完全正値写像におけるチェイの定理
Classification of completely positive maps

数学において、完全正写像に関するチョイの定理（ちょいのていりつ）は、有限次元（行列）C*-代数間の完全正写像を分類する結果である。この定理はマン＝デュエン・チョイによるものである。チョイの定理の無限次元代数への一般化は、完全正写像に対するベラフキンの「ラドン・ニコディム」定理として知られている。

声明

チェイの定理。線型写像を とする。以下の2つは同値である 。 Φ : C n × n → C m × m {\displaystyle \Phi :\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{m\times m}}

(i) Φはn の正値である（つまり、 が正であれば常に は正である）。 ( id n ⊗ Φ ) ( A ) ∈ C n × n ⊗ C m × m {\displaystyle \left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)(A)\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}} A ∈ C n × n ⊗ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{n\times n}}
(ii) 演算子要素を含む行列
C Φ = ( id n ⊗ Φ ) ( ∑ i j E i j ⊗ E i j ) = ∑ i j E i j ⊗ Φ ( E i j ) ∈ C n m × n m {\displaystyle C_{\Phi }=\left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)\left(\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij}\right)=\sum _{ij}E_{ij}\otimes \Phi (E_{ij})\in \mathbb {C} ^{nm\times nm}}
は半正定値行列（PSD）であり、ij番目の要素が 1 で、それ以外が 0 である行列です。（行列C Φは、 ΦのChoi 行列と呼ばれることもあります。） E i j ∈ C n × n {\displaystyle E_{ij}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
(iii) Φは完全に正である。

証拠

(i) は (ii) を意味する

我々は、もし

E = ∑ i j E i j ⊗ E i j , {\displaystyle E=\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij},}

するとE = E *かつE 2 = nEとなるので、E = n −1 EE *となり、これは正である。したがって、C Φ =( I n ⊗ Φ)( E ) は、Φのn正性により正と​​なる。

(iii) は (i) を意味する

これは自明に当てはまります。

(ii) は (iii) を意味する

これは主に、 C nm × nmを見るさまざまな方法を追うことを伴います。

C n m × n m ≅ C n m ⊗ ( C n m ) ∗ ≅ C n ⊗ C m ⊗ ( C n ⊗ C m ) ∗ ≅ C n ⊗ ( C n ) ∗ ⊗ C m ⊗ ( C m ) ∗ ≅ C n × n ⊗ C m × m . {\displaystyle \mathbb {C} ^{nm\times nm}\cong \mathbb {C} ^{nm}\otimes (\mathbb {C} ^{nm})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes (\mathbb {C} ^{n})^{*}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}.}

C Φの固有ベクトル分解を次のようにする。

C Φ = ∑ i = 1 n m λ i v i v i ∗ , {\displaystyle C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}v_{i}v_{i}^{*},}

ここでベクトルはC nmにある。仮定により、各固有値は非負なので、固有値を固有ベクトルに吸収し、次のように 再定義することができる。 v i {\displaystyle v_{i}} λ i {\displaystyle \lambda _{i}} v i {\displaystyle v_{i}}

C Φ = ∑ i = 1 n m v i v i ∗ . {\displaystyle \;C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}v_{i}v_{i}^{*}.}

ベクトル空間C nm は、上記の識別とC n の標準基底と互換性のある直和として見ることができます。 ⊕ i = 1 n C m {\displaystyle \textstyle \oplus _{i=1}^{n}\mathbb {C} ^{m}} C n m ≅ C n ⊗ C m {\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{nm}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}

P k ∈ C m × nmがC mのk番目のコピーへの射影である場合、P k * ∈ C nm × mはC mを直和の k番目の被加数として含めることであり、

Φ ( E k l ) = P k ⋅ C Φ ⋅ P l ∗ = ∑ i = 1 n m P k v i ( P l v i ) ∗ . {\displaystyle \;\Phi (E_{kl})=P_{k}\cdot C_{\Phi }\cdot P_{l}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}.}

ここで、演算子V i ∈ C m × nがC nのk番目の標準基底ベクトルe k上で次のように 定義されているとします。

V i e k = P k v i , {\displaystyle \;V_{i}e_{k}=P_{k}v_{i},}

それから

Φ ( E k l ) = ∑ i = 1 n m P k v i ( P l v i ) ∗ = ∑ i = 1 n m V i e k e l ∗ V i ∗ = ∑ i = 1 n m V i E k l V i ∗ . {\displaystyle \Phi (E_{kl})=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}e_{k}e_{l}^{*}V_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}E_{kl}V_{i}^{*}.}

