数学的分析

微分方程式から生じる奇妙なアトラクター。微分方程式は数学的解析の重要な分野であり、科学と工学の分野で多くの応用がある。

解析学は、連続関数、極限、および微分、積分、測度、無限数列、級数、解析関数などの関連理論を扱う数学の分野です。[ 1 ] [ 2 ]

これらの理論は通常、実数、複素数、および関数の文脈で研究されます。解析学は、解析学の基本概念と手法を扱う微積分学から発展しました。解析学は幾何学とは区別される場合もありますが、近さの定義（位相空間）またはオブジェクト間の特定の距離（計量空間）を持つ数学的オブジェクトの任意の空間に適用できます。

歴史

アルキメデスは、辺の数が増えるにつれて正多角形の面積を求めることで、円の内側の面積を計算するために、消尽法を用いました。これは、数学的解析における最も基本的な概念の一つである極限の、初期ではあるものの非公式な例でした。

古代

数学的解析は17世紀の科学革命中に正式に発展したが、[ 3 ]そのアイデアの多くはそれ以前の数学者に遡ることができる。解析における初期の結果は古代ギリシャ数学の初期に暗黙のうちに存在していた。例えば、無限の幾何学的和はゼノンの二分法のパラドックスに暗黙のうちに含まれている。[ 4 ]（厳密に言えば、パラドックスの要点は無限和の存在を否定することである。）後に、エウドクソスやアルキメデスなどのギリシャの数学者は、領域と立体の面積と体積を計算するために枯渇法を使用したときに、極限と収束の概念をより明示的に、しかし非公式に使用した。[ 5 ]無限小の明示的な使用は、20世紀に再発見されたアルキメデスの『機械的定理の方法』に見られる。 [ 6 ]アジアでは、中国の数学者劉徽が3世紀に円の面積を求めるのに尽力法を用いた。[ 7 ]ジャイナ教の文献によると、ヒンズー教徒は紀元前4世紀には既に等差数列と幾何級数の和の公式を持っていたようだ。 [ 8 ]アーチャーリャ・バドラバーフは紀元前433年に著した『カルパスートラ』の中で等差数列の和を用いている 。[ 9 ]

中世

祖崇之は5世紀に球の体積を求めるための、後にカヴァリエリの原理と呼ばれる方法を確立した。 [ 10 ] 12世紀にはインドの数学者バースカラ2世が無限小を用いて、現在ではロールの定理として知られているものを用いた。[ 11 ]

14世紀、サンガマグラマのマダヴァは、正弦、余弦、正接、逆正接といった関数の無限級数展開（現在ではテイラー級数と呼ばれる）を開発した。[ 12 ]三角関数のテイラー級数展開に加え、彼はこれらの級数を切り捨てることによって生じる誤差項の大きさを推定し、いくつかの無限級数の有理近似を与えた。ケーララ天文学数学学校の弟子たちは、16世紀まで彼の研究をさらに発展させた。

モダンな

基礎

数学的解析の現代的な基礎は、17世紀のヨーロッパで確立されました。[ 3 ]これは、フェルマーとデカルトが現代の微積分学の前身である解析幾何学を開発した時に始まりました。フェルマーの等式法は、関数の最大値と最小値、および曲線の接線を決定することを可能にしました。[ 13 ]デカルトが1637年に出版したLa Géométrieで直交座標系が導入されたことは、数学的解析学の確立であると考えられています。ニュートンとライプニッツが独立して微分積分学を開発したのは数十年後のことですが、これは18世紀を通じて続いた応用研究の刺激を受けて、変分法、常微分方程式と偏微分方程式、フーリエ解析、生成関数などの解析トピックへと発展しました。この期間中、微積分の手法は、離散問題を連続問題で近似するために適用されました。

近代化

18世紀に、オイラーは数学関数の概念を導入した。[ 14 ]実解析は、1816年にベルナルド・ボルザノが連続性の現代的な定義を導入して以来、独立した科目として登場し始めたが、 [ 15 ]ボルザノの研究は1870年代まで広く知られることはなかった。1821年、コーシーは、特にオイラーによる初期の研究で広く使われていた代数の一般性原理を否定することで、しっかりとした論理的基礎の上に微積分学を置き始めた。代わりに、コーシーは、幾何学的なアイデアと無限小の観点から微積分学を定式化した。したがって、彼の連続性の定義では、xの無限小の変化がyの無限小の変化に対応することを要求した。彼はまた、コーシー列の概念を導入し、複素解析の正式な理論を開始した。ポアソン、リウヴィル、フーリエらは偏微分方程式と調和解析を研究した。これらの数学者や、ワイエルシュトラスをはじめとする他の数学者の貢献により、(ε, δ)-極限定義アプローチが発展し、現代の解析学の分野が確立されました。ほぼ同時期に、リーマンは積分理論を提唱し、複素解析に大きな進歩をもたらしました。

