チャープ圧縮

チャープパルス圧縮処理は、 持続時間の長い周波数符号化パルスを、振幅が大幅に増加した狭パルスに変換します。この圧縮処理は、持続時間の長い低ピーク電力パルスから高ピーク電力の狭パルスを生成できるため、レーダーやソナーシステムで広く用いられています。さらに、圧縮パルスの半値幅がシステム帯域幅と一致するため、優れた距離分解能が得られます。

レーダー応用のための方法の基礎は1940年代後半から1950年代前半にかけて開発されたが^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}、この主題が機密解除された1960年になって初めて、このテーマに関する詳細な論文がパブリックドメインとなった。^{[ 4 ]}その後、バートンが編纂した論文集に収められている包括的な論文からもわかるように、出版された論文の数は急速に増加した。^{[ 5 ]}

簡単に言えば、基本的なパルス圧縮特性は次のように関連付けられます。時間周期Tで周波数範囲F1からF2を掃引するチャープ波形の場合、パルスの公称帯域幅はB（B = F2 – F1）であり、パルスの時間帯域幅積はT×Bです。パルス圧縮後、持続時間τ（τ ≈ 1/B）の狭いパルスが得られ、ピーク電圧増幅率は√T ×Bとなります。

チャープ圧縮プロセス – 概要

周波数がF1 HzからF2 Hzまで直線的に掃引される、持続時間T秒のチャープパルスを圧縮するには、分散遅延線の特性を持つデバイスが必要です。このデバイスは、最初に生成される周波数F1に対して最大の遅延を提供しますが、遅延は周波数に応じて直線的に減少し、最終周波数F2ではT秒短くなります。このような遅延特性により、チャープのすべての周波数成分がデバイスを通過し、同時に検出器に到達して互いに増幅し合い、図に示すように、狭く高振幅のパルスを生成します。

要求される遅延特性を記述する式は

${\displaystyle Y(f)=\exp[j\pi (f-f_{0})^{2}/k]}$

これは位相成分ψ (f)を持ち、

${\displaystyle \psi (f)=\pi .(f-f_{0})^{2}/k}$ 、瞬間遅延t _dは次のように与えられる。

${\displaystyle t_{d}=-{\frac {1}{2\pi}}.{\frac {d\psi}{df}}={\frac {1}{k}}.(f_{0}-f)}$

これは、要求通り、周波数に対して線形勾配を持つ。この式では、遅延特性は（便宜上）正規化されており、周波数 f が搬送周波数 f ₀に等しいときに遅延がゼロとなる。したがって、瞬時周波数が(f ₀ − B/2)または(f ₀ + B/2)のとき、必要な遅延はそれぞれ+T/2または−T/2となり、k = B/Tとなる。

必要な分散特性は、集中素子遅延ネットワーク^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} SAWデバイス^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [13 ] [ 14 ]またはデジタル信号処理[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}によって^{得られる。}

パルス圧縮の概念の概要

マッチドフィルタによる圧縮

チャープパルスは、その発生方法に関わらず、分散特性を持つ一対のフィルタのうちの一方の出力とみなすことができます。したがって、送信フィルタの群遅延応答が周波数とともに増加する場合、受信フィルタの群遅延応答は周波数とともに減少し、逆もまた同様です。^{[ 6 ]}

原理的には、送信パルスは分散送信フィルタの入力にインパルスを印加することで生成され、得られた出力チャープは送信に必要な振幅に増幅されます。あるいは、電圧制御発振器を用いてチャープ信号を生成することもできます。^{[ 6 ]}最大送信電力（ひいては最大到達距離）を達成するために、レーダーシステムは通常、限界に近い状態で動作している送信機から一定振幅のチャープパルスを送信します。目標物から反射されたチャープ信号は受信機で増幅され、その後、前述のように圧縮フィルタによって処理され、高振幅の狭いパルスとなります。

一般的に、圧縮プロセスは整合フィルタシステムの実用的な実装である。^{[ 6 ] [ 7 ]}圧縮フィルタを放射チャープ信号に整合させるには、その応答は送信フィルタのインパルス応答の時間逆数の複素共役となる。したがって、この整合フィルタの出力は、信号h(t)と共役インパルス応答h*(-t)の畳み込みによって与えられる。

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot h^{*}(t-\tau )\,d\tau }$

あるいは、符号化フィルタの周波数応答がH( ω )、整合フィルタの周波数応答がH*( ω )の場合、圧縮パルスのスペクトルは|H( ω )| ²となる。このスペクトルの波形は逆フーリエ変換から得られる。すなわち、

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|H(\omega )|^{2}\exp(j\omega t)\,d\omega }$

振幅が一定で持続時間Tが一定の線形チャープの場合、整合フィルタによる圧縮により、持続時間2Tのsinc特性を持つ波形が得られます（後述）。そのため、主パルスに加えて、多数の時間サイドローブ（より正確にはレンジサイドローブ）が存在し、その最大のものでもピーク信号レベルよりわずか13.5dB低い値となります。

より望ましいパルス特性（例えば、より低いサイドローブ）を得るために、整合フィルタに代わる方法がしばしば好まれます。このより一般的なケースでは、圧縮フィルタは例えばインパルス応答g(t)とスペクトル応答G( ω )を持ち、y(t)の式は次のようになります。

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot g^{*}(t-\tau )\,d\tau }$

そして

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }H(\omega )\cdot G^{*}(\omega )\cdot \exp(j\omega t)\,d\omega }$

真の整合フィルタのパフォーマンスと比較すると、処理ゲインがいくらか失われ、メインパルスローブが広くなり、圧縮された波形の合計持続時間が 2T (通常) を超えます。

線形チャープへのウィンドウ処理の適用

圧縮パルスのシンク特性は、線形チャープパルスのスペクトルが矩形プロファイルを持つことに直接起因する。重み付け（またはウィンドウ処理、あるいはアポダイゼーション）関数を用いてスペクトルをベル型プロファイルに修正することで、サイドローブのレベルを低減できる。^{[ 4 ] [ 18 ]}ウィンドウ処理を実施すると、信号減衰が発生し、メインパルスが広がるため、信号対雑音比と距離分解能の両方が低下する。送信パルスと受信パルスは同程度に修正することが望ましいが、これが現実的でない場合は、圧縮フィルタのみでウィンドウ処理を実施するのが効果的である。

