結果は、ユークリッドノルムの平均、標準偏差を持つベクトル で書き直すことができます。^{[ 15 ]}${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\ldots )}$ ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots )}$ ${\displaystyle ||\cdot ||}$

${\displaystyle \Pr(\|X-\mu \|\geq k\|\sigma \|)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

同様の無限次元チェビシェフの不等式も得られる。2つ目の関連する不等式もChenによって導出されている^{[ 16 ]} 。を確率ベクトルの次元とし、を の平均とする。を共分散行列とし、 とすると、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \Pr \left((X-\operatorname {E} (X))^{T}S^{-1}(X-\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

ここで はの転置である。この不等式はマハラノビス距離を用いて次のように 表される。${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \Pr \left(d_{S}^{2}(X,\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

ここで、マハラノビス距離は次のように定義される。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle d_{S}(x,y)={\sqrt {(x-y)^{T}S^{-1}(x-y)}}}$

ナバロ^{[ 17 ]}は、これらの境界が明確であることを証明しました。つまり、の平均と共分散行列がわかっている場合、これらの境界が領域に対して可能な限り最良の境界であるということです。 ${\displaystyle X}$

ステラトら^{[ 18 ]}は、チェビシェフ不等式のこの多変数バージョンは、ヴァンデンベルグら[19]の特別なケースとして解析的に簡単に導くことができることを示した。ヴァンデンベルグら^{[ 19 ]}では、半正定値計画法（SDP）を解くことで境界値が計算される。

既知の相関関係

変数が独立している場合、この不等式はさらに顕著になる可能性がある。^{[ 20 ]}

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}\leq k_{i}\right)\geq \prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {1}{k_{i}^{2}}}\right)}$

ベルゲは相関のある2つの変数について不等式を導出した。^{[ 21 ]}と の相関係数を、の分散を とすると、 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{2}\left[{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k\right]\right)\geq 1-{\frac {1+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{k^{2}}}.}$

^{この結果は、} 2つの確率変数に対して異なる境界値を持つこと、およびセルバーグの不等式のように非対称な境界値を持つことを明確にすることが^できます ^{。[ 22 ]}

オルキンとプラットは相関変数に対する不等式を導出した。^{[ 24 ]}${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k_{i}\right)\geq 1-{\frac {1}{n^{2}}}\left({\sqrt {u}}+{\sqrt {n-1}}{\sqrt {n\sum _{i}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}-u}}\right)^{2}}$

ここで、合計は変数全体にわたって行われ、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}+2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j<i}{\frac {\rho _{ij}}{k_{i}k_{j}}}}$

ここで、 との相関関係は です。 ${\displaystyle \rho _{ij}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{j}}$

オルキンとプラットの不等式はその後ゴドウィンによって一般化された。^{[ 25 ]}

より高い瞬間

ミッツェンマッハーとウプファル^{[ 26 ]}は、マルコフの不等式を非負変数に適用することで、裾の境界の族が得られること を指摘している。${\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|^{n}}$

${\displaystyle \Pr \left(|X-\operatorname {E} (X)|\geq k\operatorname {E} (|X-\operatorname {E} (X)|^{n})^{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{k^{n}}},\qquad k>0,\ n\geq 2.}$

に対して、チェビシェフの不等式が得られます。そして^番目のモーメントが存在すると仮定すると、この上界はチェビシェフの不等式よりも厳密です。この方法はモーメント法と呼ばれ、末尾の境界を証明するためによく用いられます。 ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle k\geq 1,\ n>4}$ ${\displaystyle n}$

指数モーメント

関連する不等式として、指数チェビシェフの不等式^{[ 27 ]}と呼ばれる不等式がある。

${\displaystyle \Pr(X\geq \varepsilon )\leq e^{-t\varepsilon }\operatorname {E} \left(e^{tX}\right),\qquad t>0.}$

キュムラント生成関数をとすると、 ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle K(t)=\log \left(\operatorname {E} \left(e^{tx}\right)\right).}$

のルジャンドル・フェンシェル変換と指数チェビシェフの不等式を用いると、 ${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle -\log(\Pr(X\geq \varepsilon ))\geq \sup _{t}(t\varepsilon -K(t)).}$

この不等式は、無限変数に対する指数不等式を得るために使用できる。^{[ 28 ]}

制限付き変数

が区間 に基づく有限台を持つ場合、 とする。ここで はの絶対値である。 の平均がゼロの場合、すべての に対して となる。^{[ 29 ]}${\displaystyle \Pr(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M=\max(|a|,|b|)}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pr(x)}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})-k^{r}}{M^{r}}}\leq \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{k^{r}}}.}$

