階級形成

数学において、類形成とは、特定の条件を満たす加群に作用する位相群のことである。類形成は、エミール・アルティンとジョン・テイトによって、類体論に現れる様々なガロア群と加群を整理するために導入された。

定義

形成とは、位相群 Gと、 G が連続的に作用する位相Gモジュール Aの組み合わせです。

フォーメーションの層 E / F とは、 G の開部分群 E 、 F のペアであり、FはEの 有限添字部分群である。 F がEの正規部分群である場合 、層E / Fは正規層と呼ばれ、さらに商群が巡回である場合、巡回層と呼ばれる。 EがGの部分群である場合、A EはEによって固定されたAの元として定義される。

H n ( E / F )

テイトコホモロジー群 H n ( E / F , A F )において、 E / Fは正規層である。( EとFをGの部分群ではなく固定体と考える著者もいるため、E / FではなくF / Eと書く。) 応用面では、Gは体の絶対ガロア群であることが多く、特にprofiniteであり、したがって開部分群は、ある固定された可分閉包に含まれる体の有限拡大に対応する。

クラス形成とは、すべての通常層E / Fに対して、

H 1 ( E / F ) は自明であり、
H 2 ( E / F ) は | E / F |の順序で循環します。

実際には、これらの巡回群には、基本類と呼ばれる標準的な生成元u E / F ∈ H 2 ( E / F ) が備わっており、これらは互いに両立する。これは、ある基本類の（コホモロジー類の）制限が別の基本類であるという意味で当てはまる。多くの場合、基本類は類形成の構造の一部であると考えられる。

H 1 ( E / F )=1という条件を満たす形成は、体形成と呼ばれることがあります。例えば、G が体L上に作用する任意の有限群であり、A=L ×である場合、これはヒルベルトの定理90により体形成となります。

例

クラス編成の最も重要な例（難易度順に並べたもの）は次のとおりです。

  • アルキメデスの局所類体理論: モジュールAは非ゼロ複素数の群であり、Gは自明であるか、複素共役によって生成された位数 2 の巡回群です。
  • 有限体:モジュールA は整数 ( G作用は自明) であり、Gは有限体の絶対ガロア群であり、整数の profinite 完備化に同型です。
  • 特性p > 0の局所類体理論:モジュールAは有限体上の形式ローラン級数の体の可分代数閉包の単位群であり、 Gはガロア群です。
  • 特性 0 の非アルキメデス的局所類体理論:モジュールAはp進数の体の代数閉包の単位群であり、Gはガロア群です。
  • 特性p > 0のグローバル類体理論:モジュールAは、有限体上のある関数体の可分有限拡大のイデレ類の群の和集合であり、 Gはガロア群です。
  • 特性 0 のグローバル類体理論:モジュールAは代数体のイデアル類の群の和集合であり、G はAに作用する有理数 (または何らかの代数体) のガロア群です。

有限体の場合とアルキメデス局所体の場合の類形成性の検証は容易ですが、残りの場合はより困難です。類体理論における困難な作業の大部分は、これらが実際に類形成であることを証明することです。これは、以下の節で説明するように、いくつかのステップで行われます。

最初の不平等

類体理論の 最初の不等式は、

| H 0 ( E / F )| ≥ | E / F |

周期層E / Fの場合。これは通常、エルブラン商の性質を用いて、より正確な形で 証明される。

| H 0 ( E / F )| = | E / F |×| H 1 ( E / F )|。

証明するのはかなり簡単です。なぜなら、エルブラン商は短い正確なシーケンスに対して乗法であり、有限モジュールに対しては 1 であるため、簡単に計算できるからです。

1950 年頃までは、最初の不等式は 2 番目の不等式として知られており、逆もまた同様でした。

2番目の不等式

類体理論の第二不等式は、

| H 0 ( E / F )| ≤ | E / F |

すべての通常レイヤーE / Fの場合。

局所体の場合、この不等式は、最初の不等式および群コホモロジーのいくつかの基本的性質とともに、 ヒルベルトの定理 90から簡単に導かれます。

2 番目の不等式は、次のように、L 級数の数体の特性を使用して、ウェーバーによって初めて証明されました。層E / F がグローバル体の拡大k ⊂ Kに対応するものとします。Kのデデキント ゼータ関数を調べると、 Kの次数 1 の素数はs =1 の極の位数で与えられるディリクレ密度を持つことがわかります。この位数は 1 です ( Kが有理数の場合、これは本質的に、リーマン ゼータ関数のs =1の極を使用して、素数が無限に存在するというオイラーの証明です)。k のノルムである各素数は、 Kの異なる次数 1の素数の deg( K / k )= | E / F | の積であるため、これは、ノルムである k の素数の集合の密度が 1/| E / F | であることを示しています。一方、群H 0 ( E / F ) のディリクレL級数指標を調べると、この群の自明元を表すkの素数のディリクレ密度は密度 1/| H 0 ( E / F )| を持つことが示される。（この証明の一部は、等差数列には無限個の素数が存在するというディリクレの証明の一般化である。）しかし、素数が主イデアルを法とするノルムに等しい場合、それは群H 0 ( E / F ) の自明元を表すので、この集合は少なくともノルムである素数の集合と同じ稠度を持つ。したがって、