線形チャープのドップラー耐性

チャープの周波数掃引が線形の場合、圧縮プロセスは、広範囲の時間帯域幅積において、目標反射波のドップラー周波数シフトに対して非常に耐性があることが分かっています。T×Bが非常に大きい場合（例えば2000以上）、ドップラーによる性能低下（主パルスの広がりとサイドローブレベルの上昇）が問題となります。このような状況では、双曲線周波数則を持つチャープが使用可能です。これは、ドップラーシフトに対して完全に耐性があることが示されているためです。^{[ 19 ] [ 20 ]}圧縮されたパルススペクトルにも、線形チャープと同様に、サイドローブレベルを低減するためのウィンドウ処理を適用できます。^{[ 18 ]}

遠く離れたサイドローブ

時間帯域幅積が小さい場合、異なる懸念事項が生じます。T×Bが約75未満のとき、特に圧縮器内部のみに適用された場合、ウィンドウ処理は完全には成功しません。このような状況では、近傍のサイドローブは予想どおりに低減されますが、メインローブから遠ざかるにつれて、サイドローブの振幅が再び増加することがわかります。これらのサイドローブは、圧縮パルスのメインローブの両側±T/2の位置で最大値に達する傾向があり^{[ 21 ]}、これは周波数スペクトル上に存在するフレネルリップルの結果です。この点については後ほど詳しく説明します。

スペクトルリップル（チャープスペクトル参照）の振幅を低減し、これらの遠方サイドローブの振幅を低減する技術は存在しますが、T×Bが小さい場合にはあまり効果的ではありません。実際には、「逆リップル補正」^{[ 11 ] [ 22 ] [ 23 ]}という技術（圧縮フィルタのスペクトルが信号のリップル特性と逆のリップル特性を持つように設計されている場合）は良好な結果をもたらしますが、信号反射に大きなドップラー周波数シフトが含まれている場合には、この方法はそれほど効果的ではありません。

非線形チャープ

ベル型のスペクトル形状を実現し、サイドローブを低減する別の方法として、周波数帯域を非線形掃引する方法があります。必要な特性は、帯域端付近で周波数を急激に変化させ、帯域中心付近では変化率を緩やかにすることで得られます。この方法は、線形チャープのスペクトルに振幅重み付けを適用するよりも効率的に必要なスペクトル形状を実現します。なぜなら、この特性を実現するために信号電力の減衰を必要としないからです。^{[ 8 ] [ 24 ]}さらに、この手法では、同等の線形掃引バージョンよりも遠方のサイドローブが低くなる傾向があります。非線形チャープの数学は線形チャープよりも複雑であるため、初期の研究者の多くは定常位相法を用いて設計を行いました。^{[ 23 ] [ 25 ]}

非線形掃引を用いた結果は、パルスの時間帯域幅積（T×B >100）が大きい場合に特に良好です。しかし、ターゲットからの反射波がドップラー周波数シフトの影響を受ける場合、非線形掃引は慎重に使用する必要があります。ドップラーシフトがわずかなレベルであっても、後に示すように、圧縮されたメインパルスのプロファイルを著しく劣化させ、サイドローブレベルを上昇させる可能性があります。

チャープ波形の生成 - アナログ方式

初期の分散フィルタの多くは、集中定数オールパスフィルタセクションを使用して構築されていました。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 23 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}しかし、これらは精度良く製造することが難しく、満足のいく再現性のある性能を達成することが困難でした。その結果、これらの初期システムでは、スペクトル重み付けを行った後でも圧縮パルスの時間サイドローブレベルが高く、当時の位相符号化やチップ符号化で達成された結果よりも良い結果は得られませんでした。^{[ 30 ]}通常、サイドローブレベルは-20～-25 dBの範囲でした^{[ 23 ]}これは、後の成果と比較すると悪い結果でした。

電圧制御発振器を信号源として使用した場合にも同様の問題がありました。VCOのチャープ特性を分散遅延線に整合させることは困難であり、さらに適切な温度補償を実現することも困難でした。^{[ 7 ] [ 31 ]}

チャープパルス生成および圧縮システムの性能は、 SAWフィルタの開発によって大幅に向上しました。^{[ 11 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}これにより、フィルタ特性の合成精度が向上し、結果としてレーダー性能も大幅に向上しました。石英基板固有の温度感受性は、送信フィルタと受信フィルタの両方を共通のパッケージに実装して熱補償を行うことで克服されました。SAW技術によって実現される精度の向上により、レーダーシステムで−30 dBに近い時間サイドローブレベルを実現できるようになりました。（実際、現在達成可能な性能レベルは、SAWの欠陥よりも、システムハードウェアの制限によって決まる部分が大きいです）。

SAW技術は今でもレーダーシステムに関連しており^{[ 12 ]}、特にデジタル技術（下記参照）が必ずしも適切ではない、または実装が難しい場合がある非常に広帯域のスイープを使用するシステムに有用である。

チャープ波形の生成 - デジタル方式

20世紀後半には、小型で高性能なコンピュータと広いダイナミックレンジを提供する高速D/AおよびA/Dコンバータが登場し、デジタル技術によって信号処理に新たなアプローチがもたらされました。（デジタル-アナログコンバータとアナログ-デジタルコンバータを参照）。^{[ 16 ] [ 17 ]}

典型的な設置では、送信パルスのデータは、ベースバンドI/Qサンプルのシーケンス（直交位相を参照）または低IF波形のサンプルとしてデジタルメモリに保存され、必要に応じて高速D/Aコンバータに読み出されます。このようにして生成されたアナログ信号は、送信のためにアップコンバートされます。受信時には、返送信号が増幅され、通常は低IF信号またはベースバンドI/Q信号に変換された後、A/Dコンバータによってデジタル化されます。チャープ信号の圧縮と追加の信号処理はすべて、圧縮処理を数値的に実行するために必要なチャープパルスデータを内蔵したデジタルコンピュータによって実行されます。

デジタル信号処理はFFT法を用いて容易に実行できる。チャープ系列をa(n)、圧縮フィルタのチャープ系列をb(n)とすると、圧縮されたパルス系列c(n)は次のように表される。

${\displaystyle c_{1}(n)=IFFT[FFT\left\{a(n)\right\}^{*}FFT\left\{b(n)\right\}]}$

