チャウの補題

周維良にちなんで名付けられた周の補題は、代数幾何学における基礎的な結果の一つである。これは、大まかに言えば、真射は射影射にかなり近いということを述べている。より正確には、その版では以下のように述べている：^{[ 1 ]}

がネーター基底上で適切なスキームである場合、射影的-スキームと射影的-射影が存在し、それらは稠密な開写像 に対して同型写像を誘導する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}$ ${\displaystyle U\subseteq X.}$

証拠

ここでの証明は標準的なものである。^{[ 2 ]}

既約の場合への還元${\displaystyle X}$

まず、 が既約な場合 に帰着できます。まず、はネーター基底上の有限型なのでネーターです。したがって、 は有限個の既約成分 を持ち、それぞれに対して、 が集合論的像を持ち、が の開稠密部分集合上の同型となるような、既約な真-スキームが存在すると主張します。これを確認するには、を開浸漬のスキーム論的像として 定義します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

は各 に対して集合論的にネーター写像であるため、写像は準コンパクトであり、このスキーム論的像を 上でアフィン局所的に計算することができ、2つの主張を直ちに証明できます。定理の記述にあるように、各 に対して射影 -スキームを生成できる場合、 を互いに素な和、 を合成 とすることができます。この写像は射影的であり、 の稠密開集合上の同型写像です。一方、 は射影 -スキームの有限和であるため、射影-スキームです。各 は上で真であるため、既約な場合への還元が完了しました。 ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$ は有限個の準射影的 -スキームでカバーできる${\displaystyle S}$

次に、 が有限個の開部分集合で覆われ、それぞれが上に準射影的であることを示します。これを行うには、準コンパクト性により、まず有限個のアフィン開 で覆い、次にのそれぞれの逆像を有限個のアフィン開で覆います。これらの開開はそれぞれへの閉浸漬を持ちます。これはが有限型であり、したがって準コンパクトであるためです。この開浸漬と とを合成すると、それぞれがの開部分スキームの閉部分スキームであることがわかります。がネーターであるため、開部分スキームのすべての閉部分スキームは閉部分スキームの開部分スキームでもあり、したがってそれぞれが上に準射影的です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{jk}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle S}$

建設と${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$

ここで、 が準射影的 -スキームによる有限開被覆であり、が射影的 -スキームへの開浸漬を持つと仮定する。集合 は空でなく、 は既約である。 の制約は射を定義する 。${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

となる。ここでは標準的な射影、は射影である。を標準的な開浸漬とすると、 を定義し、これは浸漬であると主張する。これを確認するには、この射はグラフ射（ は分離されているため閉浸漬である）に続いて開浸漬として因数分解できることに注意されたい。 はネーターであるため、前と同じ論理を適用して、開浸漬と閉浸漬の順序を入れ替えることができることがわかる。 ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi}{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$ ${\displaystyle P\to S}$ ${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X\times _{S}P}$

ここで を のスキーム理論的像とし、 をとして 因数分解する。${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

ここで、は開浸、は閉浸である。とを標準射影とする。 ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$ ${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

それを証明し、定理の結論を満たします。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f}$

およびの主張された特性の検証${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f}$

が射影的であることを示すには、まず が真であり、したがって閉じていることに注意する必要があります。その像には稠密開集合 が含まれるため、は射影的であることが分かります。 がに同型写像を誘導することも容易に分かります。 と がその像に同型写像であるという事実を、閉浸漬 とそれに続く開浸漬 の合成としてまとめれば良いのです。が 上に射影的であることを示すことが残っています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$

は浸漬である ことを示すことでこれを行います。以下の4つの開部分スキーム族を定義します。${\displaystyle g:X'\to P}$

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

被覆、被覆、そして がも被覆していることを証明したい。これは、すべての に対して であることを示すことによって行う。位相空間の写像として がに等しいことを示すだけで十分である。を、同じ基礎位相空間を持つその縮約 で置き換えると、2つの射はどちらも位相空間 の基礎写像の拡張であることがわかる。したがって、縮約から分離への補題により、 がにおいて位相的に稠密である限り、それらは等しくなければならない。したがって、すべての と に対して、主張は証明されている。 ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$

結論として、被覆であり、 がすべての に対して浸漬であることを確認することで、 が浸漬であることを確認することができる。このために、射を考える。 ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g(X')}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

は分離しているので、グラフ射影は閉じた浸漬であり、グラフはの閉じたサブスキームです。 がこのグラフを因数分解できることが示されれば（ここでが上への同型であることを先ほどの観察により考察します）、 からの写像もスキーム理論的像の構築によりこのグラフを因数分解されるはずです。への制限はへの同型なので、への制限はへの浸漬となり、主張が証明されます。 を標準的な注入とします。 となる射影が存在することを示さなければなりません。ファイバー積の定義により、であることを証明すれば十分です。あるいはとを特定することによってであることを証明すれば十分です。しかしとなので、 の定義から目的の結論が導かれ、は浸漬です。は適切であるため、からの任意の -射影は閉じており、したがって は閉じた浸漬であり、したがっては射影的です。${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$ ${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$ ${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$ ${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$ ${\displaystyle \phi :U\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X'\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle g:X'\to P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

追加の声明

チャウの補題の記述において、 が既約、既約、または整式である場合、 についても同様であると仮定できる。 と が両方とも既約である場合、 は双有理射である。^{[ 3 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$

参考文献

1. Hartshorne 1977、第II章演習4.10。
2. グロタンディーク & デュドネ 1961 年、5.6.1。
3. グロタンディーク & デュドネ 1961、5.6。

参考文献

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。「幾何学的計算の要素: II. 射影クラスの世界的要素の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157