の不等式のうち2番目はチェビシェフ境界です。1番目は の値の下限値を与えます。 ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle \Pr(x)}$

有限サンプル

単変量の場合

ソーらはチェビシェフの不等式を、母集団の平均と分散が不明で存在しない可能性もあるが、標本平均と標本標準偏差を用いて同じ分布から新しい抽出値の期待値を制限する必要がある場合に拡張した。^{[ 30 ]}この不等式のより単純なバージョンはカバンによって示されている。^{[ 31 ]}${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {N+1}{N}}\left({\frac {N-1}{k^{2}}}+1\right)\right\rfloor }$

ここで、 は、回数サンプリングしたランダム変数、はサンプル平均、は定数、はサンプル標準偏差です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$

この不等式は、母集団モーメントが存在しない場合でも、また標本が弱く交換可能に分布している場合でも成り立ちます。この基準は、ランダム化サンプリングに対しては満たされます。有限標本サイズ ( ) に対する Saw–Yang–Mo 不等式の値の表は、Konijn によって決定されています。^{[ 32 ]}この表により、標本から計算された平均の標準誤差の倍数 C に基づいて、平均のさまざまな信頼区間を計算できます。たとえば、Konijn は、 の場合、平均の 95% 信頼区間はであり、ここで（これは正規性の仮定に基づいて見つかった値の 2.28 倍大きく、分布の正確な性質を知らないことから生じる精度の低下を示しています）を示しています。 ${\displaystyle N<100}$ ${\displaystyle N=59}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (m-Cs,m+Cs)}$ ${\displaystyle C=4.447\cdot 1.006=4.47}$

代わりに標本平均値を用いて同等の不等式を導くことができる。^{[ 31 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq km)\leq {\frac {N-1}{N}}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+{\frac {1}{N}}.}$

有限サンプルサイズ（）に対するSaw-Yang-Mo不等式の値の表はKonijnによって決定された。^{[ 32 ]}${\displaystyle N<100}$

固定された大きなSaw-Yang-Mo不等式は近似的に^{[ 33 ]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}.}$

ビーズリーらはこの不等式の修正を提案している^{[ 33 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{k^{2}(N+1)}}.}$

実証的な検証では、この修正は保守的であるものの、統計的検出力は低いように思われる。その理論的根拠は現時点では未解明である。

サンプルサイズへの依存

これらの不等式が有限標本に対して与える境界は、チェビシェフの不等式が分布に対して与える境界よりも緩やかです。これを説明するために、標本サイズを、 とします。チェビシェフの不等式によれば、分布の最大約11.11%が平均値から少なくとも3標準偏差離れた値をとることになります。有限標本に対するカバン版の不等式によれば、標本の最大約12.05%がこれらの限界外に位置することになります。信頼区間の標本サイズへの依存性については、以下でさらに詳しく説明します。 ${\displaystyle N=100}$ ${\displaystyle k=3}$

の場合、95%信頼区間はおよそ±13.5789標準偏差です。 ${\displaystyle N=10}$

95% 信頼区間は約 ±4.9595 標準偏差、99% 信頼区間は約 ±140.0 標準偏差です 。${\displaystyle N=100}$

95% 信頼区間は約 ±4.5574 標準偏差、99% 信頼区間は約 ±11.1620 標準偏差です 。${\displaystyle N=500}$

95% および 99% の信頼区間 は、それぞれ約 ±4.5141 および約 ±10.5330 標準偏差です。${\displaystyle N=1000}$

この分布のチェビシェフ不等式では、95% 信頼区間と 99% 信頼区間がそれぞれ約 ±4.472 標準偏差と ±10 標準偏差になります。

サミュエルソンの不等式

チェビシェフの不等式は任意の分布に対する最良の境界値ですが、有限の標本に対しては必ずしも当てはまりません。サミュエルソンの不等式は、標本のすべての値が平均値の標本標準偏差の範囲内に収まる必要があることを示しています。 ${\displaystyle {\sqrt {N-1}}}$

これに対し、チェビシェフの不等式は、標本の一部を除いてすべてが平均値の標準偏差内に収まることを述べています。標本が存在するため、これはどの標本も平均値の標準偏差外には収まらないことを意味し、これはサミュエルソンの不等式よりも不利です。しかし、チェビシェフの不等式の利点は、標本数に依存しない標準偏差の範囲の信頼限界を得るために、より一般的に適用できることです。 ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