例えば、レーダーシステムでは実際には、圧縮されるのはチャープパルスシーケンスだけではなく、返されるチャープパルスが含まれる所定の距離スポークからの長いデータシーケンスである。便宜上、また実用的なサイズのFFTを使用できるようにするために、データは短い長さに分割され、上記の式を繰り返し使用して圧縮される。オーバーラップ保存法を適用することにより、全期間の圧縮信号^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}の再構成が達成される。このプロセスでは、変換シーケンスFFT{b(n)}は、繰り返し使用するためにコンピュータに保存する前に、一度だけ計算する必要がある。

システム特性による脈拍障害

システム全体の性能が期待外れになる理由は数多くありますが、前述のように、信号反射におけるドップラーシフトの存在は信号劣化の一般的な原因です。一部の研究者^{[ 38 ] [ 39 ]}は、チャープのドップラー耐性を評価する方法として、 アンビギュイティ関数^{[ 40 ]}の使用を支持しています。

信号劣化の他の原因としては、通過帯域全体にわたる振幅リップルとスロープ、通過帯域全体にわたる位相リップル、帯域制限フィルタによって引き起こされる帯域端での大きな位相シフト、不十分な電源レギュレーションによる位相変調などが挙げられ、これらはすべてサイドローブレベルの上昇につながります。これらの様々なパラメータの許容値は、ペアドエコー理論を用いて導出できます。^{[ 23 ] [ 41 ]}幸いなことに、最新の処理技術と、逆リップル補正に類似した手順、あるいは適応フィルタを用いた最適化手法を用いることで、これらの欠点の多くを補正することが可能です。

もう一つの波形劣化は、エクリプス（食）によって引き起こされます。エクリプスとは、戻ってくるチャープパルスの一部が欠落する現象です。予想通り、この現象は信号振幅の損失とサイドローブレベルの上昇をもたらします。^{[ 42 ]}

チャープ圧縮の一般的な閉形式解

単位振幅の単一の線形チャープパルスの特性は次のように記述できる。

${\displaystyle s_{1}(t)=\operatorname {rect} \left({\frac {t}{T}}\right).e^{2\pi j(f_{0}t+kt^{2}/2)}}$

ここで、rect(z)は、|z| < 1/2の場合はrect(z) = 1、|z| > 1/2の場合はrect(z) = 0と定義されます。

位相応答φ (t)は次のように与えられる。

${\displaystyle \phi (t)=2\pi (f_{0}t+kt^{2}/2)}$

そして瞬時周波数f _Iは

${\displaystyle f_{i}={\frac {1}{2\pi }}.{\frac {d\phi }{dt}}=f_{0}+kt}$

したがって、パルスのT秒間の持続時間中、周波数はf ₀ – kT/2からf ₀ + kT/2まで直線的に変化します。正味の周波数掃引をB（B = (F1- F2)）と定義すると、前述のようにk = B/Tとなります。

この波形のスペクトルは、その変換から求められる。

${\displaystyle S_{1}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s_{1}(t).e^{-j2\pi .ft}.dt=\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}e^{j2\pi .[(f_{0}-f)t+{\frac {kt^{2}}{2}}]}.dt}$

これはチャープスペクトルで評価された積分です。

圧縮パルスのスペクトルは、

${\displaystyle S_{\text{out}}(f)=Y(f).S_{1}(f)}$

ここで、Y(f)は圧縮フィルタのスペクトルです。

圧縮パルスの時間領域波形は、の逆変換として求めることができます。（この手順はChinとCookの論文^{[ 9 ] [ 43 ]}で説明されています。） ${\displaystyle s_{\text{out}}(t)}$ ${\displaystyle S_{\text{out}}(f)}$

ここでは、2つの時間領域応答の 畳み込みから求める方が便利です。${\displaystyle s_{\text{out}}(t)}$

${\displaystyle s_{\text{out}}(t)=s_{1}(t)^{*}y(t)}$

ここで、2つの任意の関数の畳み込みは次のように定義される。

${\displaystyle f(t)^{*}g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ).g(t-\tau ).d\tau }$

しかし、この方法を使用するには、まずY(f)のインパルス応答が必要です。これはy(t)で、これは次のように得られます。

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }Y(f).e^{j2\pi .ft}.df=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j\pi .(f-f_{0})^{2}/k}.e^{j2\pi .ft}.df}$

${\displaystyle {{\text{Put}}\quad f-f_{0}=u\quad {\text{so}}\quad f=u-f_{0}\quad {\text{and}}\quad df=du.\qquad {\text{また}}\quad f=\pm \infty \quad {\text{then}}\quad u=\pm \infty }}$

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j\pi .u^{2}/k}.e^{j2\pi .(u+f_{0})t}.du=e^{j2\pi .f_{0}t}\int _{-\infty }^{\infty }e^{j\pi .u^{2}/k}.e^{j2\pi .ut}.du}$

標準積分の表^{[ 44 ]}は次の変換を与える。 ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-\pi \beta .u^{2}).\exp(j2\pi .ut).du={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}.\exp \left(-{\frac {\pi .t^{2}}{\beta }}\right)}$

式を比較すると、β = -j/kの場合には等価なので、y(t)は次のようになる。

${\displaystyle y(t)={\sqrt {jk}}.e^{j2\pi .f_{0}t}.e^{-j\pi .t^{2}k}={\sqrt {\frac {jB}{T}}}.e^{j2\pi .f_{0}t}.e^{-j\pi .t^{2}.k}={\sqrt {\frac {jB}{T}}}.e^{j2\pi (f_{0}tt^{2}k/2)}}$

[注: 同じ変換はフーリエ変換の206番にも記載されていますが、π βがαに置き換えられています]

y(t)が決定されれば、出力s _{out (t)はs 1} (t)とy(t) の畳み込みから得られる。すなわち、

${\displaystyle s_{\text{out}}(t)={\sqrt {\frac {jB}{T}}}.\int _{-T/2}^{T/2}e^{j2\pi (f_{0}\tau +k\tau ^{2}/2)}\cdot e^{j2\pi (f_{0}(t-\tau )-k(t-\tau )^{2}/2)}.d\tau }$

これは次のように簡略化できる。

${\displaystyle s_{\text{out}}(t)={\sqrt {\frac {jB}{T}}}.e^{j2\pi (f_{0}t-kt^{2}/2)}.\int _{-T/2}^{T/2}e^{j2\pi kt\tau }.d\tau }$

