カイラル代数

数学において、カイラル代数は、物理学におけるやや曖昧な概念であるカイラル代数の厳密な版として、BeilinsonとDrinfeld (2004) [1] によって導入された代数^構造である。BeilinsonとDrinfeldは著書『カイラル代数』の中で、 D加群の擬テンソル圏に基づくカイラル代数の概念を導入した。彼らは、形式的な冪級数に基づく「座標に依存しない」頂点代数の概念を与えた。曲線上のカイラル代数は、本質的に共形頂点代数である。

意味

滑らかな代数曲線上のカイラル代数^[2]は、右D-加群であり、 上へのD-加群準同型と埋め込みを備え、以下の条件を満たす。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ $${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}{\mathcal {A}}}$$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle \Omega \hookrightarrow {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle \mu =-\sigma _{12}\circ \mu \circ \sigma _{12}}$ （歪対称性）
• ${\displaystyle \mu _{1\{23\}}=\mu _{\{12\}3}+\mu _{2\{13\}}}$ （ヤコビ恒等式）
• 単位写像は準同型写像と両立する。つまり、次の図は可換である。${\displaystyle \mu _{\Omega }:\Omega \boxtimes \Omega (\infty \Delta )\rightarrow \Delta _{!}\Omega }$

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&\Omega \boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\rightarrow &{\mathcal {A}}\boxtimes {\mathcal {A}}(\infty \Delta )&\\&\downarrow &&\downarrow \\&\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\rightarrow &\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\\\end{array}}}$$ ここで、上の層 に対して、 層は上の切断が対角線上の任意の極を持つ 外積テンソル積の切断である層のことである。は標準バンドルであり、「デルタ関数による対角拡張」は ${\displaystyle {\mathcal {M}},{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(\infty \Delta )=\varinjlim {\mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(n\Delta ),}$$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Delta _{!}}$ $${\displaystyle \Delta _{!}{\mathcal {M}}={\frac {\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}(\infty \Delta )}{\Omega \boxtimes {\mathcal {M}}}}.}$$

他の代数との関係

頂点代数

BorcherdsまたはKacによって定義された頂点代数のカテゴリは、並進群に関して同変なカイラル代数のカテゴリと同等です。 ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle T}$

因数分解代数

カイラル代数は因数分解代数として再定式化することもできます。

参照

• キラルホモロジー
• カイラルリー代数

参考文献

1. Beilinson, Alexander (2004). Chiral algebras . Colloquium Publications. Vladimir G. Drinfeld (Online-Ausg ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3528-9。
2. ベン＝ズヴィ、デイビッド、フレンケル、エドワード (2004).頂点代数と代数曲線（第2版）. プロビデンス、ロードアイランド: アメリカ数学会. p. 339. ISBN 9781470413156。

さらに読む

• フランシス, ジョン; ゲイツゴリー, デニス (2012). 「カイラル・コズル双対性」. Sel. Math . New Series. 18 (1): 27– 87. arXiv : 1103.5803 . doi :10.1007/s00029-011-0065-z. S2CID  8316715.