半分散

より明確な境界を得るための別の方法として、半分散（偏分散）を用いる方法がある。上側（）および下側（）の半分散は以下のように定義される。 ${\displaystyle \sigma _{+}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{-}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}={\frac {\sum _{x>m}(x-m)^{2}}{n-1}},}$

${\displaystyle \sigma _{-}^{2}={\frac {\sum _{x<m}(m-x)^{2}}{n-1}},}$

ここで、 はサンプルの算術平均であり、はサンプル内の要素数です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

標本の分散は 2 つの半分散の合計です。

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{+}^{2}+\sigma _{-}^{2}.}$

下側半分散に関してチェビシェフの不等式は次のように書ける^{[ 34 ]}

${\displaystyle \Pr(x\leq m-a\sigma _{-})\leq {\frac {1}{a^{2}}}.}$

パッティング

${\displaystyle a={\frac {k\sigma }{\sigma _{-}}}.}$

チェビシェフの不等式は次のように書ける。

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{-}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

上側半分散についても同様の結果が得られます。

もし私たちが

${\displaystyle \sigma _{u}^{2}=\max(\sigma _{-}^{2},\sigma _{+}^{2}),}$

チェビシェフの不等式は次のように書ける。

${\displaystyle \Pr(|x\leq m-k\sigma |)\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{u}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

なぜなら、半分散を使用すると、元の不等式が明確になるからです。 ${\displaystyle \sigma _{u}^{2}\leq \sigma ^{2}}$

分布が対称であることが分かっている場合、

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}=\sigma _{-}^{2}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$

そして

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{2k^{2}}}.}$

この結果は、標準化された変数を使用して導き出された結果と一致します。

注記

より低い半分散を持つ不等式は、金融と農業における下振れリスクの推定に有用であることが分かっている。^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

多変量の場合

ステラトら^{[ 18 ]}は記法を簡略化し、Sawら^{[ 30 ]}の経験的チェビシェフ不等式を多変数の場合に拡張した。 を確率変数とし、 とする。のiidサンプルを抽出し、と表記する。最初のサンプルに基づいて、経験平均を、不偏経験共分散を と定義する。が特異でないならば、すべての に対して となる。 ${\textstyle \xi \in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ ${\textstyle N\in \mathbb {Z} _{\geq n_{\xi }}}$ ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \xi ^{(1)},\dots ,\xi ^{(N)},\xi ^{(N+1)}\in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\xi ^{(i)}}$ ${\textstyle \Sigma _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\xi ^{(i)}-\mu _{N})(\xi ^{(i)}-\mu _{N})^{\top }}$ ${\displaystyle \Sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\\[8pt]\leq {}&\min \left\{1,{\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {n_{\xi }(N+1)(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\rfloor \right\}.\end{aligned}}}$

備考

一変数の場合、すなわち、この不等式はSawら^{[ 30 ]}の不等式に対応する。 さらに、右辺は、床関数をその引数で上限制限することで簡略化できる。 ${\textstyle n_{\xi }=1}$

${\displaystyle P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\leq \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\}.}$

のとき、右辺は に近づき、これは に従った形状で を中心とする楕円体上の多変数チェビシェフ不等式に対応します。 ${\textstyle N\to \infty }$ ${\textstyle \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }}{\lambda ^{2}}}\right\}}$ ${\textstyle \Sigma }$ ${\textstyle \mu }$

シャープな境界

チェビシェフの不等式は、あらゆる分布に適用可能であるという点で重要である。その一般性ゆえに、確率変数の分布が既知である場合に用いられる他の手法ほど明確な境界値を与えない可能性がある（そして通常は与えない）。チェビシェフの不等式によって得られる境界値の明確さを向上させるために、いくつかの手法が開発されてきた。レビューについては、例えば^{[ 12 ] [ 37 ]を参照のこと。}

カンテリの不等式

フランチェスコ・パオロ・カンテリによるカンテリの不等式^{[ 38 ]}は、平均（）と分散（ ）を持つ実数確率変数（ ） に対して、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}}$

どこ。 ${\displaystyle a\geq 0}$

この不等式は、チェビシェフの不等式の片側変形を証明するために使用できる。^{[ 39 ]}${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$

片側変種の境界は鋭いこと​​が知られています。これを確認するには、以下の値を取る 確率変数を考えてみましょう。${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=1}$ 確率的に${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{1+\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle X=-\sigma ^{2}}$ 確率的に${\displaystyle {\frac {1}{1+\sigma ^{2}}}.}$

それからそしてそして。 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \Pr(X<1)=1/(1+\sigma ^{2})}$