今も昔も ${\displaystyle \int _{}^{}e^{ax}.dx={\frac {e^{ax}}{a}}}$

${\displaystyle \int _{-T/2}^{T/2}e^{j2\pi .kt\tau }.d\tau ={\frac {1}{j2\pi kt}}.{\Bigl [}e^{j2\pi .kt\tau }{\Bigr ]}_{\text{-T/2}}^{\text{T/2}}={\frac {1}{j2\pi kt}}[e^{j2\pi kT/2}-e^{-j2\pi kT/2}]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\pi kt}}.{\frac {e^{j\pi Bt}-e^{-j\pi Bt}}{2j}}={\frac {1}{\pi kt}}.\sin(\pi Bt)}$

そして最後に

${\displaystyle s_{\text{out}}(t)={\frac {1}{\pi kt}}\cdot {\sqrt {\frac {jB}{T}}}\cdot \sin(\pi Bt).\exp[j2\pi (f_{0}t-kt^{2}/2)]}$

${\displaystyle ={\sqrt {T.B}}\cdot {\frac {\sin(\pi Bt)}{\pi Bt}}\cdot {\sqrt {j}}\cdot \exp[j2\pi (f_{0}t-kt^{2}/2)]}$

したがって、単位振幅の線形チャープ、パルス持続時間T秒、周波数掃引BHz（つまり「時間帯域幅積」TB）の場合、パルス圧縮によって得られる波形の振幅は次のようになります。

${\displaystyle \left|{\text{Compressed Output}}\right|\approx {\sqrt {T.B}}\times {\frac {\sin(\pi Bt)}{(\pi Bt)}}}$

これはよく知られたsinc関数の形をしている。パルス幅τは1/Bのオーダーである（τは-4dB点で測定）。その結果、パルス幅の減少はT/ τの比で与えられる。ここで ${\displaystyle {\frac {T}{\tau }}\approx T\times B}$

また、信号増幅もあります${\displaystyle {\sqrt {T\times B}}}$

主なパラメータは以下の図に示されています。TB積はシステムの圧縮率を示し、圧縮されたパルスのメインローブの信号対雑音比が元のチャープの信号対雑音比と比較してどの程度改善されるかにほぼ相当します。

線形チャープの特性

フレネルリップルによるパルス劣化

先ほど示した閉形式の解では、パルススペクトルの振幅が矩形であると仮定したため、圧縮波形は標準的なsinc関数応答を示します。実際には、線形チャープのスペクトルが矩形プロファイルを持つのは、パルスの時間帯域幅積が大きい場合、つまりT×Bが100を超える場合などです。積が小さい場合、チャープスペクトルに示すように、チャープパルスのスペクトルプロファイルはフレネルリップルによって著しく劣化し、整合フィルタのスペクトルプロファイルも同様に劣化します。これらのリップルの影響を十分に調査するには、畳み込み積分を評価するか、より簡便にはFFTを使用して、それぞれの状況を個別に検討することをお勧めします。

以下に、TB = 1000、250、100、25 の例を示します。これらはすべて、パルス ピークが 0 dB に設定されるように正規化された dB プロットです。

ご覧のとおり、TB値が高い場合、プロットはsinc特性とほぼ一致しますが、TB値が低い場合、大きな違いが見られます。既に述べたように、TB値が低い場合の波形の劣化は、スペクトル特性が完全な矩形ではなくなったためです。いずれの場合も、近傍サイドローブレベルはメインローブに対して約-13.5dBと、一貫して高くなっています。

これらのレンジサイドローブは、圧縮されたパルスでは歓迎されない存在です。なぜなら、それらは、存在する可能性のある低振幅の信号を覆い隠してしまうからです。

重み付け関数によるサイドローブの低減

圧縮パルスのシンク波のような特性は、スペクトルのほぼ矩形状のプロファイルに起因するため、例えばその特性をベル型に修正することで、サイドローブレベルを大幅に低減することが可能です。アンテナアレイとデジタル信号処理に関する過去の研究では、既にこの問題に対処しています。例えば、アンテナの場合、ビームパターン上の空間サイドローブは、アレイ素子に重み付け関数を適用することで改善されます^{[ 45 ]。}また、デジタル信号処理の場合、窓関数を用いて、サンプリングされた関数における不要なサイドローブの振幅を低減します^{[ 18 ]}。

この処理の例として、時間帯域幅積が250のチャープパルスのスペクトルを左側に示します。このスペクトルはほぼ長方形のプロファイルです。この下の左側のグラフは、整合フィルタによってチャープを圧縮した後の波形を示しており、予想通りsinc関数に似ています。右上のグラフは、ハミング重み付け後のスペクトルです（これは、チャープスペクトルと圧縮スペクトルの両方にルートハミング特性を適用することで実現しました）。このスペクトルに対応する圧縮パルス（右側の下のグラフに示されています）は、サイドローブレベルがはるかに低くなっています。

サイドローブレベルは大幅に低減しましたが、重み付け処理によって望ましくない影響もいくつか生じています。第一に、全体的な利得の低下が見られ、メインローブのピーク振幅は約5.4dB減少します。第二に、メインローブの半値幅が約50%増加します。例えばレーダーシステムでは、これらの影響はそれぞれ距離の損失と距離分解能の低下を引き起こします。

一般的に、サイドローブレベルを下げるほど、メインローブは広くなります。しかし、様々なウィンドウ関数はそれぞれ異なる動作をし、達成されるサイドローブレベルに対して不必要に広いメインローブを生成するものもあります。最も効率的な関数はドルフ・チェビシェフウィンドウ（ウィンドウ関数を参照）で、これは与えられたサイドローブレベルで最も狭いパルスを生成します。^{[ 18 ]}ビーム幅 × 帯域幅をサイドローブレベルとして表したグラフには、より優れた動作をするウィンドウ関数の例が示されています。

グラフの最も低い実線はドルフ・チェビシェフ重み付けで、既に述べたように、与えられたサイドローブレベルに対して可能な限り狭いローブ幅を設定します。したがって、このグラフから、-40 dBのサイドローブレベルが必要な場合、達成可能な最小の半値ビーム幅 × 帯域幅は1.2であることが分かります。したがって、20 MHzの周波数帯域を掃引するチャープは、少なくとも60ナノ秒の圧縮パルス幅を持つことになります。