線形性によって拡張すると、

Φ ( A ) = ∑ i = 1 n m V i A V i ∗ {\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}AV_{i}^{*}}

任意のA ∈ C n × nに対して、この形の写像は明らかに完全に正である。すなわち、写像は完全に正であり、完全に正な演算子の（ を挟んだ）和もまた完全に正である。したがって は完全に正であり、これは望ましい結果である。 A → V i A V i ∗ {\displaystyle A\to V_{i}AV_{i}^{*}} i {\displaystyle i} Φ {\displaystyle \Phi }

上記は基本的にChoiのオリジナルの証明である。代替的な証明も知られている。

結果

クラウス演算子

量子情報理論の文脈において、演算子 { V i } は（カール・クラウスにちなんで）Φ のクラウス演算子と呼ばれます。注意すべきは、完全に正の Φ が与えられた場合、そのクラウス演算子は必ずしも一意である必要はないということです。例えば、チョイ行列C Φ = B ∗ Bの任意の「平方根」分解は、クラウス演算子の集合を与えます。

させて

B ∗ = [ b 1 , … , b n m ] , {\displaystyle B^{*}=[b_{1},\ldots ,b_{nm}],}

ここで、b i *はBの行ベクトルであり、

C Φ = ∑ i = 1 n m b i b i ∗ . {\displaystyle C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}b_{i}b_{i}^{*}.}

対応するクラウス演算子は、証明とまったく同じ議論によって得ることができます。

クラウス作用素がチョイ行列の固有ベクトル分解から得られる場合、固有ベクトルは直交集合を形成するため、対応するクラウス作用素はヒルベルト・シュミット 内積においても直交する。これは、平方根分解から得られるクラウス作用素には一般に当てはまらない。（半正定値行列は一般に一意の平方根分解を持たない。）

クラウス演算子の2つの集合{ A i } 1 nmと{ B i } 1 nmが同じ完全な正写像Φを表す場合、ユニタリ演算子行列が 存在する。

{ U i j } i j ∈ C n m 2 × n m 2 such that A i = ∑ j = 1 U i j B j . {\displaystyle \{U_{ij}\}_{ij}\in \mathbb {C} ^{nm^{2}\times nm^{2}}\quad {\text{such that}}\quad A_{i}=\sum _{j=1}U_{ij}B_{j}.}

これは、2 つの最小 Stinespring 表現を関連付ける結果の特殊なケースとして見ることができます。

あるいは、等長スカラー行列{ u ij } ij ∈ C nm × nmが存在し、

A i = ∑ j = 1 u i j B j . {\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}u_{ij}B_{j}.}

これは、2 つの正方行列MとNについて、あるユニタリUに対してM = NU である場合にのみ、 MM* = NN* となるという事実から導かれます。

完全共正写像

チョイの定理から、Φが完全に共正となるのは、Φが次の形式である場合のみであることが直ちに分かる。

Φ ( A ) = ∑ i V i A T V i ∗ . {\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i}V_{i}A^{T}V_{i}^{*}.}

エルミート保存写像

チェイの手法は、より一般的な写像のクラスに対しても同様の結果を得るために用いることができる。Aがエルミート写像であれば、Φ(A)もエルミート写像となるとき、Φはエルミート保存写像であるという。Φがエルミート保存写像であることは、Φが以下の形であるときのみ示される。

Φ ( A ) = ∑ i = 1 n m λ i V i A V i ∗ {\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}V_{i}AV_{i}^{*}}

ここで、λ iは実数、C Φの固有値、そして各V i はC Φの固有ベクトルに対応する。完全な正の場合とは異なり、C Φ は正にならない可能性がある。エルミート行列は一般にB*Bの因数分解を許さないため、与えられたΦに対してクラウス表現はもはや不可能である。

参照

参考文献

  • M.-D. Choi、「複素行列上の完全に正の線型写像」、線形代数とその応用、10、285–290 (1975)。
  • VP Belavkin、P. Staszewski、「完全に正の写像に対するラドン-ニコディムの定理」、数理物理学レポート、v.24、No 1、49–55 (1986)。
  • J. de Pillis、「エルミート演算子と半正定値演算子を保存する線型変換」、Pacific Journal of Mathematics、23、129–137 (1967)。
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