1/| H 0 ( E / F )| ≥ 1/| E / F |

これは2番目の不等式です。

1940年、シュヴァレーは第二不等式の純粋に代数的な証明を発見しましたが、ウェーバーの最初の証明よりも長く、困難でした。1950年頃までは、第二不等式は第一不等式として知られていましたが、シュヴァレーの代数的証明が第一不等式を用いているため、名称が変更されました。

高木は、類体とは第二不等式が成立する体であると定義した。以下のアルティン同型により、H 0 ( E / F ) はE / Fのアーベル化と同型であり、したがって第二不等式の等式はアーベル拡大に対して正確に成立し、類体はアーベル拡大と同じである。

最初の不等式と2番目の不等式は次のように組み合わせることができる。循環層の場合、2つの不等式を組み合わせると次のことが証明される。

H 1 ( E / F )| E / F | = H 0 ( E / F ) ≤ | E / F |

それで

H 0 ( E / F ) = | E / F |

そして

H 1 ( E / F ) = 1です。

コホモロジー群に関する基本定理によれば、すべての巡回層に対して H 1 ( E / F ) = 1となるので、

H 1 ( E / F ) = 1

すべての通常の層に対して（したがって、特にその形成は体形成である）。H 1 ( E / F ) が常に自明であるというこの証明は、かなり回りくどい。大域体に対して（それが何を意味するにせよ）「直接的な」証明は知られていない。（局所体に対しては、H 1 ( E / F ) がゼロであることは、まさにヒルベルトの定理90である。）

巡回群の場合、H 0はH 2と同じなので、すべての巡回層に対してH 2 ( E / F ) = | E / F |が成り立ちます。群コホモロジーの別の定理によれば、すべての通常層に対してH 1 ( E / F ) = 1が成り立ち、すべての巡回層に対してH 2 ( E / F ) ≤ | E / F |が成り立つので、

H 2 ( E / F )≤ | E / F |

すべての通常のレイヤーに対して。（実際には、すべての通常のレイヤーに対して等式が成り立ちますが、これにはより多くの作業が必要です。次のセクションを参照してください。）

ブラウアーグループ

類形成のブラウアー群 H 2 ( E /*) は、 F が E のすべての開部分群上を走るときの群 H 2 ( E / F ) の直接の極限として定義される。すべて の層でH 1がゼロであることから容易に分かるように、群H 2 ( E / F ) はすべてブラウアー群の部分群である。局所類体理論では、ブラウアー群は体のブラウアー群と同じであるが、大域類体理論では、形成のブラウアー群は対応する大域体のブラウアー群とは異なる（ただし、両者は関連している）。

次のステップは、H 2 ( E / F ) がちょうど | E / F |の順序で巡回していることを証明することです。前のセクションでは、最大でこの順序になることが示されているため、 H 2 ( E / F )で順序 | E / F |のいくつかの要素を見つければ十分です。

任意拡大の証明では、群Gから核G ∞を持つ整数の profinite 完備化への準同型、または言い換えると、核G nを持つ、すべてのnに対して、位数nの巡回群へのGの準同型の互換列を使用します。これらの準同型は、体の巡回円分拡大を使用して構築されます。有限体の場合は代数閉包によって与えられ、非アルキメデス的局所体の場合は最大非分岐拡大によって与えられ、グローバル体の場合はもう少し複雑です。これらの拡大は明示的に与えられているため、 H 2 ( G / G n ) が標準生成子を持つ位数nの巡回であるという特性があることを確認できます。このことから、任意の層Eについて、群 H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) はQ / Zに標準同型であることがわかります。単位根を使用するというこの考え方は、チェボタレフがチェボタレフの密度定理の証明で導入し、その後すぐにアルティンが相互定理を証明するために使用しました。

一般的な層E、Fについては正確な順序がある

0 → H 2 ( E / F ) ∩ H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) → H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) → H 2 ( F / F ∩ G ∞ ) {\displaystyle 0\rightarrow H^{2}(E/F)\cap H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(F/F\cap G_{\infty })}

この数列の最後の2つの群はどちらもQ / Zと同一視でき、それらの間の写像は | E / F | の乗算となる。したがって、最初の群はZ / n Zと正準同型である。H 2 ( E / F ) の位数は最大で Z / n Z であるため、 Z / n Zは必ずZ / n Zと等しくなければならない（特に中間群に含まれる）。

これは、任意の層の第二コホモロジー群H 2 ( E / F ) が | E / F | の位数の巡回群であることを示しており、これにより類形成の公理の検証が完了します。証明をもう少し注意深く行うと、H 2 ( E / F )の標準的な生成元、いわゆる基本類が得られます。