図からわかるように、テイラー重み付けは特に効率的であり、ハミング関数、3項および4項のブラックマン・ハリス関数も良好な結果を示しています。cosN関数は性能が悪いものの^、数学的な操作が容易であり、初期の研究で詳細に研究されているため、ここに含めました。^{[ 23 ] [ 46 ]}

圧縮パルスの遠方サイドローブ

先に示したTB = 250でハミング重み付けされたチャープの例は、重み付けの利点を示していますが、ここでの結果は信号チャープとその圧縮器の両方に均等に重み付けを適用することで得られたため、通常の状況を代表するものではありません。しかし、一般的なレーダーシステムでは、送信機効率を最大化するために、チャープパルスは通常、圧縮状態またはそれに近い状態で動作する増幅器によって送信されます。このような場合、チャープ波形またはそのスペクトルの振幅変調は不可能であるため、完全なウィンドウ特性を圧縮器の応答に組み込む必要があります。残念ながら、この配置は、特にチャープの時間帯域幅が狭い場合、圧縮パルスの遠方のサイドローブに望ましくない結果をもたらします。

まず、TB = 250 の場合の圧縮パルスを考えてみましょう。これは下の図の左側に示されています。この結果では、送信パルスには重み付けは適用されていませんが、圧縮器には完全なハミング重み付けが適用されています。ご覧のとおり、近距離サイドローブレベルはハミング重み付け（-42 dB）と一致していますが、遠距離では、メインローブの両側+/- T/2 でサイドローブレベルがピーク値 -45 dB まで上昇しています。TB = 25 の右図では、遠距離サイドローブの問題はさらに深刻です。ここでは、これらのサイドローブは+/- T/2 で -25 dB まで上昇しています。

目安として、遠距離サイドローブレベルは次のように表されます。

${\displaystyle FarSL(dB)\approx -20\times \log _{\text{10}}(T.B)}$

この式には文献^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]}で若干のバリエーションが示されているが、それらの差はわずか数dBである。窓関数をコンプレッサー波形（振幅変調として）の時間領域に適用した場合、周波数領域でスペクトルに適用した場合よりも、最良の結果が得られると思われる。^{[ 50 ]}

遠方サイドローブの低減

遠方のサイドローブは圧縮パルススペクトルにおけるフレネルリップルの結果であるため、このリップルを低減する技術はサイドローブのレベルも低減します。実際、この低減を実現する方法はいくつかあります^{[ 51 ]}。そのいくつかはチャープスペクトルで紹介されています。

有限期間の立ち上がり時間と立ち下がり時間の導入

立ち上がり時間と立ち下がり時間が遅いチャープはスペクトル上のリップルが減少するため（チャープスペクトルを参照）、圧縮パルスの時間サイドローブは低くなります。例として、まず図を見てみましょう。これは、立ち上がり時間と立ち下がり時間が速く、T×B = 100でブラックマン・ハリス重み付けが適用された線形チャープの圧縮スペクトルです。このスペクトルに対応する波形では、予測どおり、時間サイドローブが約-40 dBまで上昇します。

線形の立ち上がり時間と立ち下がり時間が導入された後、示されている振幅テンプレートを使用すると、スペクトル上のリップルが大幅に減少し、時間サイドローブが大幅に低くなります（図を参照）。

この手順は、信号チャープとコンプレッサチャープの両方の立ち上がり時間を変更した場合に最も効果的であり、サイドローブレベルを15～20dB低減できます。ただし、送信機側で振幅変調を適用できない場合もあるため、コンプレッサ波形のみを変更した場合の改善効果は限定的です。それでも、約6dBのサイドローブ低減は可能です。

立ち上がり時間と立ち下がり時間を緩和する正確な方法はそれほど重要ではないので、圧縮されたパルススペクトルにコサインテーパーを追加する技術（Tukey ^{[ 18 ]}重み付け関数など）は、同様の改善（数dB）をもたらします。^{[ 21 ]}

この方法によって達成される改善はドップラーシフトを許容します。

位相特性の「微調整」の導入

波形の「微調整」の別の方法として、振幅変調ではなく周波数変調歪みをチャープに適用する方法があります。^{[ 23 ] [ 52 ] [ 53 ]}歪みレベルが低い場合、2種類の歪みは機能的に似ています。振幅変調と同様に、エクスパンダーとコンプレッサーの両方の波形を変更すると、最良の結果が得られます。

最良の結果を得るために、Cook と Paolillo は δf = 0.75×B および δ = 1/B を推奨しています。

例として、先に検討したT×B = 100、ブラックマン・ハリス重み付けのパルスを位相調整で変更した結果を示します。圧縮されたパルススペクトルのリップルが減少し、遠方のサイドローブも減少しています。

信号にドップラー周波数シフトが存在する場合でも、この改善は維持されます。最近の論文^{[ 54 ]}では、わずかに異なるパラメータ、すなわちδ = 0.86/Bおよびδf = 0.73×Bが提案されています。

また、KowatschとStocker ^{[ 21 ]}は、三次歪み関数を適用することで結果が改善されたと報告している（CookとPaolilloの手法は「二乗法則変調歪み」と呼ばれることもある）。この新しい特性は、ドップラー周波数シフトにも耐性がある。

相互リップル補正

マッチドフィルタのスペクトル応答は、チャープスペクトルが中心周波数に関して対称である場合、拡張パルスのスペクトル応答の振幅と鏡像の関係にあるため、圧縮処理によってスペクトル上のフレネルリップルが増大する。リップルを低減するために必要なのは、スペクトルが拡張器のリップルと逆（逆）のリップルを持つ圧縮フィルタである。^{[ 23 ]}これはマッチドフィルタではなくなるため、不整合損失が増加する。初期の研究^{[ 6 ] [ 9 ] [ 23 ]}では、クックは必要なフィルタの作成が困難すぎると考え、このような手順を試みることを推奨しなかった。しかし、SAW技術の出現により、必要な特性を実現することが可能になった。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 22 ] [ 33 ]}最近では、数学的に導出されたルックアップテーブルを用いたデジタル技術により、逆リップル補正を簡単に導入できるようになった。^{[ 16 ]}

圧縮パルスのスペクトルは、前述のように、エクスパンダフィルタとコンプレッサフィルタのスペクトルの積です。ここで、C(ω)の代わりに、フレネルリップルを持たず、ハミング窓で定義されるような所望のサイドローブ構造を定義する新しい出力スペクトルC'(ω)が定義されます。この要件を満たす圧縮フィルタは、次式で決定されます。