応用：平均値と中央値の距離

片側変種は、期待値と中央値を持つ確率分布において、平均値と中央値の間には標準偏差以上の差がないという命題を証明するために使用できます。これを記号で表すと、 、、 をそれぞれ平均値、中央値、標準偏差とします。すると、 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \left|\mu -\nu \right|\leq \sigma .}$

分散が無限大の場合、この不等式は自明に成り立つため、分散が有限であると仮定する必要はありません。

証明は以下の通りである。片側不等式の式を代入すると次のようになる。 ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq \sigma )\leq {\frac {1}{2}}\implies \Pr(X\geq \mu +\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

との符号を変えると、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

中央値は定義により不等式を満たす 任意の実数であるので${\displaystyle m}$

${\displaystyle \Pr(X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\Pr(X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}}$

これは、中央値が平均値の1標準偏差以内にあることを意味します。ジェンセンの不等式を用いた証明も存在します。

バッタチャリヤの不等式

Bhattacharyya ^{[ 40 ]は}、分布の3次と4次のモーメントを用いてCantelliの不等式を拡張した。

およびを分散とする。およびととする。 ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =E[X^{3}]/\sigma ^{3}}$ ${\displaystyle \kappa =E[X^{4}]/\sigma ^{4}}$

もしそうなら ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -\gamma ^{2}-1}{(\kappa -\gamma ^{2}-1)(1+k^{2})+(k^{2}-k\gamma -1)}}.}$

の必要性は相当に大きいことを必要とするかもしれません。 ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$ ${\displaystyle k}$

この場合は次のように単純化される。 ${\displaystyle E[X^{3}]=0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}\quad {\text{for }}k>1.}$

が1 に近いため、この境界はとしてCantelli の境界よりもわずかに改善されます。 ${\displaystyle {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\kappa (k-1)}{2(\kappa -1)}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {k-1}{2}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ ${\displaystyle \kappa >1}$

チェビシェフの不等式より 2 倍勝ります。

ガウスの不等式

1823年にガウスは、ゼロに唯一のモードを持つ分布に対して、 ^{[ 41 ]}

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {4\operatorname {E} (X^{2})}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\geq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}),}$

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} (X^{2})}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\leq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}).}$

ヴィソチャンスキーとペチュニンの不等式

ヴィソチャンスキー・ペチュニン不等式は、単峰分布の最頻値からの偏差にのみ当てはまるガウスの不等式を、平均、あるいはより一般的には任意の中心からの偏差に一般化したものである。^{[ 42 ]}が平均と分散を持つ単峰分布である場合、不等式は次のようになる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k\geq {\sqrt {8/3}}=1.633.}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{3k^{2}}}-{\frac {1}{3}}\quad {\text{if}}\quad k\leq {\sqrt {8/3}}.}$

対称的な単峰性分布の場合、中央値と最頻値は等しいため、ヴィソチャンスキー・ペチュニン不等式とガウスの不等式はどちらも同じ中心に適用されます。さらに、対称分布の場合、片側境界は次の式で得られます。

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )=\Pr(X-\mu \leq -k\sigma )={\frac {1}{2}}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma ).}$

これらの裾野境界におけるの追加的な割合は、チェビシェフの不等式よりも優れた信頼区間をもたらします。例えば、任意の対称単峰性分布の場合、ヴィソチャンスキー・ペチュニン不等式によれば、分布の 4/(9 × 3^2) = 4/81 ≈ 4.9% が最頻値の3標準偏差外に位置することになります。 ${\displaystyle 4/9}$

特定の分布の境界

ダスグプタは、分布が正規分布であると分かっている場合、^{[ 43 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{3k^{2}}}.}$

ダス・グプタの不等式から、正規分布では少なくとも95%の分布が平均値の約2.582標準偏差以内に収まることがわかります。これは真の値（平均値の約1.96標準偏差）よりも緩やかです。

• DasGuptaはこの不等式に対する正規分布の最良の境界値を決定した。^{[ 43 ]}
• ステリガとシナルはこれらの境界をパレート分布に拡張した。^{[ 44 ]}
• Grechukらは、任意の分布族、および標準偏差の代わりに任意の偏差リスク尺度に対して、チェビシェフの不等式の最良の境界を導出する一般的な手法を開発した。特に、彼らは対数凹密度分布に対するチェビシェフの不等式を導出した。^{[ 45 ]}