このことから、ブラウアー群H 2 ( E /*) は、アルキメデス局所体RおよびCの場合に位数が 2 または 1 である場合を除き、群Q / Zと (標準的に) 同型であることがわかります。

テイトの定理とアルティン写像

群コホモロジーにおけるテイトの定理は以下の通りである。Aが有限群G上の加群であり、aがH 2 ( G , A )の元であるとする。この場合、Gの任意の部分群Eに対して

  • H 1 ( E , A ) は自明であり、
  • H 2 ( E , A )は順序Eを持つRes(a)によって生成される。

すると、 aとのカップ積は同型となる。

  • H n ( G , Z ) → H n +2 ( G , A )。

テイトの定理のn =−2の場合をクラス形成に適用すると、同型性が存在することがわかる。

  • H −2 ( E / F , Z ) → H 0 ( E / F , A F )

任意の正規層E / Fに対して、群H −2 ( E / F , Z ) はE / Fのアーベル化そのものであり、群H 0 ( E / F , A F ) は A Fのノルム群を法としたA Eである。言い換えれば、ガロア群E / Fのアーベル化をA Eを用いて明示的に記述できる。

この同型の逆をとると準同型が得られる。

A E → E / Fのアーベル化、

そして、すべての開部分群F上の極限をとると、準同型写像が得られる。

A E → Eのアーベル化、

アルティン写像と呼ばれる。アルティン写像は必ずしも射影的ではないが、稠密な像を持つ。以下に示す存在定理により、その核はA E（類体論の場合）の連結成分であり、これは非アルキメデス局所体の類体論および函数体では自明であるが、アルキメデス局所体および数体では非自明である。

高木の存在定理

類体論の残る主要な定理は高木存在定理であり、これはイデレ類群のすべての有限指数閉部分群が、あるアーベル拡大に対応するノルムの群であることを述べている。これを証明する古典的な方法は、最初に多くの単位根を追加し、次にクンマー拡大とアルティン・シュライア拡大をとることで、ノルムの小さな群を持つ拡大を構成することである。これらの拡大は非アーベルである可能性がある（アーベル群によるアーベル群の拡大であるが）。しかし、これはあまり問題ではない。なぜなら、非アーベルガロア拡大のノルム群はその最大アーベル拡大のノルム群と同じである（これは類体について我々が既に知っていることを使って示すことができる）。これは、イデレ類群の任意の有限指数部分群に対応するアーベル拡大が存在することを示すのに十分な（アーベル）拡大を与える。

結果として、アルティン写像の核はイデール類群の恒等式の連結成分となり、Fのガロア群のアーベル化はイデール類群の漸限完備化となる。

局所類体論においては、ルビン・テイト形式群法則を用いて、より明示的にアーベル拡大を構成することも可能である。大域体においては、場合によってはアーベル拡大を明示的に構成することができる。例えば、有理数体のアーベル拡大は単位根を用いて構成でき、二次虚数体のアーベル拡大は楕円関数を用いて構成できるが、任意の大域体に対してこれと同様のものを見つけることは未解決の問題である。

ヴェイユ群

これはワイル群ではなく、ワイル・シャトレ群やモーデル・ワイル群とは関係がない。

基本類u E / F ∈ H 2 ( E / F , A F )を持つ類形成のWeil群は、Weil (1951) によって導入され、類体理論のさまざまな定式化、特にLanglands プログラムで使用される、一種の修正ガロア群です。

E / Fが正規層である場合、 E / FのWeil群Uは拡張である。

1 → A F → U → E / F → 1

これはH 2 ( E / F , A F )の基本類u E / Fに対応する。全体のヴェイユ群は、 G / Fのすべての層のヴェイユ群の逆極限として定義される。ただし、F はGの開部分群である。

クラス形成の相互写像( G、  A )は、 A Gからヴェイユ群のアーベル化への 同型性を誘導する。

参照

参考文献

  • アルティン、エミール；テイト、ジョン（2009）[1952]、類体理論、AMSチェルシー出版、プロビデンス、ロードアイランド、ISBN 978-0-8218-4426-7、MR  0223335
  • 川田幸義 (1971) 「クラス形成」1969年 整数論研究所 (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp.  96– 114
  • Serre、Jean-Pierre (1979)、ローカルフィールド、Graduate Texts in Mathematics、vol. 67、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90424-5、MR  0554237特に第11章「階級形成」
  • Tate, J. (1979)、「数論的背景」保型形式、表現、およびL関数第2部、純粋数学シンポジウム講演集、第33巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、pp.  3– 26、ISBN 978-0-8218-1435-2
  • Weil, André (1951)、「Sur la thetheorie du corps declasses」、日本数学会誌、3 : 1–35、doi : 10.2969/jmsj/00310001、ISSN  0025-5645、MR  0044569、彼の論文集第1巻に再録、ISBN 0-387-90330-5
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