${\displaystyle K(\omega )={\frac {C'(\omega )}{H(\omega )}}}$

ここで、H( ω )は信号のスペクトル、C'( ω )は圧縮パルスの目標スペクトルであり、選択された重み関数の低いサイドローブを持ちます。K( ω )は圧縮フィルタのスペクトルであり、逆リップル特性を持ちます。近傍のサイドローブは、この処理で自動的に処理されます。

手順の例として、T×B =100の線形チャープを考えてみましょう。左側の図はチャープのスペクトル（半分）を示し、右側の図は圧縮後の波形を示しています。予想通り、近傍サイドローブは-13.5 dBから始まります。

次の図では、圧縮されたパルススペクトルにブラックマン・ハリス重み付けが適用されています。近距離サイドローブは低減されていますが、遠距離サイドローブは依然として高く、時間帯域幅積が100の場合の予測値である約-20×log ₁₀ (100) = -40 dBと予測されます。時間帯域幅積が小さい場合、これらのサイドローブはさらに高くなります。

次に、逆リップル補正を行う圧縮フィルタを使用しています。ご覧のとおり、リップルのないスペクトルが実現され、高レベルの遠方サイドローブのない波形が得られています。

しかし、この手順には問題があります。圧縮パルスのサイドローブを低く抑える圧縮スペクトルは見つかったものの、そのスペクトルの波形については考慮されていませんでした。このスペクトルに逆フーリエ変換を施し、波形の特性を求めると、波形の持続時間が非常に長く、典型的には10Tを超えることがわかります。波形が10T以下であると仮定したとしても、1つのチャープを処理するのに必要な時間は合計で少なくとも11Tとなり、これはほとんどの状況では許容できない長さです。

実用的な解決策として、ジャッド^{[ 22 ]}は圧縮パルスの全長を2Tに短縮することを提案したが、バトラー^{[ 11 ]}は1.6Tと1.3Tを提案した。10%ほどの延長も行われている^{[ 55 ]。}

残念ながら、新しいコンプレッサ波形が切り捨てられると、遠く離れたサイドローブが再び現れます。次の図は、コンプレッサを2Tの持続時間に設定し、その後1.1Tの持続時間に設定した場合に、圧縮されたパルスに何が起こるかを示しています。新たに遠く離れたサイドローブが現れ、その振幅は明瞭に確認できます。これらのサイドローブはしばしば「ゲーティングサイドローブ」と呼ばれます。^{[ 54 ]}これらのサイドローブは苛立たしいほど高くなることがありますが、幸いなことに、コンプレッサをわずか10%延長するように設定しても、サイドローブは補正なしの場合よりも低いレベルに抑えられます。

受信信号におけるドップラー周波数シフトはリップルキャンセルプロセスを劣化させる^{[ 11 ] [ 21 ]}が、これについては次に詳しく説明する。

線形チャープのドップラー耐性

移動目標とレーダー間の半径距離が時間とともに変化すると、反射チャープ信号は周波数シフト（ドップラーシフト）を示す。圧縮後、結果として生じるパルスは振幅の損失、時間（距離）シフト、およびサイドローブ特性の劣化を示す。^{[ 23 ]}

典型的なレーダーシステムでは、ドップラー周波数はチャープの掃引周波数範囲（すなわちシステム帯域幅）のごく一部であるため、ドップラーによる距離誤差は小さいことが分かっています。例えば、fd<<B/2の場合、時間シフトは次のように表されます。^{[ 56 ]}

${\displaystyle t_{\text{shift}}=-{\frac {f_{d}}{B}}.T\quad where\quad f_{d}=2.{\frac {V_{r}}{\lambda }}=2.{\frac {f_{m}.V_{r}}{c}}}$

ここで、f _dはドップラー周波数、B はチャープの周波数掃引、T はチャープの持続時間、f _mはチャープの中間（中心）周波数、V _rはターゲットの視線速度、c は光速（= 3×10 ⁸ m/s）です。

例として、10GHzを中心周波数とし、パルス幅10μs、帯域幅10MHzのチャープを考えてみましょう。目標への接近速度がマッハ1（≈300m/s）の場合、ドップラーシフトは約20kHz、パルスの時間シフトは約20nsとなります。これは圧縮されたパルス幅の約5分の1に相当し、約7.5メートルの距離誤差に相当します。さらに、信号振幅にはわずかな損失（約0.02dB）があります。

例えば、時間帯域幅積が2000未満の線形チャープは、ドップラー周波数シフトに対して非常に耐性が高いことが分かっており、システム帯域幅の数パーセントまでのドップラー周波数に対して、主パルス幅と時間サイドローブレベルはほとんど変化しません。さらに、前節で説明したように、位相プリディストーションを用いてサイドローブレベルを低減する線形チャープは、ドップラーに対して耐性が高いことが分かっています。^{[ 21 ]}

ドップラー値が非常に大きい場合（システム帯域幅の最大10%）、時間サイドローブが増加することが判明しています。このような場合、圧縮パルスのスペクトルに小さな周波数拡張を導入することで、ドップラー耐性を改善できます。^{[ 47 ]}これを行うと、メインローブ幅が増加するか、帯域幅要件が増加するかのいずれかのペナルティが発生します。

チャープの時間帯域幅積が非常に高い場合、例えば2000をはるかに超える場合にのみ、ドップラー周波数シフトに対処するために、線形ではない掃引周波数則を考慮する必要があります。ドップラー耐性特性は、チャープの線形周期（すなわち双曲線）変調であり、これは前述のように 、複数の著者によって議論されています^{[ 19 ] [ 20 ] 。}

時間サイドローブレベルを低減するために逆リップル補正を実施した場合、ドップラー周波数が上昇するにつれて、この手法の利点は減少します。これは、信号スペクトル上の逆リップルが周波数に沿ってシフトし、コンプレッサの逆リップルがそれらのリップルと一致しなくなるためです。チャープスペクトル上のフレネルリップルには単一の支配的な成分がないため、rrが機能しなくなるドップラー周波数を正確に特定することはできません。しかし、大まかに言えば、rr補正が効果を発揮しなくなるのは以下の場合です。