19世紀末頃、数学者たちは、証明なしに実数の連続体の存在を仮定しているのではないかと懸念し始めました。そこでデデキントは、無理数を形式的に定義するデデキントカットによって実数を構築しました。デデキントカットは、有理数間の「隙間」を埋める役割を果たし、完全な集合、すなわち実数の連続体を作り出しました。これは、シモン・ステヴィンによって小数展開によって既に展開されていました。この頃、リーマン積分の定理を洗練させようとする試みは、実関数の不連続集合の「大きさ」の研究へとつながりました。

また、一般的に「モンスター」として知られる、さまざまな病的な対象（どこでも連続しない関数、連続だがどこでも微分不可能な関数、空間充填曲線など）の研究も始まりました。この文脈で、ジョーダンは測度論を開発し、カントールは現在では素朴集合論と呼ばれるものを開発し、ベールはベールの圏定理を証明しました。20世紀初頭には、微積分は公理的集合論を用いて形式化されました。ルベーグは測度論を大幅に改良し、現在ではルベーグ積分として知られる独自の積分理論を導入し、これはリーマンの理論を大幅に改良したものであることが証明されました。ヒルベルトは積分方程式を解くためにヒルベルト空間を導入しました。ノルムベクトル空間のアイデアが話題となり、1920年代にはバナッハが関数解析を作成しました。

重要な概念

計量空間

数学において、距離空間とは、集合の要素間の 距離の概念(距離と呼ばれる) が定義されている集合です。

解析の多くは何らかの距離空間で行われます。最も一般的に用いられるのは、実数直線、複素平面、ユークリッド空間、その他のベクトル空間、そして整数空間です。距離を用いない解析の例としては、測度論（距離ではなく大きさを記述する）や関数解析（距離感覚を必要としない 位相ベクトル空間を研究する）などが挙げられます。

正式には、計量空間は、が集合であり、 が上の計量である順序付き対 、すなわち関数である。（M、d）{\displaystyle (M,d)}M{\displaystyle M}d{\displaystyle d}M{\displaystyle M}

d:M×M→R{\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }

任意の に対して、次が成り立つ。 ×、y、z∈M{\displaystyle x,y,z\in M}

  1. d（×、y）≥0{\displaystyle d(x,y)\geq 0}、等式は    （識別不能なものの同一性）の場合にのみ成り立ち、×＝y{\displaystyle x=y}
  2. d（×、y）＝d（y、×）{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}    （対称性）、そして
  3. d（×、z）≤d（×、y）+d（y、z）{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}    （三角不等式）。

3 番目の特性をとり、 とすると、     (非負)であることが示されます。 z＝×{\displaystyle z=x}d（×、y）≥0{\displaystyle d(x,y)\geq 0}

シーケンスと極限

シーケンスは順序付きリストです。集合と同様に、シーケンスにはメンバー（要素または項とも呼ばれます）が含まれます。集合とは異なり、順序は重要であり、シーケンス内の異なる位置に全く同じ要素が複数回出現することがあります。最も正確には、シーケンスは、自然数のような可算な全順序集合を定義域とする関数として定義できます。

数列の最も重要な性質の一つは収束性である。非公式には、数列が極限を持つとき、その数列は収束する。さらに非公式には、（単無限）数列は、 nが非常に大きくなるにつれて、ある点xに近づくとき、極限を持つ。これは極限と呼ばれる。つまり、抽象数列（a n）（nは1から無限大までと理解されている）において、 a nとxの間の距離はn → ∞の とき0に近づく。これは次のように表される。

リムn→∞1つのn＝×。{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.}

主な支店

微積分

実分析

実解析（伝統的には「実変数関数の理論」）は、実数と実変数の実数値関数を扱う数学解析の分野です。[ 16 ] [ 17 ]特に、実数列の収束と極限、実数の微積分、実数値関数の連続性、滑らかさ、および関連する特性を含む、実関数と列の解析特性を扱います。

複素解析

複素解析（伝統的に「複素変数の関数の理論」として知られている）は、複素数の関数を研究する数学解析の分野です。[ 18 ]複素解析は、代数幾何学、数論、応用数学を含む多くの数学の分野で有用であり、また、流体力学、熱力学、機械工学、電気工学、そして特に量子場の理論を含む物理学でも有用です。

複素解析は、特に複素変数の解析関数（より一般的には有理型関数）を扱う分野です。あらゆる解析関数の実部と虚部はそれぞれラプラス方程式を満たす必要があるため、複素解析は物理学における2次元の問題に広く適用可能です。

機能解析

関数解析は数学解析学の一分野であり、その中核は、何らかの極限構造（例えば、内積、ノルム、位相など）を備えたベクトル空間と、これらの空間に作用し、適切な意味でこれらの構造を尊重する線型作用素の研究によって形成される。 [ 19 ] [ 20 ]関数解析の歴史的ルーツは、関数の空間の研究と、関数空間間の連続、ユニタリなどの作用素を定義する変換としてのフーリエ変換などの関数の変換の特性の定式化にある。この観点は、微分方程式と積分方程式の研究に特に有用であることが判明した。

無料分析

自由解析あるいは非可換解析は、関数解析のサブ分野の一つであり、ある意味で非可換な空間を扱います。これは、複素解析の非可換な一般化である非可換関数論、自由確率論、非可換幾何学と関連しています。自由解析では、非可換な変数や関数、特に非可換な空間や代数を扱うことに重点が置かれます。

