これは合成級数に似ていますが、2 つの概念は一般に異なります。主級数は最大正規級数ですが、合成級数は最大劣正規級数です。
主系列は、グループをそれほど複雑でない部分に分割したものと考えることができ、これを使用してグループのさまざまな品質を特徴付けることができます。
意味
主級数とは、群の最大正規級数である。同様に、主級数とは、内部自己同型作用下の群Gの合成級数でもある。
詳細には、Gが群である場合、Gの主級数は正規部分群N i ⊆ Gの有限集合であり、
となる。各商群 N i +1 / N i（i = 1, 2,..., n − 1 ）はG / N iの最小正規部分群となる。同様に、任意のiに対してN i < A < N i +1となるようなGの正規部分群Aは存在しない。言い換えれば、主級数はGの正規部分群をそれに加えることができ ないという意味で「完全」であると考えられる。
主級数における因子群N i +1 / N iは、その級数の主因子と呼ばれる。合成因子とは異なり、主因子は必ずしも単純ではない。つまり、 N i < A < N i +1を満たすN i +1に正規な部分群Aが存在する可能性があるが、AはGに正規ではない。しかし、主因子は常に特性的に単純である。つまり、適切な非自明な特性部分群を持たない。特に、有限主因子は同型単純群の直積である。
プロパティ
存在
有限群には必ず主級数が存在するが、無限群には必ずしも主級数が存在する必要はない。例えば、演算として加法を用いる整数群Zには主級数がない。これを理解するには、Zが巡回かつ可換群であるため、そのすべての部分群も正規かつ巡回群であることに注意する必要がある。主級数N i が存在すると仮定すると、直ちに矛盾が生じる。N 1は巡回群であるため、ある整数aによって生成されるが、2 aによって生成される部分群はN 1に適切に含まれる非自明な正規部分群であり、主級数の定義に矛盾する。
ユニークさ
群の主級数が存在する場合、それは一般に一意ではない。しかし、ジョルダン・ヘルダー定理の一種によれば、群の主因子は、それらが構成される特定の主級数とは無関係に、同型性を除いて一意である[1]。特に、主因子の数は群Gの不変量であり、主因子の 同型類とその重複度も同様である。
その他の特性
アーベル群では、すべての部分群が正規群であるため、主級数と合成級数は同一です。
任意の正規部分群N ⊆ Gが与えられれば、 Nをその元の一つとする主級数が必ず見つかる（そもそもGの主級数が存在すると仮定する）。また、 Gに主級数があり、NがGにおいて正規である場合、 NとG / N の両方に主級数が存在する。逆もまた成り立つ。すなわち、N がGにおいて正規であり、 NとG / N の両方に主級数が存在する場合、G にも主級数が存在する。
参考文献
- ^ Lafuente, J. (1978年11月). 「与えられた導来クラスの準同型と形成」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 84 (3). ケンブリッジ大学出版局: 437– 442. doi :10.1017/S0305004100055262.
- アイザックス、I. マーティン(1994). 『代数学：大学院課程』 ブルックス/コール. ISBN 0-534-19002-2。
