質量の外心
多角形を構成する三角形の外心の加重平均によって形成される中心

幾何学において、質量の外心とは、質量中心の多くの性質を共有する多角形の中心である。より一般的には、質量の外心は単体多面体、球面幾何学、双曲幾何学においても定義される。

多面体が四角形または六角形である特別な場合、質量の外心は「準外心」と呼ばれ、四角形のオイラー線を定義するために使用されています。 [1] [2]質量の外心により、単体多面体のオイラー線を定義することができます。

平面上の定義

頂点が 個の平面上にある向き付けられた多角形（頂点は反循環的に数えられる）とし、 辺（またはその延長線）上にない任意の点とする。向き付けられた三角形によるの三角形分割を考える（添え字は を法として考える）。これらの三角形のそれぞれに、向き付けられた面積に等しい重みの外心を関連付ける（頂点の並びが反循環的であれば正、そうでなければ負）。 の質量の外心は、これらの重み付けされた外心の質量の中心である。結果は点の選択に依存しない。[3] P {\displaystyle P} V 1 、 V 2 、 … 、 V n {\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}} お {\displaystyle O} P {\displaystyle P} お V 私 V 私 + 1 {\displaystyle OV_{i}V_{i+1}} 私 {\displaystyle i} n {\displaystyle n} C 私 {\displaystyle C_{i}} P {\displaystyle P} お {\displaystyle O}

多角形の質量の外心。

プロパティ

多角形が環状である特殊なケースでは、質量の外心は外心と一致します。

質量の外心は、アルキメデスの補題に類似した条件を満たします。アルキメデスの補題は、多角形を2つの小さな多角形に分解した場合、その多角形の質量の外心は、2つの小さな多角形の質量の外心の重み付き和であると述べています。したがって、非退化三角形による任意の三角形分割を用いて質量の外心を定義することができます。

正多角形の場合、質量の外心と質量の中心は一致する。より一般的には、各面の辺の二乗和が定数となるような単体多面体の場合、質量の外心と質量の中心は一致する。[4]

質量の外心は、多角形の「再切断」操作[5]および離散自転車（ダルブー）変換に対して不変である。言い換えれば、これらの操作を受けた多角形の像は、元の多角形と同じ質量の外心を持つ。一般化されたオイラー直線は、可積分系理論においても他の場面で用いられる。[6]

を頂点とし、面積をとする。多角形の質量の外心は次式で与えられる。 V 私 ＝ （ × 私 、 y 私 ） {\displaystyle V_{i}=(x_{i},y_{i})} P {\displaystyle P} あ {\displaystyle A} C C M （ P ） {\displaystyle CCM(P)} P {\displaystyle P}

C C M （ P ） ＝ 1 4 あ （ ∑ 私 ＝ 0 n − 1 − y 私 y 私 + 1 2 + y 私 2 y 私 + 1 + × 私 2 y 私 + 1 − × 私 + 1 2 y 私 、 ∑ 私 ＝ 0 n − 1 − × 私 + 1 y 私 2 + × 私 y 私 + 1 2 + × 私 × 私 + 1 2 − × 私 2 × 私 + 1 ） 。 {\displaystyle CCM(P)={\frac {1}{4A}}(\sum _{i=0}^{n-1}-y_{i}y_{i+1}^{2}+y_{i}^{2}y_{i+1}+x_{i}^{2}y_{i+1}-x_{i+1}^{2}y_{i},\sum _{i=0}^{n-1}-x_{i+1}y_{i}^{2}+x_{i}y_{i+1}^{2}+x_{i}x_{i+1}^{2}-x_{i}^{2}x_{i+1}).}

質量の外心は、極限法によって滑らかな曲線にまで拡張することができる。この連続極限は、曲線によって囲まれた 均質な薄板の質量中心と一致する。

自然な仮定のもとでは、アルキメデスの補題を満たす多角形の中心は、まさにそのオイラー直線上の点となる。言い換えれば、アルキメデスの補題を満たす「行儀の良い」中心は、質量の外心と質量中心のアフィン結合のみである。

一般化オイラー直線

質量の外心は、任意の多角形（より一般的には単体多面体）に対してオイラー直線を定義することを可能にします。この一般化されたオイラー直線は、多面体の質量中心と質量の外心のアフィン張点として定義されます。

参照

参考文献

  1. ^ミャキシェフ、アレクセイ （2006）「四辺形に関連する2つの注目すべき線について」（PDF）、フォーラム幾何学、6：289–295。
  2. ^ de Villiers, Michael (2014)、「準外心と準オイラー線の六角形への一般化」（PDF）、Forum Geometricorum、14 : 233– 236
  3. ^ Tabachnikov, Serge; Tsukerman, Emmanuel (2014年5月)、「質量の外心と一般化オイラー線」、離散幾何学と計算幾何学、51 (4): 815– 836、arXiv : 1301.0496、doi :10.1007/s00454-014-9597-2、S2CID  12307207
  4. ^ Akopyan, Arseniy (2014年5月)、「質量の円心に関するいくつかの考察」、離散幾何学および計算幾何学、51 (4): 837– 841、arXiv : 1512.08655、doi :10.1007/s00454-014-9596-3、S2CID  3464833
  5. ^ Adler, V. (1993)、「多角形の切断」、Funct. Anal. Appl.、27 (2): 141– 143、doi :10.1007/BF01085984、S2CID  122179363
  6. ^ Schief, WK (2014)、「離散殻膜理論における積分構造」、Proceedings of the Royal Society of London A、470 (2165): 22、Bibcode :2014RSPSA.47030757S、doi :10.1098/rspa.2013.0757、PMC 3973394、PMID  24808755 
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Circumcenter_of_mass&oldid=1254994767」より取得