調和解析

調和解析は、関数や信号を基本波の重ね合わせとして表現する数学解析の一分野です。これには、フーリエ級数とフーリエ変換（フーリエ解析）の概念、およびそれらの一般化の研究が含まれます。調和解析は、音楽理論、数論、表現論、信号処理、量子力学、潮汐解析、神経科学など、多岐にわたる分野に応用されています。

微分方程式

微分方程式は、1つまたは複数の変数の未知の関数に対する数学的な方程式であり、関数自体の値と様々な次数のその導関数を関連付けます。[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]微分方程式は、工学、物理学、経済学、生物学、その他の分野 で重要な役割を果たしています。

微分方程式は科学技術の多くの分野で登場しますが、具体的には、連続的に変化するいくつかの量（関数でモデル化）とそれらの空間または時間における変化率（導関数で表現）を含む決定論的な関係が既知であるか仮定されている場合に登場します。これは古典力学で例証されており、物体の運動は時間値が変化するにつれてその位置と速度によって記述されます。ニュートンの法則により、（位置、速度、加速度、物体に作用するさまざまな力が与えられれば）これらの変数を、物体の未知の位置を時間の関数として表す微分方程式として動的に表現できます。場合によっては、この微分方程式（運動方程式と呼ばれる）を明示的に解くことができます。

測度論

集合上の測度とは、その集合の適切な部分集合それぞれに数を割り当てる体系的な方法であり、直観的にはその大きさとして解釈される。 [ 24 ]この意味で、測度とは長さ、面積、体積の概念の一般化である。特に重要な例はユークリッド空間上のルベーグ測度であり、これはユークリッド幾何学の従来の長さ、面積、体積を次元ユークリッド空間の適切な部分集合に割り当てる。例えば、実数における区間のルベーグ測度は、日常的な意味での長さ、具体的には 1 である。 n{\displaystyle n}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}[0、1]{\displaystyle \left[0,1\right]}

技術的には、測度とは、集合 の（特定の）部分集合に非負の実数または+∞を割り当てる関数です。空集合には 0 を割り当て、（可算的に）加法的である必要があります。つまり、有限（または可算）個の「より小さな」互いに素な部分集合に分解できる「大きな」部分集合の測度は、それらの「より小さな」部分集合の測度の和です。一般に、ある集合の各部分集合に一貫したサイズを関連付けながら、測度の他の公理を満たしたい場合、計数測度のような自明な例しか見つかりません。この問題は、すべての部分集合の部分集合、いわゆる可測部分集合（ -代数を形成するために必要なもの）に対してのみ測度を定義することで解決されました。これは、空集合、可算和集合、可算積集合、および可測部分集合の補集合が可測であることを意味します。ユークリッド空間における非測度集合は、ルベーグ測度を矛盾なく定義することができないため、必然的にその補集合と複雑に絡み合うという点で複雑である。実際、それらの存在は選択公理の非自明な帰結である。 X{\displaystyle X}σ{\displaystyle \sigma }

数値解析

数値解析は、（離散数学とは区別される）数学的解析の問題に対して、（一般的な記号操作とは対照的に）数値近似を使用するアルゴリズムの研究である。[ 25 ]

現代の数値解析は正確な解を求めません。なぜなら、実際には正確な解を得ることはしばしば不可能だからです。数値解析の多くは、誤差の許容範囲を適切に保ちながら近似解を得ることに重点が置かれています。

数値解析は当然のことながら、工学や物理科学のあらゆる分野に応用されていますが、21世紀においては、生命科学、さらには芸術分野にも科学計算の要素が取り入れられています。常微分方程式は天体力学（惑星、恒星、銀河）に登場し、数値線形代数はデータ解析において重要であり、確率微分方程式とマルコフ連鎖は医学や生物学における生細胞のシミュレーションに不可欠です。

ベクトル解析

ベクトル解析はベクトル計算とも呼ばれ、ベクトル値関数を扱う数学解析の分野です。[ 26 ]

スカラー分析

スカラー解析は、方向ではなくスケールに関連する値を扱う数学解析の一分野です。温度などの値は、値が持つ方向、力、変位に関係なく、値の大きさを表すため、スカラーです。

テンソル解析

その他のトピック

アプリケーション

分析のテクニックは、次のような他の分野でも見られます。

物理科学

古典力学、相対性理論、量子力学の大部分は応用解析学、特に微分方程式に基づいています。重要な微分方程式の例としては、ニュートンの第二法則、シュレーディンガー方程式、アインシュタイン場の方程式などが挙げられます。

関数解析は量子力学においても重要な要素です。

信号処理

音声、電波、光波、地震波、さらには画像などの信号を処理する際、フーリエ解析は複合波形の個々の成分を分離し、それらを集中させることで、検出や除去を容易にします。信号処理技術の大きなグループは、信号のフーリエ変換、フーリエ変換されたデータの単純な操作、そして逆変換で構成されています。[ 27 ]

数学の他の分野

解析の手法は、次のような数学の多くの分野で使用されています。

著名な教科書

参照

参考文献

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さらに読む

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