関連する不平等

関連する不等式は他にもいくつか知られています。

ペイリー・ジグムント不等式

ペイリー・ジグムント不等式は裾確率の下限を与えるが、チェビシェフ不等式は上限を与える。^{[ 46 ]}これを確率変数の2乗に適用すると、

${\displaystyle \Pr(|Z|>\theta {\sqrt {E[Z^{2}]}})\geq {\frac {(1-\theta ^{2})^{2}E[Z^{2}]^{2}}{E[Z^{4}]}}.}$

ハルデーンの変革

^{チェビシェフの不等式の応用例の一つは、}分布が未知の変量の信頼区間を作成することである。ハルデン^{[ 47 ]}は、ケンドール[ ^{48 ]}によって導かれた式を用いて、変量( )が平均ゼロ、分散1、歪度( )と尖度( )の両方が有限である場合、その変量は正規分布に従う標準得点( ) に変換できることを指摘した。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=x-{\frac {\gamma }{6}}(x^{2}-1)+{\frac {x}{72}}[2\gamma ^{2}(4x^{2}-7)-3\kappa (x^{2}-3)]+\cdots }$

この変換は、チェビシェフの不等式の代替として、または未知の分布を持つ変量の信頼区間を導くための補助として役立つ場合があります。

この変換は、中程度に歪んだ分布や尖った分布には役立ちますが、分布が著しく歪んだ分布や尖った分布の場合はパフォーマンスが低下します。

彼、張、張の不等式

期待値1のn個の非負独立確率変数X _iの任意の集合に対して^{[ 49 ]}

${\displaystyle \Pr \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}-1\geq {\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {7}{8}}.}$

積分チェビシェフ不等式

チェビシェフにちなんで名付けられた2つ目の不等式（あまり知られていない）がある。^{[ 50 ]}

同じ単調性を持つ 2つの単調関数の場合、${\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx\geq \left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\right]\left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!g(x)\,dx\right].}$

と が逆の単調性を持つ 場合、上記の不等式は逆の方向に作用します。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

補題—とを上で同じ単調性を持つ単調関数とする。すると任意のに対して ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ $${\displaystyle (f(x)-f(y))(g(x)-g(y))\geq 0.}$$

証拠

この不等式を および について積分します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))\,dx\,dy\geq 0.}$$

積分関数を展開すると次のようになります。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}\left[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)\right]\,dx\,dy\geq 0.}$$

二重積分を 4 つの部分に分けます。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\,dy-\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(x)g(y)\,dx\,dy-\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(y)g(x)\,dx\,dy+\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.}$$

各内部積分の積分変数は独立しているので、次の式が成り立ちます。

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\,dy=(b-a)\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(y)g(y)\,dx\,dy=(b-a)\int _{a}^{b}f(y)g(y)\,dy=(b-a)\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(x)g(y)\,dx\,dy=\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(y)\,dy\right),}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}f(y)g(x)\,dx\,dy=\left(\int _{a}^{b}f(y)\,dy\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)\,dx\right)=\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)\,dx\right).}$

させて

$${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,\quad F=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\quad G=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

これらを不等式に代入します。

$${\displaystyle (b-a)I-FG-FG+(b-a)I\geq 0.}$$

簡素化:

$${\displaystyle 2(b-a)I-2FG\geq 0.}$$

を で割ると（ であることに注意）： ${\displaystyle 2(b-a)}$ ${\displaystyle b-a>0}$

$${\displaystyle I\geq {\frac {FG}{(b-a)}}.}$$

両辺をで割ると次のようになります。 ${\displaystyle b-a}$

$${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}g(x)\,dx\right).}$$

これで証明は完了です。

この不等式は、イェンセンの不等式^{[ 51 ]} 、カントロヴィッチの不等式^{[ 52 ]}、エルミート・アダマールの不等式^{[ 52 ]}、ウォルターの予想^{[ 53 ]}と関連している。

その他の不平等

チェビシェフに関連する不等式は他にも多数あります。

• チェビシェフの和不等式
• チェビシェフ・マルコフ・スティルチェス不等式

注記

環境保護庁は、信頼区間を推定するためにチェビシェフの不等式を使用するベストプラクティスを提案している。^{[ 54 ]}

参照

• 多次元チェビシェフの不等式
• 集中不等式- ランダム変数の裾の境界の概要。
• コーニッシュ・フィッシャー拡大
• イートンの不等式
• コルモゴロフの不等式
• チェビシェフの不等式を用いた大数の弱法則の証明
• ル・カムの定理
• ペイリー・ジグムント不等式
• ヴィソチャンスキー・ペチュニン不等式—単峰性確率分布に適用可能なより強い結果
• レングラールの不等式

参考文献

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外部リンク

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