${\displaystyle 2\times T\times f_{d}\approx 1}$

非線形チャープ

圧縮パルスの時間サイドローブを低く抑えるには、スペクトルがほぼベル型である必要があります。線形チャープパルスの場合、時間領域または周波数領域で窓関数を適用することでこれを実現できます。具体的には、チャープ波形を振幅変調するか、圧縮パルススペクトルに重み付けを適用します。いずれの場合も、1.5 dB以上のミスマッチ損失が発生します。

必要なスペクトル形状を得る別の方法として、チャープにおいて非線形周波数掃引を用いる方法があります。この場合、必要なスペクトル形状を得るために、周波数掃引はバンド端では非常に急激に変化し、バンド中心付近ではより緩やかに変化します。例として、ブラックマン・ハリス窓関数のプロファイルを実現する周波数対時間プロットを考えてみましょう。T×B =100のとき、圧縮パルスのスペクトルと圧縮波形は図のようになります。

必要な非線形特性は定常位相法を用いて導くことができる。^{[ 24 ] [ 57 ]}この技術はフレネルリップルを考慮していないため、線形チャープの場合と同様に追加の方法で対処する必要がある。

低い時間サイドローブに必要なスペクトル形状を実現するために、線形チャープでは振幅重み付けが必要となり、その結果ミスマッチ損失が発生します。一方、非線形チャープには、スペクトル形状を直接実現することで、近傍のサイドローブレベルを低く抑え、ミスマッチ損失をごくわずか（通常0.1 dB未満）に抑えられるという利点があります。また、スペクトル上のフレネルリップルにより、遠方のサイドローブは、同じT×B積を持つ線形チャープよりも低くなる傾向があります（T×Bが大きい場合、4～5 dB低くなります）。

しかし、T×B積が低いチャープでは、スペクトル上の高振幅のフレネルリップルの影響で、圧縮パルスの遠距離サイドローブレベルが依然として非常に高くなる可能性があります。線形チャープと同様に、逆リップル補正によって結果を改善できますが、前述のように、圧縮波形を切り捨てるとゲーティングサイドローブが発生します。

以下に、逆リップルと打ち切りの例を示します。左の図は、時間帯域幅積が40でブラックマン・ハリスプロファイルを目指した非線形チャープのスペクトルを示しています。右の図は、このスペクトルの圧縮パルスを示しています。

次の図は、rr 補正後のスペクトルを示していますが、圧縮波形は 1.1T に切り捨てられており、最終的な圧縮波形も示されています。

非線形チャープのドップラー耐性

非線形チャープの主な欠点は、ドップラー周波数シフトの影響を受けやすいことです。ドップラー周波数シフトがわずかであっても、メインパルスの広がり、サイドローブレベルの上昇、不整合損失の増加、そして新たなスプリアスサイドローブの出現を引き起こします。

非線形チャープパルスとドップラー効果の例を示します。非線形特性は、テイラー重み付けを使用して -50 dB のサイドローブを実現するように選択されています。最初の図は、帯域幅 10 MHz、パルス幅 10usec（T×B = 100）、ドップラーシフトなしの非線形チャープの圧縮パルスを示しています。次の 2 つの図は、それぞれ 10 kHz および 100 kHz のドップラーによって引き起こされるパルスの劣化を示しています。波形の劣化に加えて、不整合損失が 0.5 dB 増加します。最後の図は、振幅重み付けを適用して非線形チャープと同じスペクトル形状にした線形チャープに対する 100 kHz ドップラー効果を示しています。ドップラーに対する許容度が高いことがはっきりとわかります。

クック^{[ 23 ]}は、ペアエコー歪み法^{[ 41 ]}を用いて、サイドローブレベルを-30dB以下に保つために、許容される最大ドップラー周波数は次のように与えられると推定した。

${\displaystyle f_{d}\leq {\frac {0.06}{T}}}$

したがって、10μsのパルスの場合、許容できるドップラー周波数の最大値は6kHzです。しかし、最近の研究では、これは過度に悲観的な見方であることが示唆されています。^{[ 33 ]}さらに、新しいサイドローブは、レベルが低い場合、非常に狭いため、受信機のD-A変換器では分解できない可能性があるため、最初は無視できる可能性があります。

非線形特性と線形特性の組み合わせを使用してドップラー耐性を向上させる

非線形チャープのドップラー感受性を低減する方法として、「ハイブリッド」方式を使用する方法があります。この方式では、スペクトル形成の一部は非線形スイープによって達成されますが、追加のスペクトル形成は振幅重み付けによって達成されます。^{[ 11 ] [ 12 ]}このような方式では、真の非線形方式よりも不整合損失が大きくなるため、ドップラー許容度が向上するという利点と、不整合損失が増加するという欠点を比較検討する必要があります。

以下の2つの例では、チャープは非線形スイープ特性を持ち、テイラー重み付けされたスペクトルを生成します。この特性を単独で使用すると、圧縮パルスのサイドローブレベルは-20 dBになります。サイドローブレベルを低下させるため、このスペクトル形状は振幅重み付けによって補強され、圧縮パルスの最終的な目標サイドローブレベルは-50 dBになります。10 kHzと100 kHzのドップラーシフトの結果を前述の結果と比較すると、ドップラーシフトによって生じた新たなスプリアスサイドローブが以前よりも6 dB低下していることがわかります。ただし、不整合損失は0.1 dBから0.6 dBに増加していますが、それでも線形チャープの1.6 dBという数値よりは良好です。

パルス圧縮による信号対雑音比の改善

ランダムノイズの振幅は圧縮処理によって変化しないため、受信チャープ信号の信号対雑音比は圧縮処理によって向上します。高出力捜索レーダーの場合、この特性によりシステムの測距性能が向上し、ステルスシステムの場合、この特性により送信出力を低く抑えることができます。

例として、受信ノイズシーケンスの例を示します。このシーケンスには、低振幅のチャープ信号が隠れています。コンプレッサで処理すると、圧縮されたパルスがノイズフロアの上にはっきりと現れます。

デジタル信号処理においてパルス圧縮を行う場合、入力信号がA/Dコンバータによってデジタル化された後、ノイズフロアのレベルを適切に設定することが重要です。A/Dコンバータのノイズフロアは、ノイズを適切に特性評価するために十分に高く設定する必要があります。ノイズレベルが低すぎるとナイキスト定理が満たされず、埋め込まれたチャープ信号が正しく復元されません。一方、ノイズレベルを不必要に高く設定すると、システムのダイナミックレンジ能力が低下します。

デジタル処理を用いるシステムでは、A/Dコンバータの後段、デジタル領域でチャープ圧縮を行うことが重要です。デジタル化前のアナログ領域（例えばSAWフィルタ）で圧縮処理を行うと、結果として生じる高振幅パルスはA/Dコンバータのダイナミックレンジに過度の負担をかけることになります。^{[ 17 ]}

システム特性の事前補正

レーダーの送信機および受信機サブシステムは歪みを完全に排除するものではありません。その結果、システム性能は最適なレベルに達しないことが多くなります。特に、圧縮パルスの時間サイドローブレベルは期待外れに高いことが分かっています。

パフォーマンスを低下させる特性には次のようなものがあります。

• システム通過帯域全体にわたるゲイン勾配、または非線形位相勾配。
• 通過帯域全体にわたる振幅と位相のリップル（これは相互接続ケーブルの不整合^{[ 58 ]}や増幅器の不完全性によって発生する可能性がある）。

送信機による遅延変調（電源調整が悪い場合）。

さらに、送信機と受信機の周波数変換プロセスで使用されるフィルタはすべて、システムの通過帯域全体、特に帯域端付近におけるゲインと位相の変動に寄与します。特に、全体的な非線形位相特性に大きく寄与するのは、A/Dコンバータの前段にあるローパスフィルタです。これらのフィルタは通常、エイリアシングノイズを最小限に抑えながら最大帯域幅を確保するために、シャープカットフィルタが選択されます。これらのフィルタの過渡応答特性は、別の（望ましくない）タイムサイドローブの発生源となります。

幸いなことに、システムの初期組み立て時にシステム特性が安定しており、適切に特性評価できる場合、いくつかのシステム特性を補正することが可能です。デジタルルックアップテーブルを用いたレーダーでは、補正データを含めるようにテーブルを簡単に修正できるため、これを実装するのは難しくありません。必要に応じて、位相事前補正をエクスパンダーテーブルに含めることができ、位相と振幅の補正をコンプレッサーテーブルに含めることができます。

したがって、たとえば、スペクトル リップルを最小限に抑えるためのコンプレッサー特性を定義する前述の式は、既知の振幅と位相の障害を補正するための追加の項を含めるように拡張できます。

${\displaystyle K(\omega )={\frac {C'(\omega )}{\Phi (\omega ).A(\omega ).H(\omega )}}}$

ここで、前述と同様に、H( ω )は初期チャープスペクトル、C'( ω )はテイラーウィンドウなどのターゲットスペクトルですが、補償を必要とする位相特性と振幅特性であるΦ (( ω ))とA( ω )という追加の項が含まれています。

位相補正データを含むコンプレッサチャープ波形には、波形の両端（プリシュートとアフターシュート）に追加のリップル成分が含まれます。これらの新しい特徴は、いかなる切り捨て処理によっても除去されるべきではありません。

さらに、圧縮されたパルスを±t ₀だけ時間シフトすることは、圧縮スペクトルに単位振幅ベクトルを乗算することによって簡単にできる。

${\displaystyle \cos(\omega .t_{0})\pm j.\sin(\omega .t_{0})=\exp(\pm j\omega .t_{0})}$ 。

時間シフトは、チャープパルスの長さに関係なく、圧縮パルスのメインローブを標準的な位置に配置するのに役立ちます。ただし、時間シフトを使用する場合は、有効な波形シーケンスのみが保持されるように、オーバーラップして保存またはオーバーラップして破棄するアルゴリズムに注意する必要があります。

小型で高速なコンピュータの普及により、パルス圧縮のための適応フィルタへの関心が高まっており、次節では関連論文をいくつか紹介する。これらの技術は、最適化手順の一環として、ハードウェアの欠陥を補うことも期待される^{[ 59 ]。}

チャープ圧縮技術に関する最近の研究 – いくつかの例

デジタル処理と手法の進歩は、チャープパルス圧縮の分野に大きな影響を与えました。これらの技術の紹介は、スコルニク編『レーダーハンドブック』（第3版）の1章に掲載されています。^{[ 17 ]}

パルス圧縮に関する多くの研究の主な目的は、狭いメインローブ、低いサイドローブレベル、ドップラー周波数シフトへの耐性、そして低いシステム損失を実現することであった。コンピュータの普及により、数値処理技術の発展と、これらの目的を達成するための適応ネットワークや最適化手法への関心が高まった。例えば、ダムティとレーティネンによる様々な手法の比較^{[ 60 ​​]}や、ブラントとゲルラッハによるこれらのトピックに関する様々な論文^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]}を参照のこと。この分野における他の貢献者としては、ズルニックら^{[ 65 ]、}リーら^{[ 49 ]、}そしてスコルニク^{[ 59 ]が挙げられる。}

パルス圧縮に対​​するさまざまなアプローチを採用したその他の研究を以下に示します。

• 非線形チャープ波形を生成し、そのドップラー耐性を改善する新しい方法がDoerryによって研究されている^{[ 66 ] [ 67 ]}
• ^{双曲チャープのさらなる研究は、キス[ 68 ]}、リードヘッド^{[ 69 ]} 、ナガジョティとラジャラジェスワリ^{[ 70 ]}、ヤンとサルカール^{[ 71 ]}によって行われました。
• 畳み込みウィンドウはサフーとパンダによって研究されており、彼らは、非常に低いサイドローブを実現しながらドップラー耐性を持つが、パルスの広がりが多少発生する可能性があることを示している。^{[ 72 ]}ウェンと彼の同僚も畳み込みウィンドウについて議論している。^{[ 73 ] [ 74 ]}
• ^{サマド[ 75 ]}とシンハとフェレイラ^{[ 76 ]}によっていくつかの新しいウィンドウ関数が提案されており、これらは従来の関数よりも性能が向上していると主張している。
• 非線形FMチャープの圧縮パルスのサイドローブレベルを下げるためのいくつかの技術が、VarshneyとThomasによって比較されている。^{[ 77 ]}
• Vizituiの論文^{[ 78 ]}では、線形FMチャープではなく非線形FMチャープに位相プリディストーションを適用することでサイドローブを低減することが検討されている。サイドローブの低減とドップラー耐性の若干の改善が期待されている。

パルス圧縮方式の位相変調については、バイフェーズ（2 位相シフト キーイング）やポリフェーズコーディング方式など、広範囲にわたる調査が行われてきましたが、この研究はここでは取り上げません。

参照

• スペクトラム拡散

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